全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題總

2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題01第一試一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.設(shè)，，，則______.2.設(shè)，．若的非空子集個(gè)數(shù)為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3.設(shè)是滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，則區(qū)域的面積為_______.（其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）.4.二元函數(shù)的最大值為___5.已知是雙曲線上靠近點(diǎn)的一個(gè)頂點(diǎn)．若以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓與雙曲線交于3個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是．6.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第奇數(shù)局，甲贏的概率為，第偶數(shù)局，乙贏的概率為.每一局沒有平局，規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多2次時(shí)游戲結(jié)束.則游戲結(jié)束時(shí)，甲乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為________.7.設(shè)五邊形滿足，則的最小值為8.過正四面體的頂點(diǎn)作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面所成的角為.這樣的截面共可作出個(gè).二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）.試求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得是不等式的最小整數(shù)解.10.（本小題滿分20分）、數(shù)列定義為，，.⑴求證：數(shù)列為整數(shù)列；⑵求證：是完全平方數(shù).11.（本小題滿分20分）已知S,P(非原點(diǎn))是拋物線y=x2上不同的兩點(diǎn),點(diǎn)P處的切線分別交x,y軸于Q,R.(1)若,求的值;(2)若,求ΔPSR面積的最小值.2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題01加試一、（本小題滿分40分）一、如圖，設(shè)為的一個(gè)交點(diǎn)，直線切分別于，為的外心，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，為的中點(diǎn).求證：.二、（本小題滿分40分）設(shè).證明:對(duì)任意m∈N*,存在n∈N*,使得[Sn]=m.三、（本小題滿分50分）試求所有的正整數(shù)，使得存在正整數(shù)數(shù)列，使得和互不相同，且模4意義下各余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同.四、（本小題滿分50分）集合是由空間內(nèi)2014個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，滿足任意四點(diǎn)不共面.正整數(shù)滿足下列條件：將任意兩點(diǎn)連成一條線段，并且在此線段上標(biāo)上一個(gè)的非負(fù)整數(shù)，使得由中頂點(diǎn)構(gòu)成的任何一個(gè)三角形，一定有兩邊上的數(shù)字是相同的，且這個(gè)數(shù)字小于第三邊上的數(shù)字.試求的最小值.2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02填空題（每小題8分，共64分）在如下圖所示的正方體中，二面角等于（用反三角函數(shù)表示）如果三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足依次成等差數(shù)列，則角的最大值是3.實(shí)數(shù)列滿足條件：，則通項(xiàng)公式。4.是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，如果的面積為1，則5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與其反函數(shù)的圖像恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是6.已知正實(shí)數(shù)與非負(fù)實(shí)數(shù)滿足(1);(2)，則的最大值為__________．7.已知20塊質(zhì)量為整數(shù)克的砝碼可稱出克的物品，砝碼只能放在天平一端，則最大砝碼質(zhì)量最小值為________________克．8.設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則函數(shù)的圖像與軸所圍成圖形的面積是簡答題（本大題共3小題，共56分）（16分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（20分）設(shè)是多項(xiàng)式方程的三個(gè)根。（1）已知都落在區(qū)間之中，求這三個(gè)根的整數(shù)部分；（2）證明：（20分）如下圖，橢圓是橢圓上的兩點(diǎn)，直線是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是過點(diǎn)且與相切的直線，分別是直線與，與，與的交點(diǎn)，求證：三條直線和共點(diǎn)。2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題02一（本題滿分40分）對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為：．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)集，求所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積．二（本題滿分40分）如圖，在中，，為的垂心，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且滿足，點(diǎn)在直線上的射影為.