2022-2023學(xué)年上海市華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．若，，則__________【答案】【分析】根據(jù)空間向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】由，，則，故答案為：.2．若正四棱柱的底面周長(zhǎng)為4、高為2，則該正四棱柱的體積為______．【答案】2【分析】根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)，求出底面邊長(zhǎng)，代入體積公式即可得到.【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為.根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)知，底面為正方形，則，所以.又高，所以，正四棱柱的體積為.故答案為：2.3．已知點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yoz內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)，則__________【答案】3【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)即得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yoz內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為,所以，所以.故答案為：34．已知圓心且經(jīng)過點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．【答案】【分析】求得圓的半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：5．直線與直線的夾角為_________【答案】##【分析】結(jié)合兩條直線的傾斜角求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，傾斜角為；直線的斜率為，傾斜角為，所以兩條直線的夾角為.故答案為：6．若圓和圓外切，則______.【答案】4【分析】根據(jù)兩圓外切則圓心距等于半徑之和即可求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓圓心為，所以圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，所以,所以.故答案為：4.7．已知直線l1：x＋my－2m－2＝0，直線l2：mx＋y－1－m＝0，當(dāng)時(shí)，m＝_________【答案】1【分析】根據(jù)兩直線平行的判定方法即可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋倚甭室欢ù嬖?，所以，即，又因?yàn)椋瑸閮蓷l不同的直線，所以，所以故答案為：18．已知直線交橢圓于、兩點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為__________．【答案】20【詳解】橢圓,所以，直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為.點(diǎn)睛：橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)三點(diǎn)圍成的三角形稱為“焦點(diǎn)三角形”，焦點(diǎn)三角形有很多性質(zhì)，其中?？嫉挠校褐荛L(zhǎng)為，面積為．本題中可以直接利用橢圓定義即可求解.9．已知軸上兩點(diǎn)，則平面內(nèi)到這兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為8的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為________【答案】【分析】由雙曲線定義可得答案.【詳解】由題，動(dòng)點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸為的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：，右焦點(diǎn)為，則，故.則雙曲線方程為：.故答案為：.10．已知是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的最小值為_____．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則，利用兩點(diǎn)間的距離公式以及的取值范圍可求得的最小值.【詳解】由題意知，，，則，設(shè)點(diǎn)，則，所以，，因此，的最小值為.故答案為：.11．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的范圍______.【答案】【分析】畫出和的圖像，數(shù)形結(jié)合得出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】設(shè)，，圖像如圖所示，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，即，解得：（舍），或當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，可求得直線的斜率，則利用圖像得：實(shí)數(shù)的范圍為故答案為：12．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取最小值___________.【答案】【分析】利用代數(shù)式和幾何圖形的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為距離之和的最小值即可求解.【詳解】設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，且在第一象限，設(shè)點(diǎn)，所以，如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)設(shè)為，則有解得，所以，由圖可知，當(dāng)在直線時(shí)，最小，最小值為，即的最小值為，故答案為：.二、單選題13．三個(gè)平面不可能將空間分成（

）個(gè)部分A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】分三個(gè)平面互相平行，三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，三個(gè)平面交于一條直線，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，六種情況討論即可.【詳解】若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4個(gè)部分；若三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，則可將空間分為6個(gè)部分；若三個(gè)平面交于一條直線，則可將空間分為6個(gè)部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分為7部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，則可將空間分為8部分故n的取值為4，6，7，8，所以n不可能是5.故選：A.14．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】利用向量基底的定義和向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用逐一判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A，若向量，，共面，則，無解，所以向量，，不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若向量，，共面，則，無解，所以向量，，不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若向量，，共面，則，無解，所以向量，，不共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若向量，，共面，則，即，解得，所以向量，，共面，故D正確.