第七章 非線性系統(tǒng)的分析

第七章非線性系統(tǒng)的分析第一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.1基本概念系統(tǒng)的非線性程度比較嚴(yán)重，無法用小范圍線性化方法化為線性系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。有兩種情況:（1）系統(tǒng)中存在非線性元件；（2）為了某種控制目的，人為引進(jìn)的非線性。一、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。第二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四2、線性系統(tǒng)只有兩種基本運(yùn)動(dòng)形式：發(fā)散（不穩(wěn)定）和收斂（穩(wěn)定）。非線性系統(tǒng)除了發(fā)散和收斂?jī)煞N運(yùn)動(dòng)形式外，即使無外界作用，也可能會(huì)發(fā)生自持振蕩，這是非線性系統(tǒng)獨(dú)有的現(xiàn)象。3、在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的輸出是同頻率正弦信號(hào)。非線性系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號(hào)。4、線性系統(tǒng)分析可用迭加原理，在典型輸入信號(hào)下系統(tǒng)分析的結(jié)果也適用于其它情況。非線性系統(tǒng)不能應(yīng)用迭加原理，沒有一種通用的方法來處理各種非線性問題。對(duì)非線性系統(tǒng)分析研究的重點(diǎn)是：（1）系統(tǒng)是否穩(wěn)定；（2）有無自持振蕩；（3）若存在自持振蕩，確定自持振蕩的頻率和振幅；（4）研究消除或減弱自持振蕩的方法。第三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四自持振蕩第四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四二、典型非線性系統(tǒng)及對(duì)系統(tǒng)性能的影響1、死區(qū)非線性伺服電機(jī)的死區(qū)電壓（啟動(dòng)電壓），測(cè)量元件的不靈敏區(qū)等都屬于死區(qū)非線性特性。由于有死區(qū)特性存在，將使系統(tǒng)產(chǎn)生靜態(tài)誤差，特別是測(cè)量元件的不靈敏區(qū)影響最為突出，且用提高增量的方法也無法消除。

當(dāng)x(t)>0時(shí)，sgnx(t)=+1；當(dāng)x(t)<0時(shí)，sgnx(t)=-1

a為死區(qū)寬度，k=tgβ斜率第五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四2、飽和非線性常見于放大器中，在大信號(hào)作用下，放大倍數(shù)小，因而降低了穩(wěn)態(tài)精度。

在控制系統(tǒng)中若存在飽和特性，將使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下的等效放大倍數(shù)降低，從而引起瞬態(tài)過程時(shí)間的延長(zhǎng)和穩(wěn)態(tài)誤差的增加。對(duì)于條件穩(wěn)定系統(tǒng)，甚至可能出現(xiàn)小信號(hào)時(shí)穩(wěn)定，而大信號(hào)時(shí)不穩(wěn)定的情況。當(dāng)x(t)>0時(shí)，sgnx(t)=+1；當(dāng)x(t)<0時(shí)，sgnx(t)=-1

a為線性區(qū)寬度k為線性區(qū)特性的斜率k=tgβ第六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四3、間隙非線性齒輪傳動(dòng)的齒隙特性，液壓傳動(dòng)的的油隙特性、鐵磁元件的磁滯現(xiàn)象等均屬于這類特性。間隙非線性特性包含了死區(qū)非線性、飽和非線性、回環(huán)非線性等多種非線性因素。當(dāng)系統(tǒng)中有間隙特性存在時(shí)，將使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度減少、穩(wěn)態(tài)誤差增大、動(dòng)態(tài)特性變壞，相對(duì)穩(wěn)定性變差。

間隙的存在常常是系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的主要原因。a為間隙寬度k為線性輸出特性的斜率，k=tgβ第七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四4、繼電器特性繼電器特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性，因此對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能和穩(wěn)定性都有不利影響。a—繼電器吸合電壓

ma—釋放電壓

M—飽和輸出

由于繼電器元件在控制系統(tǒng)中常用來作為改善系統(tǒng)品質(zhì)的切換元件，因此繼電器特性在非線性系統(tǒng)的分析中占有重要地位。第八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四m=1單值繼電器m=-1僅含滯環(huán)的繼電器m=a=0理想繼電器特例第九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四5.變放大系數(shù)特性

