運(yùn)用平方差公式求值

運(yùn)用完全平方公式的變形求代數(shù)式的值【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：1.化簡(jiǎn)求代數(shù)式的值．2.利用整體思想求代數(shù)式的值．3.運(yùn)用完全平方公式的變形求代數(shù)式的值．二.知識(shí)要點(diǎn)：1.化簡(jiǎn)求值的一般思路，首先要把所給的代數(shù)式整理化簡(jiǎn)，再把相關(guān)字母的值代入，即可求得原代數(shù)式的值．其步驟為：①化簡(jiǎn)，②代入．例如：已知x＝eq\f(1,2)，求代數(shù)式x2（x－1）－x（x2＋x－1）的值．解：x2（x－1）－x（x2＋x－1）＝x3－x2－x3－x2＋x＝－2x2＋x當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，原式＝－2×（eq\f(1,2)）2＋eq\f(1,2)＝0這類題型的重點(diǎn)是化簡(jiǎn)運(yùn)算，主要運(yùn)用整式加減、整式的乘除．同時(shí)，注重添、去括號(hào)的運(yùn)算法則．合并同類項(xiàng)：系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．添（去）括號(hào)：括號(hào)前是“＋”號(hào)，添上（去掉）括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“－”號(hào)，添上（去掉）括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．2.運(yùn)用整體思想這類題型一般已知某個(gè)式子的值，去求新的代數(shù)式的值．解題思路：整理所求代數(shù)式讓其變形或構(gòu)造出已知式子的形式，然后代入求值．例如：已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋5的值．解：由x2＋x－1＝0得x2＋x＝1則x3＋2x2＋5＝x3＋x2＋x2＋5＝x（x2＋x）＋x2＋5當(dāng)x2＋x＝1時(shí)，原式＝x＋x2＋5＝1＋5＝6變形時(shí)常用因式分解進(jìn)行整理．3.運(yùn)用完全平方公式變形，求代數(shù)式的值常用變形：①a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab；②（a－b）2＝（a＋b）2－4ab；③（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab；④（a＋b）2＋（a－b）2＝2a2＋2b2；⑤（a＋b）2－（a－b）2＝4ab；⑥（x±eq\f(1,x)）2＝x2＋eq\f(1,x2)±2．三.考點(diǎn)分析：求代數(shù)式的值是中考的熱門題型，往往是綜合考查整式的加減、整式的乘除、因式分解和有理數(shù)的有關(guān)內(nèi)容．難度中等，所占分值不高．【典型例題】例1.先化簡(jiǎn)再求值．［（x－y）2＋（x＋y）（x－y）］÷2x，其中x＝3，y＝－．分析：（x－y）2與（x＋y）與（x－y）可運(yùn)用乘法的完全平方公式與平方差公式展開，然后合并同類項(xiàng)．解：［（x－y）2＋（x＋y）（x－y）］÷2x＝（x2－2xy＋y2＋x2－y2）÷2x＝（2x2－2xy）÷2x＝x－y當(dāng)x＝3，y＝－時(shí)，原式＝3－（－）＝．例2.化簡(jiǎn)求值．（1）6a2－5a（－a＋2b－1）＋4a（－3a－eq\f(5,2)b－eq\f(3,4)），其中a＝2，b＝eq\f(1,20)；（2）若a＝2，b＝3，求3a2b（2ab3－a2b3－1）＋2（ab）4＋a·3ab的值．分析：此種類型的題目應(yīng)先把原式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)形式，再代入求值．解：（1）6a2－5a（－a＋2b－1）＋4a（－3a－eq\f(5,2)b－eq\f(3,4)）＝6a2＋5a2－10ab＋5a－12a2－10ab－3a＝－a2－20ab＋2a當(dāng)a＝2，b＝eq\f(1,20)時(shí)，原式＝－22－20×2×eq\f(1,20)＋2×2＝－2．（2）3a2b（2ab3－a2b3－1）＋2（ab）4＋a·3ab＝6a3b4－3a4b4－3a2b＋2a4b4＋3a2b＝6a3b4－a4b4．當(dāng)a＝2，b＝3時(shí)，原式＝6×23×34－24×34＝2592．評(píng)析：正確運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)，注意運(yùn)算順序，注意合并同類項(xiàng)．例3.已知10a＝20，10b＝eq\f(1,5)，求3a÷3b的值．分析：3a÷3b＝3a－b，因此只需要求出a－b的值即可．而10a÷10b＝10a－b．解：因?yàn)?0a＝20，10b＝eq\f(1,5)，所以10a÷10b＝10a－b＝20÷eq\f(1,5)＝102．