第10講直線的交點坐標與距離公式（原卷版）

第10講直線的交點坐標與距離公式【知識點梳理】知識點一：直線的交點求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標.知識點詮釋：求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù).知識點二：過兩條直線交點的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．知識點三：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為.知識點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離來解決.另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應用，需熟練掌握.知識點四：點到直線的距離公式點到直線的距離為.知識點詮釋：（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等.知識點五：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為.知識點詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式.【題型歸納目錄】題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系題型二：過兩條直線交點的直線系方程題型三：交點問題題型四：對稱問題題型五：兩點間的距離題型六：點到直線的距離題型七：兩平行直線間的距離題型八：三線能圍成三角形問題【典型例題】題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系1．（2021·全國·高二專題練習）是直線(為常數(shù))上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（

）A．無論如何，總是無解B．無論如何，總有唯一解C．存在，使是方程組的一組解D．存在，使之有無窮多解2．（2021·江蘇·高二專題練習）兩條直線與的交點坐標就是方程組的實數(shù)解，給出以下三種說法：①若方程組無解，則兩直線平行；②若方程組只有一解，則兩直線相交；③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．其中說法正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．0（多選題）3．（2022·江蘇·高二課時練習）(多選題)與直線2x－y－3＝0相交的直線方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0（多選題）4．（2021·河北·張家口市第一中學高二階段練習）已知集合，集合，且，則（

）A．2 B． C． D．5．（2022·全國·高二課時練習）在下列直線中，與直線相交的直線為()A．

B．

C．

D．6．（2022·全國·高二課時練習）兩直線的位置關(guān)系方程組的解一組無數(shù)組無解直線與的公共點個數(shù)一個_______零個直線與的位置關(guān)系_______重合_______7．（2022·上海市控江中學高三階段練習）若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為______8．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若關(guān)于、的方程組無解，則實數(shù)________9．（2021·全國·高二專題練習）若關(guān)于的二元一次方程組有無窮多組解，則______．10．（2021·全國·高二專題練習）關(guān)于x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則a與b的積是_____.11．（2021·全國·高二課時練習）若方程與所確定的曲線有兩個交點，則a的取值范圍是________．12．（2021·江蘇·高二專題練習）判斷下列各對直線的位置關(guān)系.若相交，求出交點坐標：（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.題型二：過兩條直線交點的直線系方程1．（2022·江蘇·高二）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二課時練習）已知與是直線為常數(shù))上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（

）A．無論如何，總是無解 B．無論如何，總有唯一解C．存在，使之恰有兩解 D．存在，使之有無窮多解3．（2021·全國·高二課時練習）設直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.4．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點，并求點的坐標．5．（2022·江蘇·高二）直線經(jīng)過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.6．（2022·全國·高二課時練習）求證：不論為何實數(shù)，直線恒過定點．7．（2021·全國·高一課時練習）已知兩直線和.（1）判斷兩直線是否相交，若相交，求出其交點；（2）求過與的交點且斜率為的直線方程.8．（2021·全國·高一課時練習）求經(jīng)過直線與的交點，且過點的直線方程.9．（2021·全國·高二專題練習）直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過直線與直線的交點，求直線l的方程．題型三：交點問題1．（2022·江蘇·高二）直線x+ky=0和2x+3y+8=0的交點為A，且A在直線x-y-1=0上，則k的值是（