變放大系數(shù)特性使系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)具有較大的放大系數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)迅速。而在小誤差信號(hào)時(shí)具有較小的放大系數(shù)，使系統(tǒng)響應(yīng)既緩且穩(wěn)。具有這種特性的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)品質(zhì)較好。第十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四其它類型非線性第十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四三、非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法1.相平面法相平面法是求解一階或二階非線性系統(tǒng)的圖解法。這種方法既能提供的穩(wěn)定性信息，又能提供時(shí)間響應(yīng)信息。其缺點(diǎn)是只限于一階和二階系統(tǒng)。2.描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是基于頻率域的等效線性化方法。該法不受系統(tǒng)階次的限制，但系統(tǒng)必須滿足一定的假設(shè)條件，且只能提供系統(tǒng)穩(wěn)定性和自激振蕩的信息。3.波波夫法波波夫法是一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定充分條件的頻率域判據(jù)。它可以應(yīng)用于高階系統(tǒng)，并且是一個(gè)準(zhǔn)確判定穩(wěn)定性的方法。第十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.4描述函數(shù)描述函數(shù)法是達(dá)尼爾(P．LDaniel)于1940年首先提出的，其基本思想是：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。第十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四描述函數(shù)法主要用來分析在無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問題，并且不受系統(tǒng)階次的限制，一般都能給出比較滿意的結(jié)果，因而獲得了廣泛的應(yīng)用。但是由于描述函數(shù)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、非線性環(huán)節(jié)的特性和線性部分的性能都有一定的要求，其本身也是一種近似的分析方法，因此該方法的應(yīng)用有一定的限制條件。另外，描述函數(shù)法只能用來研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息。第十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

總之：

1、描述函數(shù)是非線性特性的一種線性近似方法。它是線性系統(tǒng)理論中的頻率特性法在一定假設(shè)條件下，在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。

2、它主要用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及確定非線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)特性。應(yīng)用這種方法時(shí)非線性系統(tǒng)的階數(shù)不受限制。

3、描述函數(shù)的最基本思想是用輸出信號(hào)中的基波分量來代替非線性元件在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)際輸出。

第十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四N(A)G(s)r(t)=0x(t)y(t)c(t)-非線性系統(tǒng)方框圖如下：系統(tǒng)由兩部分組成：N(A)代表非線性元件，G(s)代表線性部分。對(duì)線性環(huán)節(jié)G(s)的要求：①最小相位傳遞函數(shù)；②具有較好的低通濾波特性。對(duì)非線性環(huán)節(jié)的要求：①非線性特性與時(shí)間無關(guān)；②非線性輸出可以只考慮基波分量。③非線性環(huán)節(jié)具有奇對(duì)稱性上述要求的目的使分析簡(jiǎn)化，一般系統(tǒng)均能滿足。第十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四雖然非線性控制系統(tǒng)的參考輸入r(t)=0，但是系統(tǒng)在干擾信號(hào)的激勵(lì)下，非線性元件的出信號(hào)y(t)將是一個(gè)非正弦的周期函數(shù)，若滿足傅氏分解條件，可分解為直流分量y0(t)、一次諧波分量y1(t)、二次諧波分量y2(t)、…，其幅值取決于y(t)中各諧波分量的大小及系統(tǒng)線性部分的頻率特性G(jω)。

很多非線性元件的特性是奇對(duì)稱的，則y(t)中的直流分量y0(t)=0。G(jω)一般具有良好的低通性能，因此，y(t)中的高次諧波幅值不大，略去這些較小分量，得到y(tǒng)(t)≈y1(t)。一次諧波分量又稱為基波分量。因此，非線性的輸出可只考慮基波分量y1(t)起作用，從而引出描述

