實驗二定積分的近似計算

實驗二定積分的近似計算第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

問題背景和實驗?zāi)康膶嶒灦?、定積分的近似計算

定積分計算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時，如何計算？這時就需要利用近似計算。特別是在許多實際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，而是一條實驗記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計算定積分。本實驗主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時介紹Matlab計算定積分的相關(guān)函數(shù)。第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

矩形法

定積分的定義：實驗二、定積分的近似計算第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二矩形法n

充分大，△x

充分小

定積分的近似：

通常我們?nèi)∽簏c法右點法中點法

點可以任意選取，常見的取法有：

左端點，右端點和中點。第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二步長節(jié)點

右點法：

中點法：

左點法：左點法、右點法和中點法第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二解：矩形法舉例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法計算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對誤差。

左點法：

右點法：

中點法：(i=0,1,2,...,100)第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

理論值：左點法相對誤差：誤差分析矩形法舉例右點法相對誤差：中點法相對誤差：不同的方法有不同的計算精度有沒有更好的近似計算定積分的方法

?第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二定積分幾何意義第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似整個曲邊梯形的面積：梯形法第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點公式有什么區(qū)別

?第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二解：==>例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相對誤差：第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

2n

等分區(qū)間[a,b]，得該直線用拋物線代替，計算精度是否會更好？

計算每個節(jié)點上的函數(shù)值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過以下三點的拋物線來近似原函數(shù)f(x)。第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

設(shè)過以上三點的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

拋物線法第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

同理可得：

相加即得：拋物線法第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

整理后可得：或辛普森(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二==>例：用拋物線法計算下面定積分(取n=100)，

并計算相對誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)

相對誤差：拋物線法第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二梯形法：trapztrapz(x,y)

x

為分割點（節(jié)點）組成的向量，

y為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的向量。

Matlab近似計算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab計算定積分函數(shù)介紹第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二前面的做法例：用梯形法計算下面定積分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函數(shù)trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計算精度將自變量看成是向量拋物線法：quad不用自己分割積分區(qū)間可以指定計算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運行的時間越長此處的函數(shù)

f是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運算，即

點運算：.*，./，.\，.^

注：拋物線法第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)函數(shù)表達(dá)式一定要用單引號括起來！涉及的運算一定要用數(shù)組運算！例：用quad

計算定積分：quad舉例第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二拋物線法計算二重積分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)tol為計算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f(x,y)

可以由inline

定義，或通過一個函數(shù)句柄傳遞

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，[c,d]是第二積分變量

的積分區(qū)間按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面二重積分的計算第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f(x,y)

中關(guān)于第一自變量的運算是數(shù)組運算，

即把x

看成是向量，y

看成是標(biāo)量。也可以全部采用數(shù)組運算例2：計算二重積分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例1：計算二重積分dblquad舉例第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二例：計算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令運行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad舉例第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二int(f,a,b)

計算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計算函數(shù)f

關(guān)于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計算函數(shù)

f

關(guān)于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)符號積分：

intint符號積分第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二>>

symsxy;>>

f=y*sin(x);>>

int(f,x)>>

int(f,y)>>

int(f)>>

int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果int舉例第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二例：用int

函數(shù)計算定積分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,x,0,1)>>

int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int舉例第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二double(a)將a

轉(zhuǎn)化為雙精度型，若a

是字符，則取對應(yīng)的ASCII碼>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97其它相關(guān)函數(shù)第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)

梯形法：

拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)

符號積分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2)例1：用Matlab

函數(shù)近似計算積分?jǐn)?shù)值實驗第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期二

拋物線法：>>

dblquad(inline('x+y^2')),0,2,-1,1)

符號積分法：>