所以a－b＝2．所以3a÷3b＝3a－b＝32＝9．評(píng)析：此種類型的題目，要注意從問(wèn)題出發(fā)，向已知條件靠攏．例4.（1）已知a＋b＝2，ab＝－3，求a2＋3ab＋b2的值．（2）已知（a＋b）2＝10，（a－b）2＝2，求a2＋b2和ab的值．分析：（1）本題直接計(jì)算不容易，如果把3ab拆成（2ab＋ab）便可湊成完全平方公式的條件．（2）利用完全平方公式變形即可．解：（1）a2＋3ab＋b2＝（a＋b）2＋ab當(dāng)a＋b＝2，ab＝－3時(shí)，原式＝22－3＝1．（2）由（a＋b）2＝10，得a2＋2ab＋b2＝10（?。?；由（a－b）2＝2，得a2－2ab＋b2＝2（ⅱ）；（?。áⅲ┑?a2＋2b2＝12，即a2＋b2＝6．（?。áⅲ┑?ab＝8，故ab＝2．例5.若a（a－1）－（a2－b）＝－2，求eq\f(a2＋b2,2)－ab的值．分析：首先對(duì)已知等式化簡(jiǎn)整理，a（a－1）－（a2－b）＝a2－a－a2＋b＝－（a－b）＝－2，即a－b＝2．解：由已知化簡(jiǎn)可得a－b＝2，所以eq\f(a2＋b2,2)－ab＝eq\f(1,2)（a2＋b2－2ab）＝eq\f(1,2)（a－b）2＝eq\f(1,2)×22＝2．評(píng)析：這類問(wèn)題要對(duì)已知和所求都做適當(dāng)變形，使它們含有一個(gè)相同的代數(shù)式．例6.已知（2022－a）（2022－a）＝2022，求（2022－a）2＋（2022－a）2的值．分析：此題如果把原式展開，則非常麻煩．根據(jù)式子的特點(diǎn)，可設(shè)2022－a＝x，2022－a＝y(tǒng)，則xy＝2022，x－y＝3．要求的式子可轉(zhuǎn)化為x2＋y2．解：設(shè)2022－a＝x，2022－a＝y(tǒng)，則xy＝2022，x－y＝3．所以x2＋y2＝（x－y）2＋2xy＝32＋2×2022＝9＋4014＝4023．所以（2022－a）2＋（2022－a）2的值為4023．評(píng)析：此題還有別的解法，將已知等式和所求代數(shù)式都展開，通過(guò)變形找出兩者相同的部分，同學(xué)們可自己試試．【方法總結(jié)】本節(jié)主要講述代數(shù)式求值的技巧問(wèn)題，解決這類問(wèn)題需要平時(shí)多積累，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，常用的方法有運(yùn)算律的逆用、公式變形、拼湊、因式分解等．【模擬試題】（答題時(shí)間：45分鐘）一.選擇題1.已知5m＝6，5n＝3，則5m＋n的值是（）A.3 B.2 C.18 D.－32.若a－b＝2，則a2－2ab＋b2的值是（）A.8 B.2 C.4 D.eq\r(,2)3.已知x＋y＝－5，xy＝6，則x2＋y2的值是（）A.1 B.13 C.17 D.254.若a＞0且ax＝2，ay＝3，則ax－y的值為（）A.－1 B.1 C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)*5.已知x＋y＝eq\f(1,2)，則eq\f(1,2)x2＋xy＋eq\f(1,2)y2的值是（）A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8) C.1 D.eq\f(1,16)二.填空題1.已知x＝eq\f(1,2)，y＝－1，則（x＋y）2－（x＋y）（x－y）＝__________．2.已知xn＝5，yn＝3，則（xy）2n的值為__________．3.已知（a－b）2＝4，ab＝eq\f(1,2)，則（a＋b）2＝__________．4.已知︱a－2︱＋（b＋eq\f(1,2)）2＝0，則a10b10＝__________．5.已知x＋y＝4，x－y＝10，則2xy＝__________．6.當(dāng)s＝t＋eq\f(1,2)時(shí)，代數(shù)式s2－2st＋t2的值為__________．**7.已知y＝eq\f(1,3)x－1，那么eq\f(1,3)x2－2xy＋3y2－2的值是__________．三.解答題1.先化簡(jiǎn)，再求值：（x＋3）2＋（x＋2）（x－2）－2x2，其中x＝－eq\f(1,3)．2.已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．*3.已知x2－4＝0，求代數(shù)式x(x＋1)2－x(x2＋x)－x－7的值．**4.已知︱x＋y－3︱＋（x－y－1）2＝0，求代數(shù)式eq\f(1,2)［（－x2y）2］3的值．

【試題答案】一.選擇題1.C2.C3.B4.C5.B二.填空題1.12.2253.64.15.－426.eq\f(1,4)7.1三.解答題1.解：原式＝6x＋5＝3．2.解：a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝52－2×3＝19．3.解：由已知得x2＝4，x（x＋1）2－x（x2＋x）－x－7＝x（x＋1）［（x＋1）－x］－x－7＝x2－7原式＝4－