證明：的外接圓與的外接圓相切.三（本題滿分50分）整數(shù)滿足.求的最小值,并求出一切達(dá)到最小值的四元數(shù)組四（本題滿分50分）設(shè)整數(shù),，，對(duì)，記為滿足，，的數(shù)組的個(gè)數(shù)，類似定義，.證明：.2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題03一試一、填空題（每小題8分，共64分）1.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是__________．2.函數(shù)滿足，則的最大值為．3.設(shè)復(fù)數(shù)，，，（），則當(dāng)取到最小值時(shí)，________________4.有一個(gè)頂點(diǎn)在下且底面呈水平狀的圓錐形容器，軸截面是邊長為6的正三角形，容器里裝滿了水，現(xiàn)有一個(gè)正四棱柱，底面邊長為，高為，豎直地浸在容器里，為了使容器溢出的水最多，a的值應(yīng)取為．5.在中，，是所在平面上任意一點(diǎn)，則的最小值是______________6.正數(shù)列滿足:(為前項(xiàng)之和),則=_____________________．7.設(shè)過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，若且，則這樣的直線的條數(shù)是8.6名男生和名女生隨機(jī)站成一排，每名男生都至少與另一男生相鄰.至少有名男生站在一起的概率為，若，則的最小值為．二、簡答題（本大題共3小題，共56分）9.已知正數(shù)數(shù)列滿足：（），且，求的通項(xiàng)公式．10.二次函數(shù)的圖像開口向上，與軸正向交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)，若三角形的外接圓與軸相切，且，則時(shí)，求的最小值．11、已知圓（）與橢圓有公共點(diǎn)，求圓的半徑的最小值．2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題03加試一（本題滿分40分）如圖，圓、圓與圓相交于點(diǎn)，圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的一條直線分別交圓、圓于點(diǎn)、，的延長線交圓于點(diǎn)，作交圓于點(diǎn)，再作、分別切圓、圓于、．求證：．二、（本題滿分40分）若數(shù)列是項(xiàng)為非負(fù)整數(shù)的不減數(shù)列，且滿足：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列，如此可定義數(shù)列等．求證：．三、（本題滿分50分）證明：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得對(duì)于這些素?cái)?shù)中的每一個(gè)，至少存在一個(gè)，滿足：．四、（本題滿分50分）平面上有（）個(gè)半徑相同的圓，其中任意兩個(gè)圓都不相切，任意一個(gè)圓至少與另外三個(gè)圓相交．設(shè)這些圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，求的最小值．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題04第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.集合與恰有一個(gè)公共元為正數(shù)，則．2.若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則的取值范圍是___________.3.已知，且，則的最大值為________.4.在單調(diào)遞增數(shù)列中，已知，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，.那么，_________.5.已知點(diǎn)是空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一定點(diǎn)，過作一平面與三坐標(biāo)軸的正半軸分別交于三點(diǎn)，則所有這樣的四面體的體積的最小值為．6.在中，角的對(duì)邊為，，，又知，則的面積為．7.已知過兩拋物線，的交點(diǎn)的各自的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為．8.若整數(shù)既不互質(zhì)，又不存在整除關(guān)系，則稱是一個(gè)“聯(lián)盟”數(shù)對(duì)；設(shè)是集的元子集，且中任兩數(shù)皆是“聯(lián)盟”數(shù)對(duì)，則的最大值為．二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列滿足．求證：（1）當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，這里．10.（本小題滿分20分）設(shè)橢圓與拋物線有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，為它們的一條公切線，、為切點(diǎn)，證明：．11.（本小題滿分20分）求證：（1）方程恰有一個(gè)實(shí)根，并且是無理數(shù)；（2）不是任何整數(shù)系數(shù)二次方程的根．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題04加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）如圖，在銳角中，、分別是邊、的中點(diǎn)，的外接圓與的外接圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），的外接圓與的外接圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）。求證：.二、（本小題滿分40分）求所有素?cái)?shù)，使得三、（本小題滿分50分）設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，是4n－1個(gè)正實(shí)數(shù)，使得．令，證明：．四、（本小題滿分50分）n個(gè)棋手參加象棋比賽，每兩個(gè)棋手比賽一局．規(guī)定勝者得1分，負(fù)者得0分，平局各得0.5分．如果賽后發(fā)現(xiàn)任何m個(gè)棋手中都有一個(gè)棋手勝了其余m－1個(gè)棋手，也有一個(gè)棋手輸給了其余m－1個(gè)棋手，就稱此賽況具有性質(zhì)P（m）．