2021-2022學(xué)年上海市靜安區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市靜安區(qū)高二上期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題(本大題滿分30分，本大題共有10題)

1.直線x+2y+1=0的傾斜角為.

【解析】直線無+2y+l=0的斜率左=-；,則傾斜角為萬-arctan；.

2.設(shè)直線/的一個方向向量7=(6,2,3),平面a的一個法向量n=(-1,3,0)則直線/與平面a的位

置關(guān)系為—.

【解析】因為2?同=-6+2x3+0=0,所以I，萬.

所以直線/與平面。的位置關(guān)系是直線I在平面a內(nèi)或平行于平面a.

3.正方體-24GA，棱長為a，則棱44所在直線與直線間的距離為—.

【解析】取中點O,則耳。是異面直線耳片和Bq的公垂線，B.O=--a.

4.正方體Z8C?！?81GA中，E、F為AB、8與中點，則同￡、所成的角為—.

【解析】以。為原點，D4為x軸，0c為十軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體—中棱長為2，

則4(2,0,2),￡(2/,0),￡(0,2,2),/(2,2,1),奉=(0,1,-2),*=(2,0,-1),

設(shè)異面直線A{E與C\F所成角為6,

則cos6>=零=2,所以所成的角為arccosZ.

\AE\-\C]F\55

5.在三棱錐A-BCD中ABC和BCD都是邊長為a的正三角形，二面角A-BC-D的大小為6,

當(dāng)。=時，該三棱錐的全面積最大.

【解析】取8C中點連接4〃,。加，則A48C和BCD都是正三角形，

乙4"。是二面角N-8C-。的平面角，Z.AMD=0,

又MBD="CD,且當(dāng)N4l〃)=90°時，A4C。和AA8。面積最

大,

此時在中，由余弦定理得/2回。=一!

3

當(dāng)6=萬-arccos—時，該三棱錐的全面積最大.

3

6.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系。-初z中的坐標(biāo)分別是

(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),則該四面體的體積為.

【解析】滿足條件的四面體為正方體的內(nèi)接正四面體O-48C.

所以該四面體的體積匕=13-4xJxLxFxl=-.

323

7.某校從高二年級期中考試的學(xué)生中抽取60名學(xué)生，其成績（均為整數(shù)）

的頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)從成績70分以上的學(xué)生中任選兩人，則他

們的分?jǐn)?shù)在同一分?jǐn)?shù)段的概率為.

【解析】由頻率分布直方圖得，分?jǐn)?shù)在［70,80）上的有60x0.03x10=18,

分?jǐn)?shù)在［80,90)上的有60x0.025x10=15,

分?jǐn)?shù)在［90,100)上的有60x0.005x10=3,

分?jǐn)?shù)在［70,100)上的有18+15+3=36人,

G；+G；+C=29

則他們的分?jǐn)?shù)在同一分?jǐn)?shù)段的概率P=

《670

8.如圖，在棱長為2的正方體N5CD-4qGA中，點？是平面NCG4上一動

點，且滿足印?麗=0,則滿足條件的所有點尸所圍成的平面區(qū)域的面積是.

【解析】法一：如圖，以80,ZC的交點。為原點，。3,。。為X軸，了軸,

垂直平面ABCD于O的直線為Z軸建立坐標(biāo)系，

此時4(一血,0,2),。(0,夜,0),設(shè)P(0,y,z),

D}P=(\［2,y,z-T),CP=(0,y-y/2,z),

___(/yV

D、P.CP=y2fy+z2_2z=Q=y-—+(z-l)2

、2,

A

所以。點運動軌跡為圓，所以S=;r/=37.r

2

法二：在平面中，滿足印?5=0的軌跡為一個圓，在空間中自然是一個球;

又規(guī)定點P是平面ZCG4上一動點，

5

所以p的軌跡為平面zee/與該球的截面即小圓,

設(shè)球心為M,球的半徑為R=CM=42,

在平面ZCC14中，小圓的圓心為N,半徑為尸，V

則AWJ.ZCG4,得MN=與,則L=卜'）=乎，—

?3

所以S=萬廠2=—].

2

法三：印?麗=0,在空間中，其軌跡是以為直徑的一個球。，

而在平面NCG4上的截面為圓，我們可以抽象出這個球如下右圖所示，

很顯然，球的半徑&=co=血，

歷

球心到平面“CG4的距離為。的中點到平面“CG4的距離”=學(xué)，

（「丫

所以截面圓?的半徑滿足/=管—"2=（行）2—芳

、2J2

所以S=nr~=—.

