實(shí)數(shù)集與函數(shù)

實(shí)數(shù)集與函數(shù)第一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二§1

實(shí)數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)第二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二1.我們用符號“”表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的”,符號“”稱為全稱量詞.幾個(gè)常用符號第三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.我們用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實(shí)數(shù)x,都存在實(shí)數(shù)y,使得x+y=1”可表示為“xR,yR,

使x+y=1”符號“”稱為存在量詞.第四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.我們用符號“”表示“充分條件”比如,若用p,q分別表示兩個(gè)命題或陳述句.或“推出”這一意思.則“pq”表示“若p成立,則q也成立”.即p是q成立的充分條件.第五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二4.我們用符號“”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”比如“p

q”表示“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”或者說p成立的充要條件是q成立.或“充要條件”這一意思.第六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二1.集合集合集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.

集合可用大寫的字母A,B,C,D等標(biāo)識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.

集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標(biāo)識.

a是集合M的元素記為aM,讀作a屬于M.

a不是集合M的元素記為aM,讀作a不屬于M.一、集合第七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二集合的表示列舉法

把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為

M{x|x具有性質(zhì)P}.

例如M{(x,y)|x,y為實(shí)數(shù),x2y21}.第八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二幾個(gè)數(shù)集所有自然數(shù)構(gòu)成的集合記為N,稱為自然數(shù)集.

所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記為R,稱為實(shí)數(shù)集.

所有整數(shù)構(gòu)成的集合記為Z,稱為整數(shù)集.

所有有理數(shù)構(gòu)成的集合記為Q,稱為有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為AB(讀作A包含于B).AB若xA,則xB.

顯然,NZ,ZQ,QR.第九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.集合的運(yùn)算

設(shè)A、B是兩個(gè)集合,則

AB{x|xA或xB}稱為A與B的并集(簡稱并).

AB{x|xA且xB}稱為A與B的交集(簡稱交).A\B{x|xA且xB}稱為A與B的差集(簡稱差).ACI\A{x|xA}為稱A的余集或補(bǔ)集,其中I為全集.提示:

如果研究某個(gè)問題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行,所研究的其他集合A都是I的子集.則稱集合I為全集或基本集.第十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二集合運(yùn)算的法則設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合,則有

(1)交換律ABBA,

ABBA;(2)結(jié)合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)對偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的證明所以(AB)CACBC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xB

x(AB)C第十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二直積(笛卡兒乘積)

設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合,則有序?qū)?/p>

AB{(x,y)|xA且yB}稱為集合A與集合B的直積.

例如,RR{(x,y)|xR且yR}即為xOy面上全體點(diǎn)的集合,RR常記作R2.

第十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二說明:

對于負(fù)實(shí)數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)3.實(shí)數(shù)集兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系說明:

.自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)LLLLLLL定義1第十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二定義2LLLL,2,1,0101..210210=+===，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位過剩近似的稱為而有理數(shù)位不足近似的為實(shí)數(shù)稱有理數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)設(shè)說明:

..101..210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL-=-=-=與分別規(guī)定為位不足近似與過剩近似的負(fù)實(shí)數(shù)說明:

.,210210LL333￡￡￡xxx，nxxxx，nxxnn即有增大時(shí)不增當(dāng)過剩近似即有增大時(shí)不減當(dāng)?shù)牟蛔憬茖?shí)數(shù)第十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二命題1..,:..位過剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要條件是則為兩個(gè)實(shí)數(shù)與設(shè)nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnn>?$>==+LL第十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運(yùn)算是封閉的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)集是有序的.即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b必滿足下述三個(gè)關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.第十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.實(shí)數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c實(shí)數(shù)的性質(zhì).，則存在正整數(shù)n,使得nb>a.

即對任何4.實(shí)數(shù)具有阿基米德性,a>b>0,第十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二5.實(shí)數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間幾有另一個(gè)實(shí)數(shù),且既有在理數(shù),也有無理數(shù).6.實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系.即任一實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點(diǎn),反之,數(shù)軸上的每一點(diǎn)也都唯一的代表一個(gè)實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的性質(zhì)第十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二例1證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè).,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于第十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數(shù)證明設(shè)ee例2..,,..bababababa，￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeee證明第二十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.小結(jié)

P9:1,2,3,4,5.(1),兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系;(2),實(shí)數(shù)的性質(zhì);(3),區(qū)間和鄰域的概念;(4),確界原理.第二十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二§2

數(shù)集.確界原理第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)第二十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間,記為(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.