對(duì)給定的m（m≥4），求n的最小值f（m），使得對(duì)具有性質(zhì)P（m）的任何賽況，都有所有n名棋手的得分各不相同．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題05第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.函數(shù)的值域是2.函數(shù)在中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.設(shè)是平面上的兩點(diǎn),是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),,若,則4.設(shè)動(dòng)點(diǎn),其中參數(shù),則線段掃過的平面區(qū)域的面積是5.從正十二邊形的頂點(diǎn)中取出4個(gè)頂點(diǎn),它們兩兩不相鄰的概率是6.一個(gè)球外接于四面體，另一半徑為1的球與平面相切，且兩球內(nèi)切于點(diǎn)，已知,，則四面體的體積為8.用表示非空整數(shù)集S中所有元素的和，設(shè)是正整數(shù)集，且，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，存在A的子集S，使得，則滿足上述要求的的最小值為．二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）已知是正實(shí)數(shù),求證:10.（本小題滿分20分）設(shè)是不同的正實(shí)數(shù).證明：是一個(gè)等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)所有整數(shù)，都有11.（本小題滿分20分）已知直線與橢圓C：交于兩點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交弦于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)．（1）用表示四邊形的面積；（2）求四邊形的面積取到最大值時(shí)直線的方程．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題05加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）如圖，的外心為，是的中點(diǎn)，直線交于，點(diǎn)分別是的外心與內(nèi)心，若，證明：為直角三角形.二、（本小題滿分40分）對(duì)給定的自然數(shù)與，＜，任意一個(gè)由個(gè)連續(xù)整數(shù)組成的集合都含有兩個(gè)不同的數(shù)，它們的乘積能被整除．三、（本小題滿分50分）求證：數(shù)列的每一項(xiàng)都是整數(shù)，但都不是3的倍數(shù)四、（本小題滿分50分）圓周上有個(gè)點(diǎn)，用弦兩兩連結(jié)起來，其中任何3條弦都不在圓內(nèi)共點(diǎn)，求由此形成的互不重疊的圓內(nèi)區(qū)域的個(gè)數(shù)．2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題06一試填空題（每小題8分，共64分）1.函數(shù)的值域是.2.已知成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差為3.正八面體的任意兩個(gè)相鄰面所成二面角的余弦值等于.4.設(shè)橢圓與雙曲線相切，則.5.設(shè)是復(fù)數(shù)，則的最小值等于.6.設(shè)，，是實(shí)數(shù)，若方程的三個(gè)非負(fù)實(shí)根構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，則的最大值是.7.設(shè)是的內(nèi)心，，，，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于.8.從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取三點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形的概率是.簡答題（本大題共3小題，共56分）9．已知整數(shù)列滿足，，前項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求出所有的正整數(shù)，使得．10.已知函數(shù)及△滿足下列條件：（1）成等差數(shù)列；（2）為方程的一個(gè)根，（3）為方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根；（4）求及的度數(shù)11.過拋物線的焦點(diǎn)做直線與拋物線交于（1）求證：△不是直角三角形；（2）當(dāng)斜率為時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)使得△為直角三角形，若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，說明理由2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題06加試一（本題滿分40分）如圖，在△中，，是△的外接圓，過點(diǎn)作的切線交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條垂線分別與的中垂線交于點(diǎn).求證：三點(diǎn)共線二、（本題滿分40分）已知無窮正數(shù)數(shù)列滿足：（1）存在，使得；（2）對(duì)任意正整數(shù)均有，求證：三、（本題滿分50分）設(shè)滿足：，集合，如果，求證：（其中表示不超過的最大整數(shù)）四、（本題滿分50分）求所有的自然數(shù)，使得存在的一個(gè)置換滿足：集合和均為的完全剩余系2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題07第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.若函數(shù)=的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值是2.設(shè)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為3.設(shè)直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn),且,則直線的方程為________4.橢圓的左焦點(diǎn)為，在橢圓上且滿足，則的最大值為5．