談向量在中學(xué)的應(yīng)用

一.向量的背景二.特殊向量的應(yīng)用1.零向量2.單位向量三.向量平行與垂直在題中的應(yīng)用1.向量平行。2.向量垂直四.向量在平面幾何和立體幾何中的應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用2.向量在立體幾何中的應(yīng)用一.向量的背景向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓，課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向．但是在高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量．例如，把所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可看成一個(gè)向量．在這種情況下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對(duì)象或物理對(duì)象．這樣，就可以指導(dǎo)線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用．而向量及其線性運(yùn)算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個(gè)具體的模型．從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系．向量能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起．18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)a＋bi，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算．把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會(huì)了利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進(jìn)入了數(shù)學(xué)，但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系．19世紀(jì)中期，英國數(shù)學(xué)家漢密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量．他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)．隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克思韋爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析．三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀(jì)8O年代各自獨(dú)立完成的．他們提出，一個(gè)向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)．他們引進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積．并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進(jìn)到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具.向量能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起．18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算．把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會(huì)了利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進(jìn)入了數(shù)學(xué)．但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面上的量，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂的三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系．19世紀(jì)中期，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量．他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)．隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學(xué)、物理學(xué)家麥克思韋爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了向量分析．三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀(jì)80年代各自獨(dú)立完成的．他們提出，一個(gè)向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)．他們引進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積．并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進(jìn)到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具．課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭來表示方向．但是在高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量．例如，把所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可看成一個(gè)向量．在這種情況下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對(duì)象或物理對(duì)象．這樣，就可以把線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用．而向量及其線性運(yùn)算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個(gè)具體的模型。1.2考綱要求在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，在必修二學(xué)習(xí)空間幾何體，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，接著必修四第二章學(xué)習(xí)平面向量，讓學(xué)生對(duì)向量有了初步認(rèn)識(shí)，到選修2-2的空間向量與立體幾何充分將之前學(xué)過的內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合在一起，用向量解決空間幾何問題思路清晰，過程簡潔，有意想不到的神奇效果，比起過去的常規(guī)法解決空間幾何問題有了更深刻更新穎的認(rèn)識(shí)。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負(fù)擔(dān)。平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，空間幾何占有著很重要的地位，有些問題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會(huì)大大簡化過程。根據(jù)2010年的《高考大綱》數(shù)學(xué)科目在2009年的考綱的基礎(chǔ)上基本沒有變動(dòng)。這一特點(diǎn)說明全國高考數(shù)學(xué)科的考試通過多年的探索、改革，已逐漸趨于穩(wěn)定的格局，形成“保持穩(wěn)定，注重基礎(chǔ)，突出能力，著力創(chuàng)新”的特色?！犊季V》強(qiáng)調(diào)了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考查。對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，要既全面又突出重點(diǎn)，對(duì)于支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不要刻意追求知識(shí)的覆蓋面，從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度。