函數(shù)的定義：第十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四式中由于y的高次諧波幅值小于基波幅值，且系統(tǒng)的線性部分具有低通濾波性質(zhì)，可以假設(shè)只有基波分量起作用，而將高次諧波忽略不計(jì)。設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入為：輸出y(t)可以展開成下列傅氏級(jí)數(shù)：第十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四設(shè)非線性特性為對(duì)稱型，則傅氏級(jí)數(shù)中的直流分量y的基波為：假設(shè)非線性系統(tǒng)滿足上述條件，則：第十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

非線性特性的描述函數(shù)定義為：輸出的基波分量y1(t)與正弦輸入信號(hào)x(t)的復(fù)數(shù)比：這是一個(gè)復(fù)函數(shù)，模為輸出基波幅值與輸入幅值之比，相角是輸出基波對(duì)輸入的相位移。

描述函數(shù)N(X)表示了當(dāng)X為正弦信號(hào)時(shí)，輸出基波分量與X在幅值和相位上的關(guān)系，類似于線性環(huán)節(jié)的頻率特性。一、描述函數(shù)的定義第二十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、飽和非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)：則輸出為：第二十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四第二十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四非線性環(huán)節(jié)的輸出基波分量為：因此，飽和特性的描述函數(shù)為：顯然，只有當(dāng)X>a時(shí)研究飽和特性才有意義。第二十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四對(duì)于飽和特性，習(xí)慣上將稱為相對(duì)描述函數(shù)。兩者之間關(guān)系為：將其寫成與線性系統(tǒng)中幅相頻率特性類似的形式：負(fù)倒相對(duì)描述函數(shù)定義：簡(jiǎn)稱“負(fù)倒幅相特性”第二十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四式中：第二十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

這里需要注意：描述函數(shù)雖然可以寫成與頻率特性類似的形式，但其變量不是頻率，而是非線性特性的參量及輸入正弦信號(hào)的振幅。在圖7-5-2所示的負(fù)倒幅相平面上，當(dāng)X/a=1時(shí)，特性曲線從(-1，j0)點(diǎn)開始，隨著X/a增大，特性曲線負(fù)實(shí)軸向左延伸，當(dāng)X/a—∞,特性曲線伸向負(fù)無限遠(yuǎn)處。飽和特性的負(fù)倒幅相特性為：第二十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