2

9.氣象意義上從春季進入夏季的標(biāo)志為:連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22度，現(xiàn)有甲，乙，丙三

地的連續(xù)5天日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）

甲:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;

乙：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,平均值為24;

丙:5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,平均值為26,方差為10.8;

則肯定能進入夏季的地區(qū)是—

【解析】①甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22,

甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為22,22,24,25,26,

其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22,故甲地進入夏季，

②乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為27,

比如這5個數(shù)據(jù)從小到大排列為20,21,27,33,34滿足條件,

但是有低于22的數(shù)，故不確定.

③丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,

若有低于22,則取21,此時方差就超出了10.8,

得其連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22.

則肯定進入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地，

10.已知實數(shù)玉,%2，%,為滿足X：+K=l,x；+y}=；則比赳+安心的最大值為

【解析】作出圓。:/+/=1,與直線/:x+y-1=0,

由題意得A/（X],乂），NJ2,%）都在圓/+/=1上，

|MN|="（--82）2+（乂-%）2=1，則4M0N=60°,

區(qū)+X-”

+M+%一”表示〃和N到直線/:x+y-1=0的距離和

6叵

|MM'|+1|,

由圖形得只有當(dāng)M、N都在直線/的左側(cè)距離之和才會取得最大值.

取A/、N的中點G,過G作GG，_U,垂足為G\則|W|+1NV|=21GG1,

因為AMON為等邊三角形，G為的中點，所以。G=*,

2

則G在圓=：上運動，故G到直線x+y—1=0距離的最大值為等+[,

所以|腸1，|+|刈1=2|63|的最大值為2><卷-+3）=6+血.

二、選擇題（本大題滿分12分，本大題共有4題）

11.給定空間中的直線I及平面a,條件“直線I與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線/與平面a垂

直”的（）條件.

A.充要B.充分非必要

C.必要非充分D.既非充分又非必要

【解析】直線與平面a內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，但該直線未必與平面a垂直;

即“直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”n“直線/與平面a垂直”為假命題；

但直線/與平面a垂直時，/與平面a內(nèi)的每一條直線都垂直,

即“直線/與平面a垂直”n“直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”為真命題；

故為必要非充分條件，故選C.

12.已知平面a//平面/，直線/ua點Pe/,平面e,萬間的距離為4,則在￡內(nèi)到點P的距離

9

為5且到直線/的距離是:的點M的軌跡是()

A.一個圓B.兩條平行直線C.四個點D.兩個點

【解析】設(shè)滿足條件的點為。,

過點P做平面Z的垂線PO，則。。=4.

平面夕內(nèi)一點D到點P的距離為P0=5,PD2=PO2+0D2,

所以0。=3,即。為平面/上以垂足。為圓心，半徑R=3的圓上,

在￡內(nèi)到直線/的距離是彳9的點的軌跡是兩條平行線，

點O到它們的距離為［§)2-42=孚<3.

這兩條平行線與圓錐底面產(chǎn)生4個交點，

故選C.

13.設(shè)集合/={(招》)|。一4)2+/=1},B={(xj)|(xT)2+(y_4+2)2=1},如果命題“存在

teR,“仆5工0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[1,4]

4

C.畤D.(-0o,0]U[y,+oo)

【解析】因為Z={(x,y)|(x—4)2+/=l},表示平面坐標(biāo)系中以M(4,0)為圓心,

半徑為1的圓，

8={(x,y)|(x—)2+(y一皿+2>=1}，表示以N(f,W-2)為圓心,

半徑為1的圓，且其圓心N在直線ax-y-2=0上，如圖.

如果命題“于GR,”n8w0”是真命題，即兩圓有公共點，

則圓心M到直線ax-y-2=0的距離不大于2,

即華芻42,解得

4

所以實數(shù)。的取值范圍是故選夙

14.設(shè)4、B、C、。是半徑為1的球面上的四個不同點，且滿足方?就=0,AC-AD=0f

~AD-AB=0t用W、S2、S3分別表示A48C、\ACD.A48。的面積，則S1+S2+邑的最大值

是（）

1

A.一B.2C.4D.8

2

【解析】設(shè)4B=a,AC-b,AD=c,

因為4B、AC./O兩兩互相垂直，擴展為長方體，它的對角線為球的直徑,

所以/+。2+c2=4R?=4

222

所以SMBC+SMCD+SMDB=^(ab+ac+bc)<^(a+b+C)=2

即最大值為2,故選5.

三、解答題（本大題滿分58分，本大題共有5題）

15.已知直線4:（3+m）x+4y=5-3加和4：2x+（5+m）y=8，

（i）若/1與4平行，求〃2的值；

（2）若4與，2垂直，求〃2的值.

【解析】（1）當(dāng)（3+次）?2+4（5+機）=0時，即6m+26=0時，人與人垂直，

BPm=--1時，4與4垂直?

