數(shù)形結(jié)合法在解題中

目錄0引言 11以“數(shù)”化“形” 21.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題 21.2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集 31.3利用兩點(diǎn)間距離公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題 32以“形”變“數(shù)” 42.1用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問(wèn)題 43“形”“數(shù)”互變 63.1數(shù)軸在有理數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用 63.2利用三角函數(shù)圖象求角度 73.3利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題 7結(jié)論 9致謝 9參考文獻(xiàn)數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用提綱1以“數(shù)”化“形”1.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse1.2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集1.3利用兩點(diǎn)間距離公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題2以“形”變“數(shù)”2.1用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問(wèn)題3“形”“數(shù)”互變3.1數(shù)軸在有理數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用3.2利用三角函數(shù)圖象求角度3.3利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題。

數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)形結(jié)合法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中最基本、也最常用的思想方法。本文就中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式、集合、函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容，舉例闡述數(shù)形結(jié)合法在解題中的三點(diǎn)應(yīng)用。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用；解決問(wèn)題引言做事情，如果想要事半功倍，就必須講究方法，其實(shí)，何止事半功倍，有時(shí)方法甚至起到了決定性的作用，缺乏有效的方法，不僅談不上效率，而且問(wèn)題不能解決，事情也就根本不能成功，數(shù)形結(jié)合法對(duì)解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題就起到了決定性的作用，如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾精辟地概括了數(shù)形結(jié)合法的內(nèi)涵：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊分，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合萬(wàn)般好，割離分家萬(wàn)事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！可見(jiàn)，數(shù)與形存在著十分密切的聯(lián)系。其實(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有很多內(nèi)容就是集“數(shù)”“形”于一身的良好載體，例如：函數(shù)、解析幾何等等，本文試從中學(xué)數(shù)學(xué)中的有理數(shù)、不等式、集合、三角函數(shù)、函數(shù)及其圖象、平面幾何、解析幾何內(nèi)容方面，舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的三點(diǎn)應(yīng)用：（1）以“數(shù)”化“形”；（2）以“形”變“數(shù)”；（3）“形”“數(shù)”互變。1以“數(shù)”化“形”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)內(nèi)容主要是數(shù)字和文字的運(yùn)算，如：加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方，這些概念、法則、算律都比較抽象，運(yùn)算有時(shí)很繁瑣，讓人難以把握。而“形”具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，因此，在思考和解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)于某些從表面上看來(lái)與圖形不相關(guān)的概念和問(wèn)題，有時(shí)可以從某種特定的角度，畫一個(gè)草圖、圖像或者示意圖把這種數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問(wèn)題。1.1利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素。例1某班舉行數(shù)理化三科競(jìng)賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，參加物理競(jìng)賽的有25人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有27人，其中參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，參加物理、化學(xué)兩科的有7人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，求全班人數(shù)?思路分析：由于參加數(shù)、理、化三科競(jìng)賽人數(shù)相互交叉，不易理清參加三科競(jìng)賽的各科人數(shù)，利用韋恩圖可以比較容易地分清它們的關(guān)系。解：設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽的人構(gòu)成的集合分別為A、B、C，由圖知全班人數(shù)為：10+12+13+7+3+6+4=55（人）.