江蘇揚(yáng)州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題解析

高三數(shù)學(xué)三月質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算得到，進(jìn)而求出，計(jì)算出模長.【詳解】，則，所以，則故選：A2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合，結(jié)合集合的補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，又，所以，所?故選:B.3.下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進(jìn)球總數(shù)：年份19941998200220062010201420182022進(jìn)球總數(shù)141171161147145171169172則進(jìn)球總數(shù)的第40百分位數(shù)是（）A.147 B.154 C.161 D.165【答案】C【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，計(jì)算，根據(jù)第40百分位數(shù)的含義，即可確定答案.【詳解】將連續(xù)八屆的進(jìn)球總數(shù)從小到大排列為：，由于，故進(jìn)球總數(shù)的第40百分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)據(jù)161，故選：C4.下列是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】，顯然，，，，所以函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的是，ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D5.根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂場所室內(nèi)甲醛濃度為安全范圍.已知某新建文化娛樂場所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工1周后室內(nèi)甲醛濃度為，3周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（）A.5周 B.6周C.7周 D.8周【答案】B【解析】【分析】由相除可得，然后解不等式，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)估計(jì)出，從而可得的范圍，由此可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，，，，解得.設(shè)該文化娛樂場所竣工后放置周后甲醛濃度達(dá)到安企開放標(biāo)準(zhǔn)，則，整理得，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，則，即.故至少需要放置的時(shí)間為6周.故選：B.6.在某個(gè)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件，相互獨(dú)立，且在一次實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，其中．若進(jìn)行次實(shí)驗(yàn)，記事件發(fā)生的次數(shù)為，事件發(fā)生的次數(shù)為，事件發(fā)生的次數(shù)為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由相互獨(dú)立事件的概率及二項(xiàng)分布的期望與方差進(jìn)行辨析即可.【詳解】由已知，，∴，，，∴，，∵事件，相互獨(dú)立，∴一次實(shí)驗(yàn)中，，同時(shí)發(fā)生的概率，∴，∴，，對(duì)于A，，，不一定成立，故選項(xiàng)A說法不正確；對(duì)于B，，，，不一定成立，故選項(xiàng)B說法不正確；對(duì)于C，，，成立，故選項(xiàng)C說法正確；對(duì)于D，，，不一定成立，故選項(xiàng)D說法不正確.故選：C.7.由點(diǎn)射出的兩條光線與分別相切于點(diǎn)，，稱兩射線，上切點(diǎn)右側(cè)部分的射線和優(yōu)弧右側(cè)所夾的平面區(qū)域?yàn)榈摹氨趁妗保籼幱诘摹氨趁妗?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，進(jìn)而可得切線方程，利用新定義可求的最值，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，，，直線的方程為，即，直線的方程為，即，處于的“背面”，與相切時(shí)取最小值，由，解得或，結(jié)合圖形可得的最小值為，同理與相切時(shí)可得的最大值為，．故選：D．8.若正三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，，則正三棱臺(tái)的高為（）A. B.4 C.或3 D.3或4【答案】D【解析】【分析】由外接球的表面積可得，分別求出正三棱臺(tái)的上下兩個(gè)底面的外接圓的半徑，然后由球的性質(zhì)分別求出球心到上下兩個(gè)面的距離，再分三棱臺(tái)的上下底面在球心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況求解即可.【詳解】解析：設(shè)點(diǎn)，分別是正，的中心，球的半徑為，則，即，且，，三點(diǎn)共線，正三棱臺(tái)的高為，在等邊中，由，由正弦定理可得：，得等邊中，由，由正弦定理可得：，得在中，，即，得，在中，，即，得，如果三棱臺(tái)的上下底面在球心的兩側(cè)，則正三棱臺(tái)的高為，如果三棱臺(tái)的上下底面在球心的同側(cè)，則正三棱臺(tái)的高為，所以正三棱臺(tái)的高為或4，故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可判定A、B正確，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，可判定C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】由，，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以A是正確的；由，，可得，則，可得，所以B正確；取，，則，從而，所以C錯(cuò)誤；由冪函數(shù)，在上是增函數(shù)，則由，即得，則D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，以及冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，以及合理應(yīng)用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.10.已知是的導(dǎo)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的為（）A.與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B.與有相同的最大值C.將圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度可得的圖像D.當(dāng)時(shí)，與都在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】先求得的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)三角函數(shù)圖像平移,根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性,

根據(jù)求三角函數(shù)的值域，根據(jù)求解三角函數(shù)的單調(diào)性等分別驗(yàn)證ABCD選項(xiàng)的正誤.【詳解】已知的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，其中，最大值為，，其中，最大值為，故B選項(xiàng)正確；，.將的圖像向右平移個(gè)單位得的圖像，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，綜上可知和在上單調(diào)性相同，但可能遞增也可能遞減，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.可能為銳角三角形B.過點(diǎn)且與拋物線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條C.若，則的面積為D.最小值為【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A：聯(lián)立直線AB與拋物線的方程，由韋達(dá)定理得，，從而得到，由此判斷即可；對(duì)于B：判斷得點(diǎn)在拋物線外，由此得以判斷；對(duì)于C：利用拋物線的定義可求得，進(jìn)而求得，從而根據(jù)即可判斷；對(duì)于D：利用拋物線的定義得到，從而利用基本不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閽佄锞€C：的焦點(diǎn)為F，所以，設(shè)，，AB方程為，由，得，所以，，故，所以∠AOB為鈍角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)閷?duì)于，當(dāng)時(shí)，，所以在拋物線外，顯然過與拋物線C相切的直線有2條，當(dāng)此直線與x軸平行時(shí)，與拋物線C也是僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以過點(diǎn)且與拋物線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，即，不妨設(shè)，此時(shí)，故AB方程為，聯(lián)立拋物線C：，解得，所以，故C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)A知，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：CD．