油氣滲流的數(shù)學(xué)模型

油氣滲流的數(shù)學(xué)模型第1頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第2章油氣滲流的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)油氣滲流數(shù)學(xué)模型概述第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第三節(jié)數(shù)學(xué)模型的定解條件第2頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一個(gè)完整的滲流數(shù)學(xué)模型應(yīng)包括兩部分：滲流綜合微分方程的建立以及邊界條件和初始條件的提出。第一節(jié)油氣滲流數(shù)學(xué)模型概述

油氣滲流數(shù)學(xué)模型定義用數(shù)學(xué)語(yǔ)言綜合表達(dá)油氣滲流過(guò)程中全部力學(xué)現(xiàn)象和物理化學(xué)現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方程式（或方程組）。第3頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)油氣滲流數(shù)學(xué)模型概述

滲流綜合微分方程構(gòu)成滲流過(guò)程是流體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，必然受運(yùn)動(dòng)方程支配；滲流過(guò)程又是流體和巖石的狀態(tài)不斷改變的過(guò)程，所以需要建立流體和巖石的狀態(tài)方程；質(zhì)量守恒定律是自然界的一般規(guī)律，因此滲流綜合微分方程的建立必須以連續(xù)性方程為基礎(chǔ)；在滲流過(guò)程中，有時(shí)伴隨發(fā)生一些物理化學(xué)現(xiàn)象，如能量傳遞，此時(shí)還應(yīng)建立描述這種特殊現(xiàn)象的特征方程。第4頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日構(gòu)成（一）運(yùn)動(dòng)方程（二）狀態(tài)方程（三）質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）（四）能量、動(dòng)量守恒方程（五）附加特性方程基本組成部分

滲流綜合微分方程構(gòu)成第一節(jié)油氣滲流數(shù)學(xué)模型概述第5頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)油氣滲流數(shù)學(xué)模型概述

滲流力學(xué)數(shù)學(xué)模型要解決的問(wèn)題壓力P的分布速度v（流量q）的分布流體飽和度S的分布兩相分界面移動(dòng)規(guī)律第6頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、運(yùn)動(dòng)方程二、狀態(tài)方程三、連續(xù)性方程四、滲流綜合微分方程建立五、極坐標(biāo)下的滲流基本微分方程第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第7頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日單相微可壓縮液體；液體滲流符合線性滲流規(guī)律；地層巖石均質(zhì)微可壓縮；地層中為等溫滲流過(guò)程。假設(shè)條件第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、運(yùn)動(dòng)方程線性滲流的滲流速度：將其推廣到三維空間：或表示為：其微分形式為第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第9頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、狀態(tài)方程

狀態(tài)方程：描述液體、氣體、巖石的狀態(tài)參數(shù)隨壓力變化規(guī)律的數(shù)學(xué)方程。1、液體的狀態(tài)方程（密度的變化規(guī)律）質(zhì)量取全微分第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第10頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日分離變量積分

變化較小，看成常數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前兩項(xiàng)第二節(jié)滲流基本微分方程的建立氣體的狀態(tài)方程：第11頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、巖石的狀態(tài)方程（孔隙度的變化規(guī)律）分離變量，積分第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第12頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、連續(xù)性方程（質(zhì)量守恒方程）

在滲流力學(xué)中，質(zhì)量守恒定律可描述為：在地層中任取一微小單元體，在微元體內(nèi)若沒(méi)有源和匯存在，那么包含在微元體封閉表面內(nèi)的液體質(zhì)量變化應(yīng)等于同一時(shí)間間隔內(nèi)液體流入質(zhì)量與流出質(zhì)量之差，用質(zhì)量守恒定律建立起來(lái)的方程稱為連續(xù)性方程（或質(zhì)量守恒方程）。

微分法：無(wú)窮小微元體分析法?！穹e分法：矢量場(chǎng)方法。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第13頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日單元體中心M點(diǎn)質(zhì)量流速☆微分法建立連續(xù)性方程分速度第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第14頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1、dt時(shí)間內(nèi)流入流出單元體的流體質(zhì)量之差dt時(shí)間內(nèi)，經(jīng)面流入單元體的質(zhì)量流量為：dt時(shí)間內(nèi)，經(jīng)面流出單元體的質(zhì)量流量為：dt時(shí)間內(nèi)，沿x軸方向流入流出單元體的流體質(zhì)量流量差為：

沿x軸方向：流入－流出第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第15頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

沿y軸方向：

沿z軸方向：同理：

沿x軸方向：dt時(shí)間內(nèi)流入流出單元體的流體質(zhì)量之差為：第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第16頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、dt時(shí)間內(nèi)微元體封閉表面內(nèi)的液體質(zhì)量變化?