由于敘述太長(zhǎng)，單純從文字語(yǔ)言不好理清思路，畫出韋恩圖，可以利用圖形直觀性進(jìn)行計(jì)算。1.2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象確定拋物線的開(kāi)口方向和與x軸的交點(diǎn)情況，便可直接看出解集。例2解不等式x2-x-6﹥0.思路分析：我們可先聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象，從x2-x-6=0解得x1=-2,x2=3,由解知該拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,3.當(dāng)取交點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，即x﹤-2或x﹥3時(shí)，y﹥0，即x2-x-6﹥0，故可得不等式的解集為{x∣x﹤-2或x﹥3}.1.3利用兩點(diǎn)間距離公式輔助圖形，解決代數(shù)綜合題例3求函數(shù)y=+的最小值.思路分析：觀察式子，可發(fā)現(xiàn)從代數(shù)的角度求解，難度較大，這時(shí)利用數(shù)形結(jié)合法，巧用兩點(diǎn)間距離公式可化為：+=+，令A(yù)（0,1），B（2,2），P（x，0），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P，使∣PA∣+∣PB∣有最小值.如圖由于AB在x軸同側(cè)，故取A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C（0，-1）,所以：（∣PA∣+∣PB∣）min=∣CB∣==,即函數(shù)y=+的最小值是.通過(guò)以上三個(gè)例題可以看出利用圖形來(lái)輔助數(shù)的計(jì)算使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，而且能開(kāi)闊思路。對(duì)于“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”這類問(wèn)題，解決問(wèn)題的基本思路是：①明確題中所含的條件和所求目標(biāo)；②從已知條件或結(jié)論出發(fā)，分析是否相似（相同）于已學(xué)過(guò)的圖形表達(dá)式；③作出與之相適合的圖形;④利用已作出的圖形的性質(zhì)，幾何意義等，去解決問(wèn)題。2以“形”變“數(shù)”中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何是圖文并茂的內(nèi)容，但是，正如華羅庚所說(shuō)：“形少數(shù)時(shí)難入微”，雖然，圖形有形象、直觀的特點(diǎn)，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計(jì)算，不但要正確把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，再進(jìn)行計(jì)算。如平面解析幾何中有關(guān)圓錐曲線問(wèn)題的解決，下面舉例說(shuō)明。2.1用解析法解決平面解析幾何中的圓錐曲線問(wèn)題例4已知點(diǎn)A（1,2），F(xiàn)為橢圓+＝1的右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∣PA∣+∣PF∣取最小值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).思路分析：已知e=，而∣PF∣恰好是橢圓上的點(diǎn)到橢圓相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。解：∵橢圓方程為+=1，∴a=5，b=4,c=3.∴e=.又∵A（1,2）是橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線方程為L(zhǎng):x=,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥L于點(diǎn)Q，由橢圓的第二定義知：=e=，即：PQ=∣PF∣，∴∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+∣PQ∣，當(dāng)且僅當(dāng)P、A、Q三點(diǎn)共線時(shí)，∣PA∣+∣PQ∣有最小值，過(guò)A作AA′⊥L，AA′與橢圓的交點(diǎn)即為所求，顯然yp=2,代入橢圓方程可求xp=，∴當(dāng)∣PA∣+∣PF∣取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,2）.在涉及橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)有關(guān)的距離時(shí)，一定明確橢圓的第二定義及其相應(yīng)的變形式子。例5已知F1、F2為雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)，P（3,1）為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則∣AP∣+∣AF2∣的最小值為（C）.A、+4B、-4C、-2D、+2解析：如圖，連接F1P交雙曲線右支交于點(diǎn)A0.∵∣AP∣+∣AF2∣=∣AP∣+∣AF1∣-2，∴要求∣AP∣+∣AF2∣的最小值，只需求∣AP∣+∣AF1∣的最小值.當(dāng)A落在A0時(shí)，∣AP∣+∣AF1∣=∣PF1∣最小，最小值為.∴∣AP∣+∣AF2∣的最小值為-2，即C答案正確.本題結(jié)合定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求∣AP∣+∣AF1∣-2的最小值，問(wèn)題就迎刃而解。有關(guān)解析幾何的問(wèn)題，大部分都會(huì)用到解析法，解決幾何問(wèn)題，由于幾何研究的是圖形，圖形的直觀會(huì)幫助我們打開(kāi)思路，充分利用圖形的性質(zhì)和幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”，有效地解決問(wèn)題。對(duì)于“形”變“數(shù)”這類問(wèn)題，解題的基本思路是：①明確題中所給的條件和所求的目標(biāo)；②分析條件和目標(biāo)在圖形中的意義；③將題中用到的圖形用已學(xué)過(guò)的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)；④利用相應(yīng)的公式或定理計(jì)算。