）A．- B． C．2 D．-22．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩條直線和的交點，并且平行于直線的直線的一般式方程為______．3．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直的直線方程為_______．4．（2022·江蘇·高二）如圖所示，在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為______．5．（2022·江蘇·高二）若直線經(jīng)過直線和的交點，則___________.6．（2022·全國·高二課時練習）已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．7．（2022·江蘇·高二）設三直線；；交于一點，則k的值為______．8．（2022·全國·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)b的取值范圍是___________.9．（2022·全國·高二課時練習）求過與的交點且與直線平行的直線方程．10．（2022·江蘇·高二）三條直線??有且只有兩個交點，求實數(shù)的值.11．（2022·全國·高三專題練習）過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.12．（2022·江蘇·高二）若直線與直線的交點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．題型四：對稱問題1．（2022·江蘇·高二）直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．2．（2022·天津市第九十五中學益中學校高二期末）與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．3．（2022·北京市十一學校高一階段練習）點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東潮州·二模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）．A．5 B． C．45 D．5．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．6．（2022·全國·高二課時練習）直線關(guān)于點對稱的直線方程是______．7．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期末）直線關(guān)于定點對稱的直線方程是_________．8．（2022·江蘇·高二）已知入射光線經(jīng)過點，被直線反射，反射光線經(jīng)過點，求反射光線所在直線的方程．9．（2022·江蘇·高二）點關(guān)于直線對稱的點的坐標是______．10．（2022·江蘇·高二）已知、，若P是直線上的點，則的最大值為______．11．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線，求：(1)直線l關(guān)于點對稱的直線的方程；(2)直線關(guān)于直線l對稱的直線的方程．12．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線l:.(1)求點P（3，4)關(guān)于直線l對稱的點Q；(2)求直線l關(guān)于點（2，3)對稱的直線方程．13．（2022·江蘇·高二）已知點，直線，直線.(1)求點A關(guān)于直線的對稱點B的坐標；(2)求直線關(guān)于直線的對稱直線方程.14．（2022·江蘇·高二）已知的頂點，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為______，求直線AC的方程．15．（2022·全國·高二課時練習）（1）已知實數(shù)對滿足，求的最小值；（2）求的最小值．（提示：聯(lián)想兩點間的距離公式）16．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l：，P（3，-1），Q（-3，3），當時，求直線l上的動點M到P，Q兩點的距離之和的最小值.題型五：兩點間的距離（多選題）1．（2022·重慶·四川外國語大學附屬外國語學校高二階段練習）（多選）等腰直角三角形的直角頂點為，若點A的坐標為，則點B的坐標可能是（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如：與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點：對于函數(shù)，的最小值為______．3．（2022·全國·高二課時練習）已知，且，求a的值．4．（2022·江蘇蘇州·高二期末）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知直線：mx－（2－m）y－4=0與直線h：x+y－2=0的交點M在第一三象限的角平分線上.(1)求實數(shù)m的值；(2)若點P在直線l上且，求點P的坐標.5．（2022·全國·高二課時練習）已知與兩點間的距離是17，求a的值．6．（2022·江蘇·高二課時練習）求函數(shù)的最小值．7．（2022·江蘇·高二課時練習）求函數(shù)的最小值．8．（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知的三個頂點分別為，，．(1)試判斷的形狀；(2)設點D為BC的中點，求BC邊上中線的長．9．（2022·全國·高二課時練習）已知，證明是等邊三角形．10．（2022·全國·高二課時練習）求到，，三點距離相等的點的坐標．11．（2022·全國·高二課時練習）已知，是直線上的兩點，若，且，求直線l的方程．題型六：點到直線的距離1．（2022·江蘇·高二）美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（

）A． B．C． D．2．（2022·重慶·三模）已知直線上存在一點P，滿足，其中O為坐標原點.則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·吉林吉林·模擬預測（文））已知兩點到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或（多選題）4．（2022·江蘇·高二）已知直線l過點，點，到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A． B．C． D．5．（2022·江蘇·高二）點P為直線上任意一個動點，則P到點的距離的最小值為___________.6．（2022·江蘇·高二）直線，為直線l上動點，則的最小值為___________.7．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高二階段練習（理））點在函數(shù)的圖象上．若滿足到直線的距離為的點有且僅有3個，則實數(shù)的值為________．8．（2022·全國·高二課時練習）已知?和直線，若坐標平面內(nèi)存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，求點P的坐標.9．（2022·江蘇·高二）已知的三個頂點的坐標為、、，試求：(1)邊上的高所在的直線方程；(2)的面積．10．（2022·全國·高二課時練習）直線l過點且到點和點的距離相等，求直線l的方程．11．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點M(－2,1)且與A(－1,2),B(3,0)兩點距離相等的直線的方程．12．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)第一中學高二開學考試）已知的頂點坐標為、、．(1)求AB邊上的高線所在的直線方程；(2)求的面積．題型七：兩平行直線間的距離1．（2022·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．2．（2022·江蘇·高二）若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（

）A．或11 B．或10C．或12 D．或113．（2022·貴州·遵義市第五中學高二期中（理））直線與直線之間的距離為_________.4．（2022·全國·高二課時練習）已知直線，．若，求與的距離．5．（2022·江蘇·高二）已知直線和，若直線l到直線的距離與到直線的距離之比為，則直線l的方程為______．6．（2022·江蘇·高二）若直線與直線平行，且它們之間的距離等于，則直線的方程為___________.7．（2022·上海市寶山中學高二期中）與直線平行且與它的距離為的直線方程是______；8．（2022·江蘇·高二）兩條平行線與之間的距離是___________.9．（2022·江蘇·高二）兩平行直線，分別過，.(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.10．（2022·全國·高二期中）已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．11．（2022·全國·高二課時練習）直線與直線的距離為，求實數(shù)的值．12．（2022·全國·高二期中）已知直線過點，且被平行直線：與：所截取的線段長為，求直線的方程．題型八：三線能圍成三角形問題1．（2022·河南·溫縣第一高級中學高二階段練習（文））已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≠ B．a(chǎn)≠C．a(chǎn)≠且a≠ D．a(chǎn)≠且a≠12．（2022·全國·高二）若三條直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（

）A．個 B．個C．個 D．個3．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值不可能為（