高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.2平面的基本事實(shí)與推論學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

11．2平面的基本事實(shí)與推論課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助長(zhǎng)方體，了解以下基本事實(shí)和推論．基本事實(shí)1：經(jīng)過不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．2．能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．3．重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)平面的基本性質(zhì)及推論公理內(nèi)容圖形符號(hào)基本性質(zhì)1經(jīng)過____________的3點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性質(zhì)2如果一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)______，______，且______，______?l?α基本性質(zhì)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條______________________，______?α∩β＝l，且P∈l推論1經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(圖①)．推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面(圖②)．推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面(圖③)．基礎(chǔ)自測(cè)1．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQ2．能確定一個(gè)平面的條件是()A．空間三個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線C．無數(shù)個(gè)點(diǎn) D．兩條相交直線3．根據(jù)圖，填入相應(yīng)的符號(hào)：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________．4．下列說法正確的是()A．兩個(gè)平面可以有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)B．梯形一定是平面圖形C．平面α和β有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)D．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化例1(1)根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：①A∈α，B?α；②l?α，m?α，m∩α＝A，A?l；③P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.(2)如圖所示，用符號(hào)語言可表達(dá)為()A．α∩β＝m，n?α，A?m，A?B．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈C．α∩β＝m，n?α，m∩nD．α∩β＝m，n∈α，m∩n方法歸納(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示．(2)要注意符號(hào)語言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．(3)由符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．①點(diǎn)P與直線AB；②點(diǎn)C與直線AB；③點(diǎn)M與平面AC；④點(diǎn)A1與平面AC；⑤直線AB與直線BC；⑥直線AB與平面AC；⑦平面A1B與平面AC.(2)若點(diǎn)A在平面α內(nèi)，直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)A不在直線a上，用符號(hào)語言可表示為()A．A∈α，a?α，A?aB．A∈α，a∈α，A?aC．A?α，a?α，A?aD．A∈α，a?α，A?a題型2點(diǎn)、線共面問題例2(1)已知四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，求證：這四條直線在同一平面內(nèi)；(2)空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．1或3狀元隨筆四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，可能有兩種情況：一是有三條直線共點(diǎn)；二是任意三條直線都不共點(diǎn)，故要分兩種情況．方法歸納證明點(diǎn)線共面常用的方法(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)．(2)重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合．跟蹤訓(xùn)練2(1)一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面．(2)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中．①AA1與CC1是否在同一平面內(nèi)？②點(diǎn)B，C1，D是否在同一平面內(nèi)？③畫出平面ACC1A1與平面BC1D及平面ACD1與平面BDC1的交線．題型3點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問題【思考探究】1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判斷點(diǎn)E在平面A1[提示]如圖，連接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C?平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．上述問題中，你能證明B，E，D1三點(diǎn)共線嗎？[提示]由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又E∈BD1，根據(jù)公理3可知B，E，D1三點(diǎn)共線．例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，AB的中點(diǎn)．(1)證明：點(diǎn)E，F(xiàn)，C，D1共面；(2)證明：D1E，DA，CF三線交于一點(diǎn)．方法歸納點(diǎn)共線與線共點(diǎn)的證明方法(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上．(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條直線作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，且AEAB＝CFCB＝求證：(1)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于同一點(diǎn)．題型4由平面的基本性質(zhì)做截面圖形例4如圖所示，G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)，試分別畫出過下列各點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線．(1)過點(diǎn)G及AC；(2)過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1.方法歸納解決幾何體的截面問題的基本方法(1)直接法用直接法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面上的點(diǎn)在幾何體的棱上，且兩兩在一個(gè)平面內(nèi)，我們可以借助于基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，直接解決這類問題．