與線性系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性類似，也可以繪制負(fù)倒對(duì)數(shù)幅相特性，如圖7-5-3所示。中橫坐標(biāo)是變量X／a，并按對(duì)數(shù)分度。表示幅值的縱坐標(biāo)是分貝值，表示相角的縱坐標(biāo)位為度。如將非線性特性的描述函數(shù)視為復(fù)數(shù)增益，則飽和特性的描述函數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)增益，值總小于1，或者說飽和特性的增益總是小于其線性段的增益K0，隨著輸入信號(hào)幅值增加，其等效增益愈低。第二十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四2、死區(qū)非線性的描述函數(shù)具有死區(qū)特性的非線性環(huán)節(jié)如圖7-5-4所示。當(dāng)輸入為正弦信號(hào)：輸出信號(hào)為：第二十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)（7-4-14）可以得到：由于：所以：第二十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四死區(qū)特性的相對(duì)描述函數(shù)為：負(fù)倒相對(duì)描述函數(shù)為：第三十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四表７-５-２列出了死區(qū)特性的負(fù)倒相對(duì)描述函數(shù)的幅值、相角與變量Ｘ／ａ之間的數(shù)值關(guān)系。第三十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖7-5-5是死區(qū)特性的負(fù)倒幅相特性，當(dāng)X/a=１時(shí)，它起始于負(fù)實(shí)軸上無限遠(yuǎn)處，隨著X/a增加，它沿著負(fù)實(shí)軸趨向于(-1,j0)點(diǎn).第三十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖7-5-6是死區(qū)特性的負(fù)倒對(duì)數(shù)幅相特性第三十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四間隙特性的描述函數(shù)為：第三十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四繼電器特性的描述函數(shù)為：第三十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四１、m=12、m=-1第三十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四3、理想繼電器特性(7-5-18)式（7-5-18)說明理想繼電器特性的負(fù)倒相對(duì)幅頻特性是以X/M為變量，完全與負(fù)實(shí)軸重合的直線。第三十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.5非線性環(huán)節(jié)的串、并聯(lián)及系統(tǒng)的變換用諧波平衡法分析非線性系統(tǒng)須使系統(tǒng)具有如圖所示結(jié)構(gòu)形式。通常的情況是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，例如有多個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)或者并聯(lián)于系統(tǒng)線性環(huán)連接點(diǎn)處，為便于應(yīng)用描述函數(shù)法，就須將系統(tǒng)變換成如上圖所示典型結(jié)構(gòu)形式。由于諧波平衡法只分析含有數(shù)種典型非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是否存在自持振蕩，而不去詳細(xì)研究非線性系統(tǒng)在不同輸入下的響應(yīng)及系統(tǒng)內(nèi)部各處的狀態(tài)，可以令輸入信號(hào)為零，在不改變系統(tǒng)信號(hào)傳遞規(guī)律的前提下，進(jìn)行系統(tǒng)簡(jiǎn)化和變換。N(A)G(s)r(t)=0x(t)y(t)c(t)-第三十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖7-5-1是多個(gè)線性環(huán)節(jié)和一個(gè)非線性環(huán)節(jié)組成的非線性系統(tǒng)。如將匯合點(diǎn)移動(dòng)之后，最后可以變換為如圖7-5-1c所示系統(tǒng)。由于感興趣的只是分析非線性系統(tǒng)是否存在自持振蕩，則實(shí)際上圖7-7-1c中最后一個(gè)線性環(huán)節(jié)1／G3(s)是不必要的，亦即此非線性系統(tǒng)中的線性環(huán)節(jié)集中后的傳遞函數(shù)應(yīng)是:一、系統(tǒng)線性部分的變換與集中圖7-5-1非線性系統(tǒng)中線性部分的變換與集中第三十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四R(s)=0非線性環(huán)節(jié)被線性環(huán)節(jié)包圍的情況第四十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四線性環(huán)節(jié)被非線性環(huán)節(jié)包圍的情況R(s)=0第四十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四二、非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的特性兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，與線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的性質(zhì)類似，前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入，圖7-5-2給出了兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的情況。圖7-5-2兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)y1x2第四十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四y1根據(jù)前述串聯(lián)的原理，可以用作圖方法求得串聯(lián)后的非線性特性，如圖7-5-3所示。圖7-5-3環(huán)節(jié)串聯(lián)由圖不難看出，死區(qū)參量：線性部分增益：飽和值：第四十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四等效非線性的不靈敏區(qū)：輸出為：M描述函數(shù)為：第四十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四三、非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)的特性圖7-5-4表示兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)情況，如輸入為x，則輸出為y=y1+y2，這與線性環(huán)節(jié)并聯(lián)情況一樣。兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的等效非線性特性將因兩個(gè)環(huán)節(jié)的死區(qū)參量a1和a2不同而有差異。當(dāng)a1<a2時(shí)，兩環(huán)節(jié)并聯(lián)后的等效非線性特性如圖a所示。圖7—7-4兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)第四十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)al=a2=a時(shí)，兩環(huán)節(jié)并聯(lián)后的等效非線性特性如圖b所示。第四十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)a1>a2時(shí)，兩環(huán)節(jié)并聯(lián)后的等效非線性特性如圖c所示。第四十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.6非線性系統(tǒng)的諧波平衡法分析和相平面法不同，諧波平衡法對(duì)非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行諧波線性化處理，允許線性部分是任意階次。非線性系統(tǒng)的特征方程為：即：第四十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四如果滿足上式，表示與有交點(diǎn)，此時(shí)非線性系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩，這相當(dāng)于線性系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖在復(fù)平面中穿過（-1，j0）點(diǎn)。將非線性的負(fù)倒幅特性和線性部分的極坐標(biāo)圖繪制在一個(gè)復(fù)平面中，根據(jù)二者的相對(duì)位置可分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定第四十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四三、非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩圖示系統(tǒng)在a點(diǎn)產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩。由交點(diǎn)可確定自持振蕩的頻率和幅值。二、非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定第五十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四例題1