在巖石和流體彈性能的作用下，釋放或儲(chǔ)存一部分質(zhì)量的結(jié)果。巖石→孔隙度的變化液體→液體密度的變化

單元體內(nèi)的孔隙體積為：

單元體內(nèi)的流體質(zhì)量為：?jiǎn)卧w內(nèi)流體質(zhì)量變化率為：dt時(shí)間內(nèi)單元體內(nèi)流體質(zhì)量總變化為：第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第17頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、由質(zhì)量守恒定律建立連續(xù)性方程dt內(nèi)流入流出單元體質(zhì)量差dt內(nèi)單元體內(nèi)質(zhì)量變化質(zhì)量守恒可改寫為：※單相均質(zhì)可壓縮流體在彈性孔隙介質(zhì)中的連續(xù)性方程。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第18頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)滲流基本微分方程的建立三、連續(xù)性方程（質(zhì)量守恒方程）●積分法：矢量場(chǎng)方法。t時(shí)刻dv內(nèi)的流體質(zhì)量為：t時(shí)刻整個(gè)內(nèi)的流體質(zhì)量為：dt時(shí)間內(nèi)在變化的質(zhì)量為：t時(shí)刻起單位時(shí)間內(nèi)沿法線方向流入dS截面的流體總量：dt時(shí)間內(nèi),流入S截面的流體質(zhì)量：根據(jù)質(zhì)量守恒定律：（高斯定理）第19頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日無(wú)源場(chǎng)有源場(chǎng)（正、負(fù)）※

不可壓縮液體在剛性介質(zhì)中滲流的連續(xù)性方程為：

的物理含義：質(zhì)量流速為的點(diǎn)，單位體積在單位時(shí)間內(nèi)向包圍曲面外流出（流入）的流體質(zhì)量，反映該點(diǎn)源（點(diǎn)匯）的強(qiáng)度。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第20頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日將運(yùn)動(dòng)方程、狀態(tài)方程代入連續(xù)性方程。四、滲流綜合微分方程建立第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第21頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日●方程左端：第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第一項(xiàng)第22頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同理：則方程左端為：第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第二項(xiàng)第三項(xiàng)第23頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日●●方程右端：代入

稱為綜合壓縮系數(shù)，表示單位體積巖石在降低單位壓力時(shí)，由于孔隙收縮和液體膨脹所排擠出來(lái)的液體體積。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第24頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日●●●

方程左端等于方程右端：或

稱為導(dǎo)壓系數(shù)，物理意義為單位時(shí)間內(nèi)壓力傳播的地層面積，表明地層壓力波傳導(dǎo)的速度。

單相彈性液體在彈性多孔介質(zhì)中不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型。是一個(gè)二階拋物線方程，又稱熱傳導(dǎo)方程/付立葉方程。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第25頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日付立葉方程適用條件

單相液體；線性運(yùn)動(dòng)規(guī)律；液體和多孔介質(zhì)微可壓縮；不穩(wěn)定滲流；滲流過(guò)程是等溫的。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第26頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日單相剛性流體在剛性介質(zhì)中穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型。是一個(gè)二階橢圓型微分方程，又稱拉普拉斯方程。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立不考慮流體及巖石彈性，則：第27頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

單相均質(zhì)液體；線性運(yùn)動(dòng)規(guī)律；不考慮多孔介質(zhì)和液體的壓縮性；穩(wěn)定滲流；滲流過(guò)程是等溫的。第二節(jié)滲流基本微分方程的建立拉普拉斯方程適用條件第28頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日單向流平面徑向流球面徑向流穩(wěn)定滲流不穩(wěn)定滲流五、極坐標(biāo)下的滲流基本微分方程第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第29頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同理：或▲平面徑向流的坐標(biāo)變換第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第30頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日▲平面徑向流的坐標(biāo)變換第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第31頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第32頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日同理得：或第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第33頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日▲球面向心流的坐標(biāo)變換第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第34頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日坐標(biāo)變換同理：第二節(jié)滲流基本微分方程的建立第35頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日邊界條件：運(yùn)動(dòng)要素隨空間位置變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，一般知道在邊界上的情況。

初始條件

邊界條件初始條件：運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，一般知道起始時(shí)刻的分布。運(yùn)動(dòng)要素第三節(jié)數(shù)學(xué)模型的定解條件第36頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第二類:已知流量（或壓力導(dǎo)數(shù)）的邊界條件（Neuman

）。

井點(diǎn)定產(chǎn)：邊界封閉：第一類:已知壓力（或勢(shì)函數(shù)）的邊界條件。

內(nèi)邊界定壓：

外邊界定壓：

滲流力學(xué)中主要有兩類邊界條件：第三節(jié)數(shù)學(xué)模型的定解條件第37頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例2-1圓形均質(zhì)