(2)延長(zhǎng)線法用延長(zhǎng)線法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)幾何體的一個(gè)表面上，我們可以借助于基本事實(shí)2，如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．直接解決這類問題．跟蹤訓(xùn)練4(1)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，試畫出平面AB1D1與平面ACC1A1的交線．(2)如圖，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABCD所在平面外一點(diǎn)，畫出平面SBD和平面SAC的交線．11．2平面的基本事實(shí)與推論新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)不在一條直線上兩個(gè)點(diǎn)A∈lB∈lA∈αB∈α過該點(diǎn)的公共直線P∈αP∈β[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：MN是平行四邊形MNPQ的一條邊，不是對(duì)角線，所以不能記作平面MN.答案：A2．解析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，故不正確．答案：D3．答案：∈??AC4．解析：A選項(xiàng)，根據(jù)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故A錯(cuò)．C選項(xiàng)，兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則有一條過該公共點(diǎn)的公共直線，如果沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行，C錯(cuò)．D選項(xiàng)，一條直線和直線外的一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，D錯(cuò)．B選項(xiàng)，兩條平行直線，確定一個(gè)平面，梯形中有一組對(duì)邊平行，故B對(duì)．答案：B課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)①點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)．②直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上．③直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q.圖形分別如圖(1)，(2)，(3)所示．(2)結(jié)合圖形可以得出平面α，β相交于一條直線m，直線n在平面α內(nèi)，直線m，n相交于點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線m，n上，結(jié)合選項(xiàng)可得C正確．【答案】(1)見解析(2)C跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)①點(diǎn)P∈直線AB；②點(diǎn)C?直線AB；③點(diǎn)M∈平面AC；④點(diǎn)A1?平面AC；⑤直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；⑥直線AB?平面AC；⑦平面A1B∩平面AC＝直線AB.(2)點(diǎn)與線、面的關(guān)系用∈、?；線與面的關(guān)系用?、?.B項(xiàng)中，“a∈α”錯(cuò)；C項(xiàng)中“A?α”錯(cuò)；D項(xiàng)中“A?a”錯(cuò)．答案：(1)見解析(2)A例2【解析】(1)已知：a，b，c，d四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，求證：a，b，c，d四線共面．證明：①若a，b，c三線共點(diǎn)于O，如圖所示，∵O?d，∴經(jīng)過d與點(diǎn)O有且只有一個(gè)平面α.∵A，B，C分別是d與a，b，c的交點(diǎn)，∴A，B，C三點(diǎn)在平面α內(nèi)．由公理1知a，b，c都在平面α內(nèi)，故a，b，c，d共面．②若a，b，c，d無三線共點(diǎn)，如圖所示，∵a∩b＝A∴經(jīng)過a，b有且僅有一個(gè)平面α，∴B，C∈α.由公理1知c?α.同理，d?α，從而有a，b，c，d共面．綜上所述，四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，這四條直線在同一平面內(nèi)．(2)若三條直線兩兩相交共有三個(gè)交點(diǎn)，則確定1個(gè)平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點(diǎn)時(shí)，若三條直線共面，則能確定1個(gè)平面，若三條直線不共面，則能確定3個(gè)平面．【答案】(1)見解析(2)D跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c求證：直線a，b，c，l共面．證明：證法一：∵a∥b，∴a，b確定一個(gè)平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l?又∵a∥c，∴a，c確定一個(gè)平面β.同理可證l?β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵過兩條相交直線a、l有且只有一個(gè)平面，故α與β重合，即直線a，b，c，l共面．證法二：由證法一得a、b、l共面α，也就是說b在a、l確定的平面α內(nèi)．同理可證c在a、l確定的平面α內(nèi)．∵過a和l只能確定一個(gè)平面，∴a，b，c，l共面．(2)①在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锳A1∥CC1，所以AA1與CC1可確定平面AC1，所以AA1與CC1在同一平面內(nèi)．②因?yàn)辄c(diǎn)B，C1，D不共線，所以點(diǎn)B，C1，D可確定平面BC1D，所以點(diǎn)B，C1，D在同一平面內(nèi)．③如圖，因?yàn)锳C∩BD＝O，D1C∩DC1所以O(shè)∈平面AC1，O∈平面BC1D.又C1∈平面AC1，C1∈平面BC1D.所以平面AC1∩平面BC1D＝OC1.同理平面ACD1∩平面BDC1＝OE.例3【證明】(1)連接A1B，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知A1B∥CD1.由于E，F(xiàn)分別是AA1，AB的中點(diǎn)，所以EF∥A1B，所以EF∥CD1，所以E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面．(2)由于EF∥CD1，EF≠CD1，所以D1E與CF延長(zhǎng)后必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，由于P∈D1E，D1E?平面ADD1A1，P∈CF，CF?平面ABCD，根據(jù)基本事實(shí)3可知P在平面ADD1A1與平面ABCD的交線DA上，所以D1E，DA，CF三線交于一點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3證明：(1)如圖所示，連接EF，HG，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，所以HG∥AC且HG＝12AC又AEAB＝CFCB＝14，所以EF∥AC且EF＝故EF∥HG，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)由(1)知EF∥HG且EF≠HG，所以設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，因?yàn)镋H?平面ABD，所以P在平面ABD內(nèi)，同理P在平面BCD內(nèi)，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以點(diǎn)P在直線BD上，所以直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．例4【解析】(1)連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N，從而可以得到過點(diǎn)G及AC的平面．畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M，連接GC交C1D1于點(diǎn)N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體