[a,b]={x|axb}——閉區(qū)間.

[a,b)={x|ax<b}——半開區(qū)間,(a,b]={x|a<xb}——半開區(qū)間.有限區(qū)間上述區(qū)間都是有限區(qū)間,其中a和b稱為區(qū)間的端點(diǎn),b-a稱為區(qū)間的長度.1.區(qū)間和鄰域第二十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

(-,b]={x|xb},

(-,+)={x||x|<+}.

[a,+)={x|ax},無限區(qū)間

(-,b)={x|x<b},

(a,+)={x|a<x},1.區(qū)間和鄰域第二十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二鄰域以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)a的鄰域,記作U(a).

設(shè)>0,則稱

U(a,)=(a-,a+)={x||x-a|<}為點(diǎn)a的鄰域,其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.去心鄰域U(a,)={x|0<|x-a|<}.。第二十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二說明:

2.確界原理定義1若數(shù)集S既有上界又有下界,則稱S為有界集.

若數(shù)集S不是有界集,則稱S為無界集..,,1][,0.100無上界即則取的下界的實(shí)數(shù)都是任何一個(gè)不大于顯然++>+=>"NMnMnMN，).()()(),()(下界的一個(gè)上界稱為數(shù)的數(shù)集下界為有上界則稱都有使得對一切若存在數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SLM，SLxMxS，x，LM，RS3￡?{}.有下界而無上界為正整數(shù)數(shù)集例如nnN=+第二十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二定義2說明:

Sxx1x2x3x4x5xn,)(xa<"iia,,00a>?$xSx使得x0，S的最小上界又是即x;.,)(的上界是即有滿足若數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SxSxi，RSxxx￡?".supS，S=xx記作的上確界為數(shù)集則稱數(shù)同理可得下確界的定義.定義3:

;.,)(的下界是即有滿足若數(shù)中的一個(gè)數(shù)集是設(shè)SxSxi，RShhh3?".inf,,,)(00S，S，SxSxii=<?$>"hhhbhb記作的下確界為數(shù)集則稱數(shù)的最大下界又是即使得第二十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二確界原理設(shè)S為非空數(shù)集,若S有上界,則S必有上確界;若S有下界,則S必有下確界.例3設(shè)A,B為非空數(shù)集,滿足:證明數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界,且證:故有確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界.是數(shù)集A的一個(gè)上界,而由上確界的定義知由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù)都是數(shù)集A的上界,

A中任一數(shù)都是B的下界,是數(shù)集A的最小上界,故有第二十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二設(shè)A,B為非空有限數(shù)集,.證明:而此式又表明數(shù)是數(shù)集B的一個(gè)下界,故由下確界的定義證得例4證:故得第二十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二綜上,即證得

(ii)可類似證明.所以第三十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.小結(jié)

P9:1,2,3,4,5.(1),兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系;(2),實(shí)數(shù)的性質(zhì);(3),區(qū)間和鄰域的概念;(4),確界原理.第三十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

§3函數(shù)概念第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)第三十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二說明:

記號f和f(x)的區(qū)別:前者表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則,而后者表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值.說明:

為了敘述方便,常用記號“f(x),xD”或“yf(x),xD”來表示定義在D上的函數(shù),這時(shí)應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.說明:

函數(shù)的記號是可以任意選取的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“”等,此時(shí)函數(shù)就記作yg(x)、yF(x)、y(x)等.

但在同一問題中,不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號.設(shè)數(shù)集DR,則稱映射f:D

R為定義在D上的函數(shù),通常簡記為

yf(x),xD,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記作Df,即DfD.1.函數(shù)概念定義第三十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對應(yīng)法則f.

