差分與差分方程的概念

特征方程特征根解：∴通解為:

課前練習(xí)代入通解得所求特解：將代入以上兩式，得：安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.6差分與差分方程的概念三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)一、差分的概念二、差分方程的概念微積分電子教案§10.6差分與差分方程的概念微分方程差分方程區(qū)別未知函數(shù)為連續(xù)型未知函數(shù)為離散型兩者性質(zhì)相近，差分方程在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用更廣泛，象統(tǒng)計(jì)某經(jīng)濟(jì)量，以天、日為單位。研究函數(shù)y=f(t)在t時(shí)刻的變化速度問題.①若y=f(t)為連續(xù)函數(shù),在點(diǎn)t

處的變化速度為一、差分的概念1、問題②若y=f(t)為離散函數(shù),變化速度差商——微商差商：——差分表示f(t)在t(整數(shù))處變化速度的近似值。

設(shè)y=f(x),記為yx

,其中

x(通常表示時(shí)間)的取值為離散的等間隔整數(shù)值:x=0,±1,±2,…,則yx+1-yx稱為函數(shù)yx在x處的差分,也稱一階差分,記為:2、差分的定義一、差分的概念例1.求下列函數(shù)的差分：⑴解：⑵⑶常數(shù)的差分為0冪函數(shù)的差分次數(shù)降低1次指數(shù)函數(shù)的差分是原指數(shù)函數(shù)的若干倍一、差分的概念解：一、差分的概念例2

求下列函數(shù)的差分3、差分的四則運(yùn)算法則一、差分的概念參照導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)習(xí)⑴二階差分:差分△yx在x處的差分稱為yx在x處的二階差分,記為△2yx類似地有:⑵高階差分:二階和二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.4、高階差分一、差分的概念解一、差分的概念例3

求解：一、差分的概念例4解：（公式）一、差分的概念例5引例：已知電視機(jī)廠第x個(gè)月月初的庫存量為Rx

，該月內(nèi)生產(chǎn)、銷售分別為m,n，則下月初庫存量Rx+1為：差分方程二、差分方程的概念定義1:

含有自變量x以及未知函數(shù)不同時(shí)期值的函數(shù)方程,稱為差分方程。未知函數(shù)下標(biāo)的最大差值稱為該差分方程的“階”。二階差分方程一階差分方程一階差分方程1、兩種定義與階一般形式:反映了未知函數(shù)不同時(shí)期值二、差分方程的概念定義2：含有未知函數(shù)差分的方程，稱為差分方程。如：二階差分方程三階差分方程其中未知函數(shù)差分的最高階數(shù)稱為該差分方程的階。一階差分方程1、兩種定義與階一般形式:二、差分方程的概念差分鴨方程廁的兩倚種形朝式可榴以相相互轉(zhuǎn)岡化,但“階數(shù)”可能道會(huì)不養(yǎng)等價(jià)耗。如伏：二階她差分禍方程轉(zhuǎn)化癢為另智一種痰形式誤：即：一階甲差分懸方程⑵約定以定義1為準(zhǔn)鑰，今睬后遇釋到第呆二種問形式花的差桌分方椅程要戚展開遭，化錄為第趁一種抖形式壯后再小定它染的階脅數(shù)(∵經(jīng)濟(jì)隊(duì)領(lǐng)域綁中只仍討論伏形如累定義1型的鉛差分助方程)2、對(duì)授定義遺的說住明與搖約定⑴對(duì)定蕉義的裕說明二、換差分貸方程勢(shì)的概教念解例6下列戒等式蝴是差輪分方嶼程的慢有(墨).二、漲差分貍方程卻的概曬念解例7確定拴下列雨方程滔的階若將貧已知艱函數(shù)y=(x)代入確差分協(xié)方程貪，使糞得方阻程兩初邊成夫?yàn)楹泷樀仁较?，則抽稱此蔥函數(shù)盤為差分跨方程拘的解.3、解嫁的定路義二、修差分滲方程伏的概胃念4、通收解、膏特解捐與特僑注⑴通解:含有獨(dú)立的任意河常數(shù),且常示數(shù)個(gè)數(shù)乳與差道分方責(zé)程的驕階數(shù)肯相同,這樣泄的解奏稱為魂差分享方程俯的通庫解。⑵特解:不含辨有任磁意常漫數(shù)的解圈稱為窗特解系。(或在謹(jǐn)通解舌中給許任意段常數(shù)成以確辨定的將值而咳得到朵的解支稱為濾差分勤方程敲的特闊解)★⑶差分浩方程模解的壩重要兔性質(zhì)里：“時(shí)滯復(fù)性”差分黃方程泡中自高變量濱超前蹈或滯鴨后相戀同的濃時(shí)間傾間隔舍，而丸方程紛結(jié)構(gòu)醬不變屯，則著由此艱得到各的新踏方程盟與原兆方程穩(wěn)有相嘗同的辰解，沙換言媽之，食新老乒方程絡(luò)為同脂解方乞程。二、啊差分寒方程莖的概控念規(guī)定：標(biāo)準(zhǔn)軌差分方程戰(zhàn)中最潛小下壓標(biāo)為x。例如著：即：注：懂標(biāo)準(zhǔn)殿化就室是變慨量替燦換。應(yīng)將匆差分泡方程誤化成陽標(biāo)準(zhǔn)播方程,然后懸再求鞋解。如：二、牌差分須方程她的概派念⑴n階常稈系數(shù)身線性匙齊次謠差分賤方程三、腦常系癥數(shù)線筍性差胖分方膚程解嘩的結(jié)區(qū)構(gòu)1、標(biāo)準(zhǔn)彎形式⑵n階常喂系數(shù)甘線性非齊次拔差分布方程二階常系烤數(shù)非稿齊次差分荒方程一階常系伍數(shù)非加齊次差分枝方程三階線性擴(kuò)非齊款次差分撲方程三階線性亭齊次差分錢方程(系數(shù)顯不是辰常數(shù))三、縮慧常系省數(shù)線犯性差射分方薯程解丙的結(jié)鹽構(gòu)定理1(疊加立原理)若y1(x),y2(x),緒…,yk(x)是n階線穗性齊惡次方言程⑴的k個(gè)特絕解，座則它英的線掩性組鈴合仍為⑴的解。(其中C1,C2,…溪,Ck為k個(gè)任擦意常紗數(shù))2、線橫性差歇分方候程解棟的結(jié)僅構(gòu)定魯理⑴齊次矮線性慕差分賤方程約的通趴解結(jié)蘋構(gòu)：(與線交性微窯分方卷程類襲似)三、模常系袍數(shù)線憲性差轎分方倉程解洪的結(jié)蔽構(gòu)問題:定理2(通解載結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)定理)若y1(x)，y2(x)，…，yn(x)是n階線矮性齊奶次差桂分方露程⑴的n個(gè)線勺性無筐關(guān)的蠻特解,則其帝通解捕為(其中C1,C2,…糊,Cn為n個(gè)任姿意常附數(shù)）三、蹲常系將數(shù)線尼性差閃分方礙程解涂的結(jié)侄構(gòu)那么克稱這泄些函法數(shù)在載區(qū)間付內(nèi)線性榜相關(guān)柱；否則冷稱線性已無關(guān).注：設(shè)為定義在區(qū)間內(nèi)的個(gè)函數(shù)．如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立三、粒常系瘡數(shù)線庸性差劈燕分方那程解隙的結(jié)朽構(gòu)⑵非齊次陵線性美差分緒方程天的通愿解結(jié)柔構(gòu)：定理3設(shè)是階常系數(shù)非齊次線性差分方程

的一個(gè)特解,是與(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的通解,那么是階常系