非線性系統(tǒng)方框圖如圖所示，問：系統(tǒng)穩(wěn)定與否？若產(chǎn)生自持振蕩，試確定自持振蕩的頻率和振幅。解：理想繼電器的描述函數(shù)為：在M=1的情況下，理想繼電器的負(fù)倒幅特性為：當(dāng)A=0時(shí)，；當(dāng)A=∞時(shí)，所以特性為整個(gè)負(fù)實(shí)軸第五十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四系統(tǒng)線性部分的頻率特性為：令得（1）帶入（1）式得：的交點(diǎn)有：即：-1.67第五十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四由上述乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和確定系統(tǒng)是否存在自持振蕩的結(jié)論可知，系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩，振蕩頻率和振幅分別為：例2具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如下圖所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；為了使系統(tǒng)不產(chǎn)生自持振蕩，系統(tǒng)應(yīng)該如何調(diào)整？解：飽和非線性的描述函數(shù)為：式中K=2,s=1，則：第五十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四起點(diǎn)為A=1時(shí)，當(dāng)時(shí)因此曲線位于-0.5~-∞這短負(fù)實(shí)軸上。系統(tǒng)線性部分的頻率特性為：令即得曲線與負(fù)實(shí)軸焦點(diǎn)的頻率為：第五十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四代入求得曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)為：1、將k=15代入上式，得：左圖繪出了k=15時(shí)的曲線與曲線，兩曲線交于（-1，j0)點(diǎn)，顯然交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是一個(gè)穩(wěn)定的自持振蕩，根據(jù)交點(diǎn)處幅值相等，得：第五十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四求得與交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幅值A(chǔ)=2.5。因此當(dāng)k=15時(shí)，系統(tǒng)處于自持振蕩狀態(tài)，振幅為A=2.5,頻率為2、欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自持振蕩，由于G(s)極點(diǎn)均在s平面左半部分，根據(jù)乃氏判據(jù)，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性和確定系統(tǒng)是否存在自持振蕩的結(jié)論，應(yīng)該使曲線不包圍曲線既：故k的臨界值為：因此為了使系統(tǒng)不產(chǎn)生自持振蕩而穩(wěn)定工作，系統(tǒng)的k值最大調(diào)整到7.5第五十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四例3有繼電控制系統(tǒng)如圖所示.線性部分的傳遞函數(shù)為:為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振,試用描述函數(shù)法確定繼電特性參數(shù)h,M的值.提示:繼電特性描述函數(shù)為第五十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四解:描述函數(shù)：第五十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四可以求得第五十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四即和實(shí)軸交點(diǎn)為。為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自持振蕩，應(yīng)使和兩曲線無交點(diǎn)。所以有：第六十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.7利用非線性特性改善系統(tǒng)的性能

在線性系統(tǒng)中，為了提高系統(tǒng)穩(wěn)定精度則希望增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，或者在系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中增添s=0極點(diǎn)，但由此可能導(dǎo)致系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性能降低，使暫態(tài)性能惡化；又如，在暫態(tài)性能中，響應(yīng)的快速性與超調(diào)量之間也有矛盾。因此，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，往往采取折衷方案。但是，如果人為有目的的地在線性系統(tǒng)中加入某些非線性環(huán)節(jié)，卻有可能使系統(tǒng)的性能大幅度地提高，以達(dá)到單純線性系統(tǒng)根本無法實(shí)現(xiàn)的預(yù)期效果。第六十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

1.具有微分反饋的二階系統(tǒng)

第六十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

2.當(dāng)未引入局部微分反饋（β=0）時(shí)

曲線①為未引入微分反饋時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，超調(diào)量過大。曲線②為引入微分反饋后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，雖無超調(diào)，但響應(yīng)過慢。曲線③則較為理想，即輸出口向應(yīng)能較快地跟蹤輸入，同時(shí)又無超調(diào)。