如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定:

對有實(shí)際背景的函數(shù),根據(jù)實(shí)際背景中變量的實(shí)際意義確定.函數(shù)的定義域?qū)Τ橄蟮赜盟闶奖磉_(dá)的函數(shù),其定義域是使得算式有意義的一切實(shí)數(shù)組成的集合,這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域.第三十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集

{P(x,y)|yf(x),xD}稱為函數(shù)yf(x),xD的圖形.函數(shù)的表示法第三十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二單值函數(shù)與多值函數(shù)在函數(shù)的定義中,對每個(gè)xD,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個(gè)對應(yīng)法則,按這個(gè)法則,對每個(gè)xD,總有確定的y值與之對應(yīng),但這個(gè)y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù):此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個(gè)單值分支第三十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

=[0,+).

例6

例5

函數(shù)y=2.

這是一個(gè)常值函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,

+),其值域?yàn)镽f

={2}.函數(shù)舉例第三十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二此函數(shù)稱為符號函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

={-1,0,1}.

例8

函數(shù)y=[x].

例7

注:

設(shè)x為任上實(shí)數(shù),不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分,記作[x].此函數(shù)稱為取整函數(shù),其定義域?yàn)镈=(-,+),其值域?yàn)镽f

=Z.第三十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

例9

此函數(shù)的定義域?yàn)镈=[0,1](0,+)=[0,+).

f(3)=1+3=4.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).第三十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).例如,函數(shù)yx3,xR是單射,所以它的反函數(shù)存在,其反函數(shù)為函數(shù)yx3,xR的反函數(shù)是提問:下列結(jié)論是否正確？第四十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.反函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù),則f:Df(D)是單射,于是f的反函數(shù)f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).第四十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二相對于反函數(shù)yf

1(x)來說,原來的函數(shù)yf(x)稱為直接函數(shù).

函數(shù)yf(x)和yf

1(x)的圖形關(guān)于直線yx是對稱的.反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習(xí)慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).第四十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈1,函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數(shù)稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說明:g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如>>>第四十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二4.函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,DD1D2,則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:

和(差)f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;

積f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;第四十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

例10

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?l,l),證明必存在(l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)g(x)h(x).提示:如果f(x)g(x)h(x),則f(x)g(x)h(x),于是

證

則f(x)g(x)h(x),且第四十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

冪函數(shù):yx

(R是常數(shù));

指數(shù)函數(shù):ya

x(a0且a1);

對數(shù)函數(shù):yloga

x(a0且a1),

特別當(dāng)ae時(shí),記為ylnx;

三角函數(shù):ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函數(shù):yarcsinx,yarccosx,

yarctanx,yarccotx.>>>基本初等函數(shù)第四十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(一)冪函數(shù)的圖形

第四十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第四十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二同一坐標(biāo)系中冪函數(shù)的圖象第四十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(二)指數(shù)函數(shù)的圖形

第五十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二同一坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)的圖象第五十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(三)對數(shù)函數(shù)的圖形

第五十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二同一坐標(biāo)系中對數(shù)函數(shù)的圖象第五十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二正弦函數(shù)的圖象(四)三角函數(shù)的圖形

第五十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二余弦函數(shù)的圖象

第五十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第五十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第五十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(五)反三角函數(shù)的圖象第五十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第五十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第六十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第六十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈1,函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數(shù)稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說明:g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如>>>復(fù)合函數(shù)第六十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).都是初等函數(shù).例如,函數(shù)初等函數(shù)第六十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二雙曲函數(shù)應(yīng)用上常遇到的雙曲函數(shù)是:雙曲正弦:雙曲余弦:雙曲正切:雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第六十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的性質(zhì)比較sin(xy)=sinxcosycosxsiny.

sh(xy)=shxchychxshy,

ch2x-sh2x=1,

ch(xy)=chxchyshxshy,

sh2x=2shxchx,

ch2x=ch2x+sh2x.比較cos(xy)=cosxcosysinxsiny.第六十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)

y=shx,y=chx,y=thx的反函數(shù)依次記為反雙曲正弦:y=arshx,反雙曲余弦:y=archx,反雙曲正切:y=arthx.可以證明第六十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二6.小結(jié)

P9:1,2,4,5,7,8.(1),基本初等函數(shù)的概念;(2),基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì);(3),復(fù)合函數(shù)的概念及性質(zhì);(4),雙曲函數(shù)的概念;(5),初等函數(shù)的概念.第六十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

(1)符號函數(shù)1-1xyo幾個(gè)特殊函數(shù)舉例第六十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線第六十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第七十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(4)取最值函數(shù)yxoyxo第七十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第七十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

§4具有某些特性的函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)第七十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二1.單調(diào)函數(shù)

單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).xyof(x)單調(diào)遞增xyof(x)單調(diào)遞減設(shè)f(x)在(a,b)有定義.若x1,x2(a,b).x1<x2,有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)),

則稱f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).區(qū)間(a,b)稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.第七十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二如,y=x2,圖y=x20xy在(,0]上單調(diào)遞減,而在[0,+)上單調(diào)遞增.第七十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.奇偶函數(shù).