我仔細(xì)研讀《考綱》對(duì)“考試內(nèi)容”的具體要求，發(fā)現(xiàn)其重點(diǎn)內(nèi)容集中在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、向量、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)列、不等式、直線與平面、直線與圓錐曲線等是支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容。所以在這里依據(jù)考綱，在全面復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上重點(diǎn)把握個(gè)別熱點(diǎn)問題?，F(xiàn)在我就以對(duì)向量在高考中扮演的角色及向量的教學(xué)與成果，總結(jié)以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)與同行進(jìn)行分析、共享，希望能拋磚引玉。1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念（1）了解向量的實(shí)際背景。（2）理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義。（3）理解向量的幾何意義。2．向量的線性運(yùn)算（1）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。（2）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義。（3）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算。（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。4．平面向量的數(shù)量積（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。5．向量的應(yīng)用（1）會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。（2）會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題。二.特殊向量的應(yīng)用1.零向量在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)該重視在實(shí)數(shù)運(yùn)算中零很重要，在集合運(yùn)算中空集很重要，同樣在向量這一章中零向量也很重要。在第一節(jié)向量的基本概念中，關(guān)于向量的基本關(guān)系中，向量平行（共線）有這樣一個(gè)補(bǔ)充，零向量與任何向量都共線，這句話讓多少同學(xué)吃盡苦頭。我們知道平行線具有傳遞性，于向量是否也具有平行的傳遞行呢？比如向量a∥b且b∥c那么是否也有a∥c呢?由于零向量是一個(gè)老好人和誰都合得來（共線）所以說如果b是一個(gè)零向量a與c不一定共線。所以向量的平行（共線）不具有傳遞性。在向量的加法這一節(jié)也有這樣的規(guī)定，a+0=a(即任何向量與零向量的和還等于這個(gè)向量)這個(gè)類似于數(shù)的加法和集合中并集的運(yùn)算。在向量數(shù)乘這一節(jié)有兩次提到零向量。第一次是，0a=0（即零與任何向量的乘積都等零向量），這類似與實(shí)數(shù)的乘法和集合的交集運(yùn)算。第二次就是利用向量的數(shù)乘判斷向量共線的定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa。在這個(gè)定理中向量a≠0很重要，因?yàn)槿绻鸻=0可能由兩種情況:一種是b≠0，由于等式右邊λa=0，等式兩邊不相等。另一種是b=0，等式兩邊相等但與λ無關(guān)，即λ值不唯一,所以要求向量a≠0。在平面向量基本定理這一節(jié)，由于由于基底中兩個(gè)向量不共線，所以基地中不能有零向量量，因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量都共線。在第四節(jié)向量的數(shù)量積中，有這樣一句話“我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0同樣這一句話讓好多學(xué)生吃盡苦頭。比如說a與b數(shù)量積為零是否有a與b垂直?答案是否定的。因?yàn)槿绻鸻與b中有零向量，比如a是零向量則有a與b平行就不垂直。所以在用數(shù)積證向量垂直時(shí)，一定要先說明兩個(gè)向量都不是零向量。例1.化簡或計(jì)算：（1）(2)解：（1）=(2)=例2.在水流速度大小為10km/h的河中，如果要使船實(shí)際以10eq[解析]如圖所示，OA表示水流方向，eq\o(OB,\s\up6(→))表示垂直于對(duì)岸橫渡的方向，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船行速度的方向，由eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))易知|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝10，又∠OBC＝90°，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行駛速度為20km/h，方向與水流方向成120°角．變式訓(xùn)練2：設(shè)表示“向西走2km”，表示“向北走2km”，則表示向哪個(gè)方向行走了多少？[解析]如圖，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝＝“向西走2km”，eq\o(AB,\s\up6(→))＝＝“向北走2km”，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝.∵△OAB為Rt△，∴|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)km，又∠AOB＝45°，所以表示向西北方向走了2eq\r(2)在以上兩個(gè)例子之中，我們看到對(duì)于一些向量相加的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)和為零向量的情況，這時(shí)學(xué)生在做題時(shí)，應(yīng)該先分析一下題整體的情況，而不要盲目的去進(jìn)行動(dòng)筆，多想一想以前我們遇到這一類題的時(shí)候怎樣去做的？老師又是怎樣給我們講解的呢？我們應(yīng)該從哪些角度去理解它和分析它。這樣的題目會(huì)用到我們學(xué)過的哪些知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于向量我們應(yīng)該多想一想，在物理科目當(dāng)中的矢量與標(biāo)量，和我們這里的向量又有哪些共同點(diǎn)和不同之處呢？2.單位向量單位向量是一類特殊的向量.教科書上定義單位向量是長度等于1個(gè)單位長度的向量,其方向隨具體問題而定.一個(gè)非零向量除以它的模，可得與其方向相同的單位向量如果熟練應(yīng)用單位向量,可以起到事半功倍的效果.已知b的方向與a=(-3,4)的方向相同,且|b|=15,求b.分析已知|b|,要求b,只要求b的單位向量(即與b同向的單位向量)就行了,于是聯(lián)系到a的單位向量,問題馬上迎刃而解.解設(shè)a的單位向量為e,則e=a|a|=-35,45,∵b與a方向相同,∴b=|b|?e=15-35,45=(-9,12).∴b=(-9,12).如圖1所示,已知平行四邊形ABCD,AB=a,AD=b,DE是AB邊上的高,求向量DE.分析要求DE,只要求AE.AE就是AD在AB上的射影,AE的方向與AB的單位向量同向,這又一次涉及到了單位向量.解設(shè)∠A=θ,則|AE|=|b|cosθ.∵cosθ=a?b|a||b|∴|AE|=|b|?a?b|a||b|=a?b|a|,∴AE=a?b|a|?a|a|,∴DE=AE-AD=(a?b)a|a|2-b.同學(xué)們在學(xué)習(xí)向量這一塊的時(shí)候，一定不要忘記單位向量。它可是我們解決一些問題的關(guān)鍵，或者稱之為“開門的鑰匙”。熟練的運(yùn)用單位向量，能讓我們做題時(shí)，更快以及準(zhǔn)確。三.向量平行與垂直在題中的應(yīng)用1.向量平行。平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規(guī)定零向量和任何向量平行。加法運(yùn)算AB+BC=AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對(duì)于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。減法運(yùn)算與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)(三角形法則)數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λ+μ)a=λa+μa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。