設(shè)實(shí)數(shù)滿足條件，，其中，則的最大值是。6．若是邊長為的正三角形的邊上的點(diǎn)，與的內(nèi)切圓半徑分別為，若，則滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別設(shè)為，則之間的距離為7.三棱錐A-BCD中,△BCD、△ACD均為邊長為2的正三角形,△BCD在平面內(nèi)，側(cè)棱AB=．現(xiàn)對(duì)其四個(gè)頂點(diǎn)隨機(jī)貼上寫有數(shù)字1至8的8個(gè)標(biāo)簽中的4個(gè),并記對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)為,(取值為A、B、C、D),E為側(cè)棱AB上一點(diǎn)．若|BE|:|EA|=f(B)：f(A),則二面角E-CD-A的平面角大于的概率為8．設(shè)方程（為奇數(shù)）的個(gè)根為，則．二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.如圖，已知拋物線C：，過點(diǎn)A（1，2）作拋物線C的弦AP，AQ.（1）若AP⊥AQ,證明：直線QP過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）假設(shè)直線PQ過點(diǎn)T(5,-2)，請(qǐng)問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△QAP的個(gè)數(shù)，若不存在請(qǐng)說明理由．10.求正整數(shù)和使得，且++=111.設(shè)為一個(gè)正整數(shù)，證明：存在實(shí)數(shù)和，，，使得對(duì)所有的實(shí)數(shù)均成立。2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題07加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）在中，點(diǎn)是邊上旁切圓圓心關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是邊上旁切圓圓心關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，邊上旁切圓切邊于點(diǎn)．求證：．（邊上旁切圓指與的延長線及線段均相切的圓．）二、（本小題滿分40分）若非空集合滿足，則稱為級(jí)好集合．記為級(jí)好集合的個(gè)數(shù)（其中表示集合的元素個(gè)數(shù)，表示集合的最小元素）．求證：對(duì)一切正整數(shù)，都有．三、（本題滿分50分）（1）設(shè)為奇質(zhì)數(shù)，不整除則（2）是不同的正有理數(shù)，使得存在無窮多個(gè)正整數(shù)是正整數(shù)，求證：也是正整數(shù)四、（本題滿分50分）設(shè)且是任意的和為正數(shù)的n個(gè)不同的實(shí)數(shù)。是這n個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，若對(duì)，有。我們就稱是一個(gè)“好排列”。求“好排列”個(gè)數(shù)的最小值。2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題08第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.不等式的解集是2.適當(dāng)排列三個(gè)正實(shí)數(shù)使得它們?nèi)〕Ｓ脤?duì)數(shù)后構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，則的值等于3.已知空間四邊形的對(duì)角線分別是的中點(diǎn)，若異面直線所成角為，則4.在△中，設(shè)且，則5.設(shè)為圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)在該圓的內(nèi)部或圓周上，且△是邊長為的正三角形，則的最小值是6.已知，則的取值范圍是7.過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線分別與橢圓交于點(diǎn)，過分別作橢圓的切線交于，過分別作橢圓的切線交于，則直線的方程是8.正六邊形的中心為，對(duì)這7個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)，以其中一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，任取其中兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望是二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列滿足：，且當(dāng)時(shí)＝－，其中＝－證明：一定存在數(shù)列使得數(shù)列中的每個(gè)數(shù)均為完全平方數(shù)10.非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足.求的最大值.11.已知是拋物線上不同的三點(diǎn)，有兩邊所在的直線與拋物線相切，證明：對(duì)不同的為定值2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題08加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）二、（本小題滿分40分）三、（本題滿分50分）四、（本題滿分50分）2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題09第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.方程的解集為(其中，是無理數(shù)，)．則中的所有元素的平方和等于2.平面內(nèi)有圓(如圖)是直徑，，是上一點(diǎn)．若，則二面角的平面角的余弦值是3.在一次網(wǎng)球比賽中，個(gè)女子和個(gè)男子參加，并且每個(gè)選手與其他所有選手恰好比賽一次，如果沒有平局，女子勝的局?jǐn)?shù)與男子勝的局?jǐn)?shù)之比7：5，則4.設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正實(shí)數(shù)，且．則的最小值是5.在雙曲線上任取三點(diǎn)，則垂心的軌跡方程為6.函數(shù)，.過點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值為7.