故選：D.15．已知曲線為實(shí)數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．曲線可能表示兩條直線B．若，則是橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．若，則是圓，半徑為D．若，則是雙曲線，漸近線方程為【答案】D【分析】A選項(xiàng)，注意到當(dāng)時(shí)，可表示兩條直線；B選項(xiàng)，由題，將化為，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，由題，將化為，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，當(dāng)，化為；當(dāng)，化為，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，注意到當(dāng)時(shí)，，表示兩條直線或，故A正確；B選項(xiàng)，，因，則，故橢圓長(zhǎng)軸為，故B正確；C選項(xiàng)，，則圓半徑為，故C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)，，則雙曲線漸近線為；當(dāng)，，則雙曲線漸近線為.故D錯(cuò)誤.故選：D16．已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線的漸近線上一點(diǎn)，滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)求出，再在中，利用余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，結(jié)合即可求得雙曲線的離心率.【詳解】由題可知，，，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)P為漸近線上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，，因?yàn)椋?，則，故，故，在中，，由余弦定理得，即，即，則，即，即，即，即，所以.故選：A.三、解答題17．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，.(1)求AC邊所在直線的一般方程；(2)求BC邊上的高所在直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用兩點(diǎn)式可得答案；（2）求出BC邊的斜率，即可得BC邊上的高的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出答案．【詳解】（1）由兩點(diǎn)式可得：，化簡(jiǎn)得AC邊所在直線的一般方程為；（2）由已知得，可得BC邊上的高所在直線斜率．∴BC邊上的高所在直線方程為：，化簡(jiǎn)得BC邊上的高所在直線方程為．18．在棱長(zhǎng)為2的正方體中．(1)求證：面；(2)為線段的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化，即可證明；（2）將異面直線所成角，轉(zhuǎn)化位相交直線所成角，即可求解.【詳解】（1）如圖，連接，，平面，平面，所以，且，所以平面，平面，所以，同理，，且，平面所以平面（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，所以,所以異面直線與所成角為，，所以,．19．從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖1陰影部分），并卷成一個(gè)深度為米的圓錐筒（如圖2）.若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為.（1）求圓錐筒的容積；（2）在（1）中的圓錐內(nèi)有一個(gè)底面圓半徑為的內(nèi)接圓柱（如圖3），求內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大時(shí)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，扇形即為為圓錐的側(cè)面展開圖，求出圓錐的底面半徑和高，即可求出容積；（2）根據(jù)圓柱內(nèi)接圓錐關(guān)系，求出圓柱的高與底面半徑的關(guān)系式，進(jìn)而求出圓柱側(cè)面積的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征求其最值即可.【詳解】（1）設(shè)圓錐筒的半徑為，容積為，∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為，∴，解得，∴，∴.∴圓錐筒的容積為.（2）設(shè)內(nèi)接圓柱高為則有，由圓錐內(nèi)接圓柱的軸截面圖，得，所以內(nèi)接圓柱側(cè)面積，所以當(dāng)時(shí)內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系、體積以及內(nèi)接圓柱側(cè)面積最值的計(jì)算，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為棱的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求異面直線所成角；（2）求平面和平面的法向量，利用空間向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值【詳解】（1）如圖，底面，底面，底面，，.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為，故異面直線與所成角的大小為.（2）由題意可知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則..所以平面和平面夾角的余弦值.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在x軸上的圓C經(jīng)過點(diǎn)，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為．經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)求當(dāng)滿足時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程；(3)若點(diǎn)，直線PM與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為R，直線PN與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為S，分別記直線l、直線RS的斜率為，，求證：為定值．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意設(shè)圓方程為（），然后由已知點(diǎn)坐標(biāo)和軸上的弦長(zhǎng)列方程組，得方程；（2）過點(diǎn)C作CD⊥MN于D，由是中點(diǎn)，由平面向量的性質(zhì)得，從而利用勾股定理求得，再設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求得參數(shù)值得直線方程；（3）設(shè)，，，，寫出直線方程，與圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)（用表示），同理得點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算斜率進(jìn)行證明．【詳解】（1）由已知圓C的圓心在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為．設(shè)圓C：（），所以，解得，所以圓C的方程為；（2）過點(diǎn)C作CD⊥M