二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用

二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用淺談二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用河南省鄲城縣第三高中胡友全（郵編：477150）在歷年高考試題中，導(dǎo)數(shù)部分是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在六道解答題中必有一題是導(dǎo)數(shù)題。這類題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值以及利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決恒成立、不等式證明等問題。解決這類題的常規(guī)解題步驟為：①求函數(shù)的定義域；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；③求的零點(diǎn)；④列出的變化關(guān)系表；⑤根據(jù)列表解答問題。而在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而不能進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時(shí)解題受阻。若遇這類問題，則可試用求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)加以解決。本文試以2010年全國高考試題為例，說明函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用。例1.（全國卷Ⅰ第20題）已知函數(shù).若，求的取值范圍；證明：.原解答如下:顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在（0,1﹚遞減；當(dāng)時(shí)，，的符號(hào)仍不能判定，求二階導(dǎo)數(shù)得，從而在時(shí)遞增，，在[1,+∞﹚遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故成立，原不等式成立.例題2（2010年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ（22）小題）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．（原解答略）在原解答第（Ⅱ）問的解答中，用到了放縮代換，對考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和解題能力要求很高，極少有考生能達(dá)到那樣的要求.若用求二階導(dǎo)數(shù)求解，則別有一番天地.（Ⅱ）解法二：由題設(shè)，若，則當(dāng)；若.令，，,∵,∴，∴即原不等式成立.當(dāng)從而當(dāng)此時(shí)，∴.綜上可知，.由以上兩個(gè)例子可以看出，當(dāng)需要判定函數(shù)的單調(diào)性而求導(dǎo)之后不能直接判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)（導(dǎo)函數(shù)中常含有指數(shù)或?qū)?shù)形式），?？梢钥紤]用二階導(dǎo)數(shù)法。建議高三教師在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，對學(xué)生適當(dāng)加以針對此類題型的指導(dǎo)、訓(xùn)練。針對訓(xùn)練：1、（2010年新課標(biāo)全國卷第（21）題）：設(shè)函數(shù)。（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍2、（2008年湖南高考題改編）：已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。參考答案：1、解：（1）略.（2）.①當(dāng)從而∴，②∴∴∴,不合題意.綜上可知2、解：的定義域是.（1）