⑵當(dāng)耍士當(dāng)時，

4與，2平行,

即加=一7時，4與，2平行.

16.在正方體Z6CD-44GA中，E是棱。。的中點.

（1）求直線8E和平面瓦4所成角的正弦值；

(2)在棱G4上是否存在一點/使用E//平面48E,證明你的結(jié)論.

【解析】(1)如圖(a),取的中點V,連接EM,BM,

因為￡是棱。，的中點，四邊形為正方形，所以EM//AD.

在正方體Z8C。—44CQi中，工。_1_面工844，

所以近0_1面4844,從而為直線8E在平面上的射影，NEBM是

直線BE和平面ABB4所成角，

設(shè)正方體的棱長為2,則EM=4D=2,BE=d*+*=3,

于是在R/A5EA/中，sinNEBM=%=上,

BE3

2

則直線BE和平面48四4所成角的正弦值為§：

(2)在棱G4上存在點R,使用產(chǎn)平面48E,

事實上，如圖(b)所示，分別取G"和C。的中點E,G,

連接EG,BG,CD”FG,因為ZQ//80"/5。,且4〃=5C,

所以四邊形48CR為平行四邊形，因此

又瓦G分別為和CQ的中點，所以EG///田，

這說明4,8,G,￡共面，所以BGu平面4BE,

因為四邊形CCQD1與BBCG皆為正方形，

F,G分別為G〃和CD的中點，所以FG//CCJ/BB、且FG=C￡=55,.

因此四邊形片8GE為平行四邊形，所以B///BG,

而B.F(Z平面A,BE,BGu平面&BE,故8///平面A.BE.

17.如圖所示為〃、N兩點間的電路，在時間T內(nèi)不同元件發(fā)生故障的事件是相互獨立的，他們發(fā)

生故障的概率如下表所示:

元件K\K?AL?4

概率0.60.50.40.50.7

(1)求在時間「內(nèi)，&與A：2同時發(fā)生故障的概率；

(2)求在時間7內(nèi)，K1,K2至少一個發(fā)生故障的概率；

(3)求在時間T內(nèi)，電路不通的概率.

【解析】(1)設(shè)4表示K,C=1,2)發(fā)生故障,則尸(4)=0.6,尸(4)=0.5,

在時間T內(nèi)K］與K2同時發(fā)生故障的概率［=尸(4)P(4)=0.6x0.5=0.3；

(2)在時間T內(nèi)，(與長2至少一個發(fā)生故障的概率

=尸尸⑷尸⑷+尸⑷尸⑷=

P2(4*(%)+0.8；

(3)設(shè)瓦表示卬1,2,3)發(fā)生故障,則尸(4)=0.4,尸(82)=0.5,尸(83)=0.7,

在時間T內(nèi)，電路不通的概率

-=1一[尸(3JP(灰)x(1—P(B1)P?)P(鳥))]=0.828.

18.由曲線丁=；》2/=-；/0=4/=一4圍成的封閉圖形繞；；軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積

為匕;滿足x2+y2<l6,x2+(y-2)2>4,x2+(y+2)224的點(x,y)所組成的封閉圖形繞夕軸旋

轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V2

(1)當(dāng)丁=/,/€［0,4］時，分別求出兩旋轉(zhuǎn)體的水平截面的面積岳,邑;

(2)求匕與匕的關(guān)系，并說明理由.

【解析】(1)5=乃(42-4|川)，

S?=%d一V)一磯4-(2-1/*］=?⑷一43)；

(2)因為岳=$2，由祖恒原理得兩個幾何體體積相等.

19.如圖，已知定圓C:/+(y-3)2=4,定直線〃?：x+3y+6=0,過

2(-1,0)的一條動直線/與直線相交于N,與圓C相交于。，0兩點，M是

P。中點.

(1)當(dāng)0時，求直線/的方程；

(2)設(shè)，=萬7?方，試問f是否為定值，若為定值，請求出f的值；若不為定值，請說明理由.

【解析】(1)當(dāng)直線/與x軸垂直時，易得x=-l符合題意；

當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線/的方程為y=4(x+l),由于|尸。|=2百，

所以|C/|=1.由|CM|J解得左=±.

Jk?+13

故直線/的方程為x=—l或4x—3y+4=0.

(3)法一：當(dāng)/與x軸垂直時，易得M(—1,3),^(-1,--

又4一1,0),則礪=(0,3),W=(0,-1),故旃?麗=-5.即/=一5.

當(dāng)/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=%(x+l),

/+0-3)2=4得(]+42濡+(2左2_6機+左2_64+5=0.

由＜

y=左(x+1)

X|+x,—k~