OABQGPD例1、如圖點(diǎn)G是三角形ABO的重心,PQ是過G的分別交OA、OB于P、Q的一條線段，且，,（OABQGPD求證分析：本題是一道典型的平面幾何證明，如果用平幾方法則過程很復(fù)雜，如果我們將題目中的已知條件作向量處理便能使證明過程簡單得多。因?yàn)樽⒁獾絇、G、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以我們可以考慮與共線，于是可以用共線定理得方程組求解。證明：設(shè)，，則，∵，∴∴，即，又P、Q、G三點(diǎn)在同一直線上，則與共線∴存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得∴，即：PABCMN∵與不共線，∴消去得PABCMN例2、如圖在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN與CM相交于點(diǎn)P，且，，試用、表示分析：本題是以向量為載體的平面幾何題，所以我們很容易聯(lián)想到點(diǎn)M、P、C三點(diǎn)在一條直線上，可用共線定理的充分必要條件求解。解∵AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,∴∴，，∵M(jìn)、P、C三點(diǎn)共線，可設(shè)于是∴∴應(yīng)用共線向量，我們在做題的時(shí)候?qū)⒂幸环N新的思路來解題。2.向量垂直。1.向量a垂直向量b,則向量a*向量b=0.坐標(biāo)方法：a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向量a垂直向量b，則x1x1+y1y2=0如圖1，已知正四面體ABCD中，E、F分別在AB，CD上，且，，則直線DE和BF所成角的余弦值為（）A、B、C、D、解析：可以以、、為一組基向量。解：設(shè)，，，則，，，又設(shè)正四面體的棱長為4，則AE=1，CF=1，，，，由余弦定理可得，同理因?yàn)?，，所以所以又由異面直線所成角的定義，可知直線DE和BF成成的角的余弦值為，選A評(píng)注：引例的方法有如下特點(diǎn)：（1）當(dāng)從一點(diǎn)出發(fā)的三條不共面的線段長度已知,它們的夾角也已知時(shí),可選擇這三條線段所代表的向量作為基向量,然后求解；（2）當(dāng)從一點(diǎn)出發(fā)的三條不共面的線段長度可求出,它們的夾角也可求出時(shí),可選擇這三條線段所代表的向量作為基向量,然后求解。其實(shí),引例的方法是通常坐標(biāo)法的推廣,因?yàn)楫?dāng)基底中任意兩個(gè)都互相垂直,且它們?nèi)齻€(gè)都是單位向量時(shí),即轉(zhuǎn)入通常的空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)算。當(dāng)然如果基底中的任意兩個(gè)向量的夾角都不等于900時(shí),建立空間直角坐標(biāo)系求解難度更大而利用引例的方法沒有增加思維方法上的難度,只是計(jì)算量稍微多一點(diǎn)而已，所以引例的這種方法是通性通法。3.向量平行于垂直在題中的應(yīng)用1.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為側(cè)面BCC1B1的中心．若eq\o(AE,\s\up15(→))＝zeq\o(AA1,\s\up15(→))＋xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AD,\s\up15(→))，則x＋y＋z的值為()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D.eq\f(3,4)[答案]C[解析]∵eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→)).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝2.4．(2011·寧德模擬)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝eq\r(3)，且a分別與eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))垂直，則向量a為()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)[答案]C[解析]設(shè)a＝(x，y，z)，由條件知eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1，－3,2)，∵a⊥eq\o(AB,\s\up15(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up15(→))，|a|＝eq\r(3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－y＋3z＝0,x－3y＋2z＝0,x2＋y2＋z2＝3))，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)知選C.11.二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為()A．150° B．45°C．60° D．120°[答案]C[解析]由條件知，eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝0，eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝0，eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→)).∴|eq\o(CD,\s\up15(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up15(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up15(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＋2eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＋2eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝116＋96cos〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝(2eq\r(17))2，∴cos〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝－eq\f(1,2)，∴〈eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))〉＝120°，所以二面角的大小為60°四.向量在平面幾何和立體幾何中的應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量化是幾何抽象化的有效工具，是研究幾何性質(zhì)的量化手段，由于平面向量集與有序?qū)崝?shù)對(duì)集關(guān)于加法與數(shù)乘運(yùn)算的同構(gòu)，用向量法證明幾何的平行，垂直，三點(diǎn)共線，三線共點(diǎn)問題有許多簡捷之處。例.試證明:三角形的外心，垂心，重心三點(diǎn)共線。證明:如圖若以外接圓的圓心為始點(diǎn)向各頂點(diǎn)引向量，，,因?yàn)?(++),(G為重心)，=++(H為垂心)，故,即與共線，從而O,H,G三點(diǎn)共線。例：如圖，在ABC內(nèi)求一點(diǎn)，使最少。注：本例中的條件點(diǎn)的尋找如果沒有向量流暢的運(yùn)算，即使建立坐標(biāo)系用解析幾何求解，其計(jì)算量也非常大，可能也只能望題興嘆，由此可見向量法（運(yùn)算通性和表述的簡潔性）在尋找簡捷方法中的威力。（2）夾角對(duì)于兩個(gè)非零向量，它們之間除具有相等，不等或互為負(fù)向量的關(guān)系外，還可以用“夾角”的概念去描述。當(dāng)(,)=0或時(shí)，稱與平行，記為//。顯然，（,）=0,(,-)=,當(dāng)（,）=時(shí)，稱與垂直，記b。易見，若,c,則//。例1、(浙江卷。2006)設(shè)向量，，滿足++=0,(-),,若=1，則++的值是____。分析：要求++的值，結(jié)合條件應(yīng)用向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律求解?！?+=0，∴=-(+)?！?-),∴(-)=0。即-=0，∴==1，又由，知=0?！?=+2+=1+0+1=2?！?+=4。解：4例2.(北京卷.2007)已知向量=(2,4),(1,1),若向量(+),則實(shí)數(shù)的值是___。分析：要求的值，可將向量+用坐標(biāo)表示后，結(jié)合+=0這一性質(zhì)求解?！?(2,4),(1,1),∴+=