3“形”“數(shù)”互變以“數(shù)”化“形”和以“形”變“數(shù)”是數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)重要方面，而在有些問(wèn)題中不僅僅是簡(jiǎn)單的以“數(shù)”變“形”或以“形”變“數(shù)”，而是需要“形”“數(shù)”互相變換，解決問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題的某些數(shù)量特征往往能給人們圖形方面的提示，反過(guò)來(lái)，利用圖形的結(jié)構(gòu)特征又給人們打開(kāi)解決問(wèn)題的思路。3.1數(shù)軸在有理數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用例6實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：a+∣a+b∣--∣b-c∣. 思路分析：本題運(yùn)用了數(shù)與形的結(jié)合，由實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置，既能比較它們的大小，又能確定a+b、b-c的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值的符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。解：由數(shù)軸知b﹤0,c﹤0,a﹥0,a+b﹤0,b-c﹤0,則a+∣a+b∣--∣b-c∣=a-a-b-(-c)+b=0.3.2利用三角函數(shù)圖象求角度例7已知函數(shù)y=sin(x+)(﹥0,-π≤＜π)的圖象所示，則=.思路分析：結(jié)合圖象求出，再利用f（）=-1，求出的表達(dá)式，通過(guò)滿足的條件求出的值。解：由函數(shù)圖象知y=sin(x+)的周期為2（2π-）=，∴=∴=，當(dāng)=π時(shí)，y有最小值-1.∴×+=2kπ-(k∈z).∵-π≤＜π，∴=.已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)解析式的方法：應(yīng)先由三角函數(shù)的最值點(diǎn)，確定周期求出，然后根據(jù)圖像上的特殊點(diǎn)求.3.3利用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題例8在△ABC中，已知AB=，cos∠ABC=，AC邊上的中線BD=，求sinA的值.解：如圖所示，過(guò)A做AH⊥BC交BC于點(diǎn)A，延長(zhǎng)BD到P使BD=DP，連接AP、PC過(guò)P作PN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于N，則HB=ABcos∠ABC=.AH==.BN====.而CN=HB=，∴BC=BN-CN=2，HC=. AC==.又由題意知sin∠ABC==.由正弦定理得==.∴sinA=.例9如圖，⊙O的直徑CD過(guò)弦EF的中點(diǎn)G,∠EOD=40°，則∠DCF等于（D）.A、80°B、50°C、40°D、20°解析：G是EF的中點(diǎn)，且CD為直徑，則D為EF的中點(diǎn)，所以，則∠EOD=2∠DCF，即∠DCF=∠EOD=×40°=20°，∴D答案正確.此題綜合應(yīng)用了垂徑定理及圓心角與圓周角的關(guān)系，在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，每一個(gè)題的分析與思考必須聯(lián)系圖形建立直觀可見(jiàn)的形象，這樣才能快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。由以上四個(gè)例題，我們可以體會(huì)到解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，數(shù)和形往往是不能分開(kāi)的，需要“數(shù)”和“形”相互轉(zhuǎn)化、相互利用、相互補(bǔ)充，解決此類問(wèn)題往往需要從已知和結(jié)論同時(shí)出發(fā)，認(rèn)真分析，找出“形”“數(shù)”互變，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。結(jié)論從上文所舉的例子我們可以感受到，利用數(shù)形結(jié)合法讓問(wèn)題顯得直觀，便于解答，以上的以“數(shù)”化“形”和以“形”變“數(shù)”中所舉的例子看似是見(jiàn)“數(shù)”想“形”，見(jiàn)“形”思“數(shù)”，實(shí)質(zhì)上就是以“數(shù)”化“形”，以“形”變“數(shù)”的結(jié)合，這兩個(gè)方面往往是不能截然分開(kāi)的，一般來(lái)說(shuō)，在問(wèn)題的敘述上，用代數(shù)法，分析思路借助于幾何的直觀，但在數(shù)形轉(zhuǎn)化中，必須遵循等價(jià)轉(zhuǎn)換原則，數(shù)形互補(bǔ)原則，總而言之，“數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微”見(jiàn)到數(shù)量就考慮它的幾何意義，見(jiàn)到圖形就應(yīng)考慮它的代數(shù)關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解決問(wèn)題，用好了就是能力，因此我們平時(shí)就要注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法提高自己解決問(wèn)題的能力。致謝本文是在我的指導(dǎo)教師陳文華教授悉心指導(dǎo)下完成的。陳老師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)。本文傾注了陳老師大量的心血，從選題到完成，一遍又一遍地指出每稿中的具體問(wèn)題，嚴(yán)格把關(guān)，循循善誘，在此向陳老師表示崇高的敬意和衷心感謝！參考文獻(xiàn)[1]錢珮玲編.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)（第2版），北京:北京師范大學(xué)出版社，[2]薛金星編.高中基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)，北京：北京教育出版社，2010.3.[3]薛金星編.初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)，北京：北京教育出版社，2010.5.[4]范成鵬.“數(shù)形結(jié)合”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.[5]杜金河.淺談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的五點(diǎn)應(yīng)用.指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)及建議成績(jī)指導(dǎo)教師簽名：年月日教學(xué)系初審評(píng)語(yǔ)及初審成績(jī)