加入輸出微分反饋后，相當(dāng)于使系統(tǒng)的阻尼比增大了。第六十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四若在輸出微分反饋通道中引入一個(gè)非線性特性環(huán)節(jié)，如圖所示，就可以實(shí)現(xiàn)上述要求。此非線性環(huán)節(jié)有兩個(gè)輸入，一個(gè)是系統(tǒng)的輸出c(t)，另一個(gè)輸入則是系統(tǒng)的誤差e(t)。此非線性環(huán)節(jié)具有以下特性：即當(dāng)與輸出c(t)成比例的信號(hào)小于與誤差e(t)成比例的信號(hào)時(shí)，此環(huán)節(jié)無輸出；當(dāng)與輸出c(t)成比例的信號(hào)大于與誤差e(t)成比例的信號(hào)時(shí)，則此環(huán)節(jié)有輸出，且輸出與系統(tǒng)的輸出c(t)成比例。特性：Kcc(t)<Kee(t)時(shí)，N(·)=0Kcc(t)>Kee(t)時(shí)，N(·)∝c(t)第六十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

此非線性環(huán)節(jié)具有死區(qū)特性，但又不是一般的死區(qū)特性，而是其死區(qū)大小隨系統(tǒng)的誤差信號(hào)成比例變化的死區(qū)特性。此非線性環(huán)節(jié)的原理圖如下圖所示。第六十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖中Ke和Kc分別是兩輸入端的比例系數(shù)。檢測(cè)的誤差信號(hào)e(t)經(jīng)過比例環(huán)節(jié)Ke后加于橋式整流器，整流器輸出則加于電位器兩端，由于有兩個(gè)二極管隔離，故與e(t)成比例的信號(hào)不可能輸出，只是在電位器上形成與e(t)成比例的電位。從系統(tǒng)輸出端檢測(cè)到的信號(hào)c(t)，經(jīng)比例器Kc后，再經(jīng)過二極管加于電位器的滑動(dòng)點(diǎn)上，只有當(dāng)加于電位器滑動(dòng)點(diǎn)之與c(t)成比例的信號(hào)超過加于電位器上與誤差e(t)成比例的電位后，則有與系統(tǒng)輸出c(t)成比例的信號(hào)輸出到微分反饋環(huán)節(jié)的輸入端。第六十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

在階躍信號(hào)剛作用時(shí)，e(t)很大，c(t)很小，微分反饋環(huán)節(jié)不起作用，相當(dāng)于系統(tǒng)傳遞函數(shù)中β等于零；隨著時(shí)間推移，e(t)減小，c(t)增長(zhǎng)，適當(dāng)?shù)卣ù朔蔷€性環(huán)節(jié)的參數(shù)，可以在接近于穩(wěn)態(tài)值時(shí)，使微分反饋環(huán)節(jié)具有輸入信號(hào)，因而使系統(tǒng)處于附加有輸出微分反饋的狀態(tài)。曲線③

在線性系統(tǒng)中，正確地引入非線性特性能使系統(tǒng)的性能大為改善。

第六十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四如果希望前述二階系統(tǒng)有較高的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度(即穩(wěn)態(tài)誤差很小)，同時(shí)又有較高的相對(duì)穩(wěn)定性，就可以在系統(tǒng)中采用串聯(lián)非線性校正裝置，如圖所示。第六十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

該串聯(lián)非線性校正裝置的原理圖如圖所示。此校正裝置由電子運(yùn)算放大器組成，在此有兩點(diǎn)需要指出：第一，它使用的是同相輸入端；第二，在其輸出端附加了限幅電路，使其靜特性成為飽和值可調(diào)的飽和特性。描述這一校正裝置的傳遞函數(shù)可以求得。當(dāng)放大器未處于飽和輸出時(shí)，有：式中Ｋ為放大器增益第六十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四令整理化簡(jiǎn)得：第七十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

（1）當(dāng)運(yùn)算放大器輸出未達(dá)到飽和值時(shí)，K→∞

（2）當(dāng)運(yùn)算放大器輸出達(dá)到飽和值時(shí)，K<<1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