三年高考(2016-2018)高考數(shù)學試題分項版解析-專題11-解三角形-理(含解析)

三年高考(2016-2018)高考數(shù)學試題分項版解析-專題11-解三角形-理(含解析)PAGEPAGE4專題11解三角形考綱解讀明方向考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題掌握2017山東,9;2017浙江,14;2017天津,15;2017北京,15;2016課標全國Ⅱ,13;2016天津,3;2015天津,13選擇題填空題★★★A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因為所以，選A.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.2．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=，b=2，A=60°，則sinB=___________，c=___________．【答案】3點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.3．【2018年全國卷Ⅲ理】的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得。詳解：由題可知，所以，由余弦定理，所以，，，故選C.點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。4．【2018年江蘇卷】在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．【答案】9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.5．【2018年理數(shù)天津卷】在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（I）求角B的大??；（II）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=．點睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．6．【2018年理北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．【答案】(1)∠A=(2)AC邊上的高為【解析】分析：（1）先根據(jù)平方關(guān)系求sinB,再根據(jù)正弦定理求sinA，即得∠A；（2）根據(jù)三角形面積公式兩種表示形式列方程，再利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，解得AC邊上的高．詳解：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.7．【2018年理新課標I卷】在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)根據(jù)正弦定理可以得到，根據(jù)題設(shè)條件，求得，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得；(2)根據(jù)題設(shè)條件以及第一問的結(jié)論可以求得，之后在中，用余弦定理得到所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果.詳解：（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題設(shè)知，，所以.（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.點睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式以及余弦定理，在解題的過程中，需要時刻關(guān)注題的條件，以及開方時對于正負號的取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關(guān)系，從而正確求得結(jié)果.2017年高考全景展示1.【2017山東，理9】在中，角，，的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】試題分析：所以，選A.【考點】1.三角函數(shù)的和差角公式2.正弦定理.【名師點睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個隱含條件，不容忽視.2.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．

點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】試題分析：取BC中點E，DC中點F，由題意：，△ABE中，，，．又，，綜上可得，△BCD面積為，．【考點】解三角形【名師點睛】利用正、余弦定理解決實際問題的一般思路：（1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．3.【2017課標1，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.【考點】三角函數(shù)及其變換.【名師點睛】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.4.【2017課標II，理17】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求?！敬鸢浮?1)；(2)。【解析】試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡，利用降冪公式化簡，結(jié)合求出；利用（1）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出。試題解析：(1)由題設(shè)及，，故。上式兩邊平方，整理得，解得(舍去)，。（2）由得，故。又，則。由余弦定理及得：所以b=2?！究键c】正弦定理；余弦定理；三角形面積公式?！久麕燑c睛】解三角形問題是高考高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學生的歡迎。5.【2017課標3，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，a=2,b=2.（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC,求△ABD的面積.【答案】(1)；(2)【解析】試題分析：(1)由題意首先求得，然后利用余弦定理列方程，邊長取方程的正實數(shù)根可得；(2)利用題意首先求得△ABD面積與△ACD面積的比值，然后結(jié)合△ABC的面積可求得△ABD的面積為.試題解析：（1）由已知得，所以.在△ABC中，由余弦定理得，即.解得：(舍去)，.【考點】余弦定理解三角形；三角形的面積公式【名師點睛】在解決三角形問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.正、余弦定理在應(yīng)用時，應(yīng)注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.6.【2017北京，理15】在△ABC中，=60°，c=a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理求的值；（Ⅱ）根據(jù)條件可知根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果求，再利用求解，最后利用三角形的面積.試題解析：解：（Ⅰ）在△ABC中，因為，，所以由正弦定理得.（Ⅱ）因為，所以.由余弦定理得，解得或（舍）.所以△ABC的面積.【考點】1.正余弦定理；2.三角形面積；3.三角恒等變換.【名師點睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式7.【2017天津，理15】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(1).(2)【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）在中，因為，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.2016年高考全景展示1.【2016高考新課標3理數(shù)】在中，，邊上的高等于,則（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以，．由余弦定理，知，故選C．考點：余弦定理．【方法點撥】在平面幾何圖形中求相關(guān)的幾何量時，需尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將所涉及到已知幾何量與所求幾何集中到某一個三角形，然后選用正弦定理與余弦定理求解．2.【2016高考天津理數(shù)】在△ABC中，若,BC=3，,則AC=（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】A【解析】試題分析：由余弦定理得,選A.考點：余弦定理【名師點睛】1.正、余弦定理可以處理四大類解三角形問題，其中已知兩邊及其一邊的對角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其關(guān)鍵是運用兩個定理實現(xiàn)邊角互化，從而達到知三求三的目的．3.【2016高考江蘇卷】在銳角三角形中，若，則的最小值是.【答案】8.【解析】，因此，即最小值為8.考點：三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用【名師點睛】消元與降次是高中數(shù)學主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正余弦定理，是一個關(guān)于切的等量關(guān)系，平時多總結(jié)積累常見的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問題能力，培養(yǎng)消元意識4.【2016高考新課標2理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則．【答案】考點：三角函數(shù)和差公式，正弦定理.【名師點睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．5.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分）在ABC中，.（1）求的大?。唬?）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)余弦定理公式求出的值，進而根據(jù)的取值范圍求的大??；（2）由輔助角公式對進行化簡變形，進而根據(jù)的取值范圍求其最大值.試題解析：（1）由余弦定理及題設(shè)得，又∵，∴；（2）由（1）知，，因為，所以當時，取得最大值.考點：1.三角恒等變形；2.余弦定理.【名師點睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個定理，它將三角形的邊和角有機地聯(lián)系起來，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運用初等幾何法．注意體會其中蘊涵的函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想．6.【2016高考新課標1卷】（本小題滿分為12分）的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知（I）求C；（II）若的面積為,求的周長．【答案】（I）（II）【解析】試題分析：（I）先利用正弦定理進行邊角代換化簡得得,故；（II）根據(jù)．及得．再利用余弦定理得．再根據(jù)可得的周長為．（II）由已知,．又,所以．由已知及余弦定理得,．故,從而．所以的周長為．考點：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式【名師點睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式,,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理條件中含有邊或角的等式,?？紤]對其實施“邊化角”或“角化邊.”7.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（Ⅰ）證明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明；（Ⅱ）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.試題解析：由題意知，化簡得，即.因為,所以.從而.由正弦定理得.由知,所以，當且僅當時，等號成立.故的最小值為.考點：1.和差倍半的三角函數(shù)；2.正弦定理、余弦定理；3.基本不等式.【名師點睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達到證明目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.8.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分）在中，AC=6，（1）求AB的長；（2）求的值.【答案】（1）(2)【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求再利用正弦定理求(2)利用誘導(dǎo)公式及兩角和余弦公式分別求，最后根據(jù)兩角差余弦公式求，注意開方時正負取舍.試題解析：解（1）因為所以由正弦定理知，所以（2）在三角形ABC中，所以于是又，故因為，所以因此考點：同角三角函數(shù)關(guān)系，正余弦定理，兩角和與差公式【名師點睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負取舍是解題正確的保證.9.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（I）證明：A=2B；（II）若△ABC的面積，求角A的大小.【答案】（I）證明見解析；（II）或．試題分析：（I）先由正弦定理可得，