設(shè)一元三次方程的三根在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)剛好組成一個(gè)正三角形，則此正三角形面積為．8.使得成立的最小正整數(shù)是．二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.設(shè)是的整系數(shù)多項(xiàng)式有五個(gè)互不相同的整數(shù)根．證明：方程沒有整數(shù)根．10.已知數(shù)列求證：．11.點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線截橢圓所得的弦被直線平分且滿足.的面積為，判斷四邊形的形狀及直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論.2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題09加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）已知是等腰三角形，是腰上的高線，的中點(diǎn)為．求證：二、（本小題滿分40分）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，對(duì)正數(shù)，求證：三、（本題滿分50分）是否存在正整數(shù)n>1,使得1，2，3，…，n2能放在一個(gè)n×n方格表內(nèi)，使得每行的乘積是相同的？證明你的結(jié)論．四、（本題滿分50分）給定個(gè)（≥5）互不相等的實(shí)數(shù)＜＜…＜，所有的個(gè)和（1≤,≤,）中互不相同的數(shù)恰好有個(gè)的充分必要條件是成等差數(shù)列．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題10第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.若實(shí)數(shù)滿足，且，則的值是2.已知集合，且，其中．若任意，均有，則實(shí)數(shù)的最大值為3.復(fù)數(shù)滿足，則等于4.已知，其中為整數(shù)，則．5.表示、中較小的數(shù)，不等式的解集是.6.在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD=∠BDC=.已知E是BD上一點(diǎn)，滿足CE⊥BD且BE=AD=1.點(diǎn)D到平面ABC的距離為，則的值為.7.設(shè)為拋物線上相異兩點(diǎn)，則的最小值為8.電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個(gè)數(shù)字或.則輸出的前個(gè)數(shù)字之和被整除的概率為.二、解答題：本大題共3小題，共56分.9．在矩形中，，為邊的中點(diǎn)，設(shè)、分別、是上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接與交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，并指出它的形狀。10.設(shè)數(shù)列定義為（1）證明：當(dāng)時(shí)，（2）證明：11.已知，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，求使取最小值的所有實(shí)數(shù)對(duì).2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題10加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，延長線交于，延長線交于，為圓上任一點(diǎn)，分別交圓于，若對(duì)角線交于，求證：三點(diǎn)共線二、（本小題滿分40分）給定實(shí)數(shù)，個(gè)復(fù)數(shù)滿足證明：三、（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)的所有整數(shù)：存在無窮多個(gè)正整數(shù)使得不整除四、（本題滿分50分）給定整數(shù)，求最小的整數(shù)，使得存在兩個(gè)由整數(shù)構(gòu)成的集合，同時(shí)滿足以下條件：（1），且；（2）對(duì)中任意兩個(gè)不同元素有：當(dāng)且僅當(dāng)2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題11第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.已知數(shù)列滿足：則的最大值為.2.已知,則的值域?yàn)?3.不等式的解集是4.單位正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到所在平面的距離為．5.不等式對(duì)所有滿足的二次函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是6.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別是△的內(nèi)心、重心.已知對(duì)任意點(diǎn)，恒垂直于軸，則橢圓的離心率為7.已知方程在上有一根，則=8.甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)定每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的多2分時(shí)即贏得這場游戲，比賽隨之結(jié)束；同時(shí)規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過20次，即經(jīng)20次比賽，得分多者贏得這場游戲，得分相等為和局．已知每次比賽甲獲勝的概率為（），乙獲勝的概率為．假定各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，比賽經(jīng)次結(jié)束，則的期望的變化范圍為二、解答題：本大題共3小題，共56分.9．已知，求證：10.設(shè).(1)若，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，問：是否存在實(shí)數(shù)使得?證明你的結(jié)論11.已知兩條直線點(diǎn)到直線的射影分別為，（1）求使成立的點(diǎn)的軌跡曲線；（2）若與曲線恰有7個(gè)交點(diǎn)，求的值2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題11加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）設(shè)是給定的正整數(shù)，且.