12.已知函數(shù)的定義域均為，且滿足，，，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.【答案】ABD【解析】【分析】由得出的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即；由和得出，判斷選項(xiàng)A正確；由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，判斷選項(xiàng)B正確；由和得出的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，C錯(cuò)誤；記，則數(shù)列和均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可得D正確．【詳解】因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，A正確；因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，B正確；由，得，即，．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，相減得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以，所以．記，結(jié)合A、C分析知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，，所以，D正確；故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求所需項(xiàng)的系數(shù)即可得出.【詳解】的展開式中的系數(shù)，是的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)之積，即.故答案為：14.曲線在處的切線的傾斜角為，則__________．【答案】【解析】【分析】先求出，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解.【詳解】由題得，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式），要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.15.平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，則，設(shè)，，，根據(jù)均值不等式計(jì)算最值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.詳解】解：如圖所示：設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)椋?，由三角形邊的關(guān)系得，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)最小時(shí)，最大，而與夾角的正弦值與正弦值相等，故其最大值為.故答案為：16.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.【答案】【解析】【分析】令，分，，，利用導(dǎo)數(shù)法討論求解.【詳解】解：令，則，①當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②時(shí)，在區(qū)間上恒為負(fù)，在區(qū)間上恒為正，則需在區(qū)間上恒為負(fù)，在區(qū)間上恒為正，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，則需，此時(shí)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒為負(fù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在時(shí)取得極大值也是最大值，，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，設(shè)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證明數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即可求解；（2）結(jié)合（1）得，再分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：由，得，兩式相減，得，所以，即.又因?yàn)闀r(shí)，，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以.【小問2詳解】解：由（1）得，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上，18.如圖，在平面四邊形中，，，．（1）若，求的面積；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出，利用誘導(dǎo)公式求出，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)正弦定理和誘導(dǎo)公式可得、，解得，同角的三角函數(shù)關(guān)系求出即可求解.【小問1詳解】在中，由余弦定理可得．，所以．【小問2詳解】設(shè)，則，，在中，由正弦定理可得，即，所以，．于是，解得或（舍）．所以，因此．19.如圖，菱與四邊形相交于，平面，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接，要證平面，只需證平面平面，由，可得；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)闉榱庑螌?duì)角線的交點(diǎn)，所以為中點(diǎn).又為中點(diǎn)，所以.又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?，所以，又，平?,平面，所以平面平面.又平面，所以平面；【小問2詳解】連接，設(shè)菱形的邊長，則由，得，又因?yàn)椋?，則在直角三角形中，，所以，且由平面，，得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,,則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即令，得，所以.又，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn)．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只，假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立．抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體沒有抗體合計(jì)（1）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)．（單位：只）（2）為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小自鼠產(chǎn)生抗體．（i）用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；（ii）以（i）中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記n個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X．試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)X=99時(shí)，P（X）取最大值，求參加人體接種試驗(yàn)的人數(shù)n．參考公式：（其中為樣本容量）0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）表格見解析，可以認(rèn)為（2）（i）；（ii）109或110．【解析】【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法求解即可；(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式列出不等式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只），在內(nèi)有（只）．由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只；而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有只，所以指標(biāo)值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計(jì)70130200零假設(shè)為:注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.【小問2詳解】（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，則，，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，（ii）由題意，知隨機(jī)變量，，因?yàn)樽畲?，所以，解得是整?shù)，所以或，接受接種試驗(yàn)的人數(shù)為109或110．21.已知A，B，C三點(diǎn)在橢圓上，其中A為橢圓E的右頂點(diǎn)，圓為三角形ABC的內(nèi)切圓.（1）求圓O的半徑r；（2）已知，，是E上的兩個(gè)點(diǎn)，直線與直線均與圓O相切，判斷直線與圓O的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）；（2）直線與圓相切，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)得，利用點(diǎn)在橢圓上，建立方程，解方程即可求出結(jié)果；（2）分別聯(lián)立直線，與橢圓的方程