第十五章動力學基本方程

動力學引言動力學研究物體的機械運動與作用力之間的關系。動力學中所研究的力學模型是質(zhì)點和質(zhì)點系(包括剛體)。質(zhì)點:具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。質(zhì)點系：由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質(zhì)點所組成的系統(tǒng)。剛體：質(zhì)點系的一種特殊情形，其中任意兩個質(zhì)點間的距離保持不變，也稱不變的質(zhì)點系。

工程實際中的動力學問題

棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2

工程實際中的動力學問題載人飛船的交會與對接Av1Bv2

工程實際中的動力學問題航空航天器的姿態(tài)控制牛頓及其在力學發(fā)展中的貢獻

牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個中等農(nóng)戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。1661年牛頓進入了劍橋大學的三一學院，1665年獲文學學士學位。在大學期間他全面掌握了當時的數(shù)學和光學。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學校暫時停辦，他回到老家。這段時間中他發(fā)現(xiàn)了二項式定律，開始了光學中的顏色實驗，即白光由7種色光構成的實驗。而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時，牛頓被選為皇家學會的會員，這是當時英國最高科學榮譽?！?/p>

牛頓在光學上的主要貢獻是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說?！锱ｎD在數(shù)學上的主要貢獻是與萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分，給出了二項式定理?！锱ｎD在力學上最重要的貢獻，也是牛頓對整個自然科學的最重要貢獻是他的巨著《自然哲學之數(shù)學原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結了前人對動力學的研究成果，后人將這本書所總結的經(jīng)典力學系統(tǒng)稱為牛頓力學。第15章

動力學基本方程15.1動力學的基本定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。質(zhì)點保持其原有運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。15.1動力學的基本定律第二定律(力與加速度關系定律)在經(jīng)典力學中質(zhì)點的質(zhì)量是守恒的質(zhì)點的質(zhì)量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點的慣性越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性的度量。上式是推導其它動力學方程的出發(fā)點，稱為動力學基本方程。質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。15.1動力學的基本定律國際計量標準g＝9.80665m/s2，一般取g＝9.8m/s2在國際單位制(SI)中，長度、時間、質(zhì)量為基本量，它們的單位以米(m)、秒(s)和千克(kg)為基本單位。其它量均為導出量，它們的單位則是導出單位。在地球表面，任何物體都受到重力P的作用。在重力作用下得到的加速度稱為重力加速度，用g表示。由第二定律有或15.1動力學的基本定律必須指出的是：質(zhì)點受力與坐標無關，但質(zhì)點的加速度與坐標的選擇有關，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標都適用的。凡牛頓定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。反之為非慣性坐標系。第三定律（作用與反作用定律）兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。

以牛頓定律為基礎所形成的力學理論稱為古典力學。2.質(zhì)點運動微分方程在直角坐標軸上投影3.質(zhì)點運動微分方程在自然軸上投影1.矢量形式的質(zhì)點運動微分方程15.2質(zhì)點的運動微分方程15.2質(zhì)點的運動微分方程第一類基本問題：已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力。這類問題其實質(zhì)可歸結為數(shù)學上的求導問題。第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動。這類問題其實質(zhì)可歸結為數(shù)學上的解微分方程或求積分問題。例10.1例1如圖，設質(zhì)量為m的質(zhì)點M在平面oxy內(nèi)運動，已知其運動方程為x＝acoswt，y＝asinwt，求作用在質(zhì)點上的力F。ijvrF解：以質(zhì)點M為研究對象。分析運動：由運動方程消去時間t，得質(zhì)點作橢圓運動。將運動方程對時間求兩階導數(shù)得：代入質(zhì)點運動微分方程，即可求得主動力的投影為：力F與矢徑r共線反向，其大小正比于矢徑r的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM例10.3

例2從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計空氣阻力，求物體在重力單獨作用下的運動規(guī)律。解：研究拋射體,列直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程積分后得xyM初始條件為軌跡脖方程絨為：由此新可見霉，物體請的軌眼跡是售一拋蕩物線。于是薄物體頸的運爬動方仁程為紗：確定違出積唯分常侄數(shù)為絞：15平.3蓬.1剛體晉繞定毫軸的肌轉(zhuǎn)動側微分卻方程主動力:約束力:對剛化體內(nèi)傷任一累質(zhì)點,根據(jù)柴質(zhì)點丙動力西學基敬本方點程：第一式兩邊同時乘以，可得：對整菠個剛督體則鮮有：15爭.3.1剛體元繞定播軸的禁轉(zhuǎn)動懇微分葛方程或:則有察：或剛體汗定軸轉(zhuǎn)動吸微分環(huán)方程稱為英剛體拼對轉(zhuǎn)最軸z軸的液轉(zhuǎn)動籠慣量令15得.3蓬.2剛體狼對軸僵的轉(zhuǎn)佳動慣膏量1.簡單唉形狀算物體篩的轉(zhuǎn)但動慣芝量計義算(1售)均質(zhì)幫細直岡桿對隆一端銅的轉(zhuǎn)營動慣渾量由，得（2）均沸質(zhì)薄衛(wèi)圓環(huán)限對中覺心軸風的轉(zhuǎn)蘆動慣刮量（3）均漢質(zhì)圓探板對旬中心受軸的紋轉(zhuǎn)動口慣量式中：

或15催.3歇.2剛體縱對軸短的轉(zhuǎn)牽動慣帥量2.回轉(zhuǎn)膚半徑謙（慣匹性半嘉徑）或3．平娘行軸升定理

式中軸為過質(zhì)心且與軸平行的軸，為與軸之間的距離。即：魂剛體匙對于淡任一剛軸的霧轉(zhuǎn)動氧慣量甲，等裙于剛尿體對勁于通疤過質(zhì)棚心并譜與該皇軸平壩行的桃軸的土轉(zhuǎn)動挪慣量局，加仗上剛克體的創(chuàng)質(zhì)量臂與兩席軸間坊距離默平方講的乘困積.15裁.3瞧.2剛體扇對軸挺的轉(zhuǎn)亮動慣席量證明：15鼠.3藥.2剛體漠對軸看的轉(zhuǎn)窄動慣星量4．組犬合法

求：