(1)若xD(f).有f(–x)=f(x).則稱f(x)為偶函數(shù).其圖形關(guān)于y軸對稱.(2)若xD(f).有f(–x)=–f(x).則稱f(x)為奇函數(shù).其圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈(f).滿足xD(f).有–xD(f).第七十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二易見,常函數(shù)y=c是偶函數(shù).狄利克萊函數(shù)D(x)也是偶函數(shù).因?yàn)槿魓為有理數(shù),則–x也是有理數(shù),從而若x為無理數(shù),則–x也是無理數(shù),從而綜合起來,總有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一個(gè)偶函數(shù).D(x)=D(–x)=1D(x)=D(–x)=0第七十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.周期函數(shù).

設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈(f).若存在常數(shù)T0,使xD(f).有xTD(f).且f(xT)=f(x).則稱f(x)為周期函數(shù).T為f(x)的周期.由于周期函數(shù)的函數(shù)值是呈周期變化.因此,周期函數(shù)的圖形也是呈周期性變化.會周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn).如y=sinx,y=cosx.第七十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二易見,若T為f(x)的周期,則nT均為f(x)的周期,n=1,2,…,通常稱最小正周期為f(x)的周期.畫周期函數(shù)圖形可以先在一周期內(nèi)畫好,然后向數(shù)軸兩端平移.第七十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二如y=sinx,2n都是sinx的周期,其中n=1,2,…,它的最小正周期為2.是周期函數(shù),它的周期為n,n=1,2,…最小正周期為.第八十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二有些周期函數(shù)沒有最小正周期.如常數(shù)函數(shù)y=f(x)=c(常數(shù)),是一個(gè)周期函數(shù).任何一個(gè)大于0的常數(shù)T都是它的一個(gè)周期.這是因?yàn)閒(x)=c=f(x+T)在這無窮多個(gè)大于0的周期T中,找不到一個(gè)最小的正周期T.第八十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二又如,狄利克萊函數(shù)D(x)也是周期函數(shù).任何一個(gè)大于0的有理數(shù)T都是D(x)的周期.因?yàn)?i)若x為有理數(shù),則x+T也是有理數(shù).從而D(x)=1=D(x+T)(ii)若x為無理數(shù),則x+T也是無理數(shù).從而D(x)=0=D(x+T)所以,總有D(x)=D(x+T).即T是D(x)的周期.但是在這無窮多個(gè)大于0的有理數(shù)T中,找不到一個(gè)最小的T.第八十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二4.有界函數(shù)定義4.

幾何意義：由于|f(x)|MMf(x)M.因此,f(x)在(a,b)內(nèi)有界.就表示了f(x)的圖形夾在兩平行直線y=M之間.xyoabMM設(shè)f(x)在(a,b)有定義,若存在常數(shù)M>0,使x(a,b),有|f(x)|M.則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有界.否則,稱f(x)在(a,b)內(nèi)無界.第八十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二若M1,使x(a,b),有f(x)M1,則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有上界.M1稱為它的一個(gè)上界,看圖.若M2,使x(a,b),有M2

f(x),則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有下界.M2稱為它的一個(gè)下界,看圖.xyoabM2xyoabM1第八十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二f(x)在(a,b)有界

f(x)在(a,b)既有上界,又有下界.易見,若f(x)在(a,b)有上界M1,則它在(a,b)有無窮多個(gè)上界.若f(x)在(a,b)有下界M2,則它在(a,b)有無窮多個(gè)下界.比如M2–1,M2–2,…都是它的下界.比如M1+1,M1+2,…都是它的上界.第八十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二可以證明,在這無窮多個(gè)上界中必有一個(gè)最小的上界M,稱為f(x)在(a,b)的上確界.記作在這無窮多個(gè)下界中必有一個(gè)最大的