對(duì)于個(gè)實(shí)數(shù)，記的最小值為.若，試求的最大值二、（本小題滿分40分）如圖，設(shè)依次是一個(gè)圓上的六個(gè)點(diǎn)，滿足，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，使得.求證：.三、（本題滿分50分）試確定所有同時(shí)滿足的三元數(shù)組，其中為奇素?cái)?shù)，為大于1的整數(shù)四、（本題滿分50分）2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題12第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為2.從集合中任選個(gè)不同元素，考慮這個(gè)元素的兩數(shù)和、三數(shù)和、四數(shù)和，這11個(gè)和中恰有兩個(gè)和為0的概率為3.設(shè)是兩個(gè)給定的正數(shù)，且，如果對(duì)任意的，實(shí)數(shù)都滿足，則稱對(duì)于來說是“好數(shù)”.則滿足條件的最大好數(shù)是（用表示）4.球面上有四點(diǎn)，兩兩垂直，且，則球面面積的最小值為5.設(shè)，則使得的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列的最大整數(shù)為6.記，則的最小值是。7.已知滿足，則二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.已知線段為過拋物線焦點(diǎn)的弦，為原點(diǎn)，求△的三邊邊長的平方和的取值范圍10.設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)滿足,,試求的最大值和最小值11.若遞增正整數(shù)數(shù)列滿足且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)其中是正整數(shù)，是無理數(shù)，求證：2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題12加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）二、（本小題滿分40分）三、（本題滿分50分）四、（本題滿分50分）2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題13第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1．若正實(shí)數(shù)滿足和，則的值是．2．如果△ABC中，tanA,tanB，tanC都是整數(shù)，且A>B>C，則tanB=3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，的小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字是．4．若，則的值是．5．函數(shù)滿足則的值是．6．在四面體ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)O，滿足OA=OB=OC=4,OD=l，則四面體ABCD體積的最大值為．7．設(shè)是橢圓的長軸端點(diǎn)，是橢圓上異于的點(diǎn)，自分別作直線則的交點(diǎn)軌跡方程是8．某人在黑板上玩寫數(shù)字的游戲，每次他隨機(jī)地寫上中的某個(gè)數(shù)，如果他最后寫上去的兩數(shù)之和是一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么游戲結(jié)束．則他完成游戲時(shí)所寫的最后一個(gè)數(shù)為的概率為二、解答題：本大題共3小題，共56分.9．設(shè)函數(shù)．（l）證明：當(dāng)時(shí)，；(2)數(shù)列｛｝滿足，證明：數(shù)列｛｝遞減且．10．設(shè)拋物線和雙曲線交于點(diǎn)，這兩條曲線的公切線分別切拋物線于點(diǎn)，切雙曲線于點(diǎn)．求的面積．11．設(shè)是3個(gè)模不大于1的復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根．證明：對(duì)j＝1，2，3，都有．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題13加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）設(shè)為給定素?cái)?shù)，是個(gè)整數(shù)，均不被整除，且?；ゲ煌?，設(shè)其中．記這里，表示整數(shù)被除的余數(shù)．證明：二、（本小題滿分40分）如圖，在銳角中，已知，的角平分線與邊交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上，使得四點(diǎn)共圓且滿足．求證：的內(nèi)心是的外心．三、（本題滿分50分）對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，定義數(shù)列如下：．求最小的正數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)數(shù)列及一切正整數(shù)，均有四、（本題滿分50分）對(duì)于任意的整數(shù)．證明：數(shù)列自某項(xiàng)起，各項(xiàng)對(duì)同余．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題14第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題14加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題15第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1．已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是2．在四棱錐中，已知四邊形是矩形，且,與交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則與平面所成角為3．將中的任意三個(gè)互不相同的數(shù)作乘積，則所有這些乘積之和等于4．已知曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)與直線的距離之和等于，對(duì)于給定的點(diǎn)，在曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的取值范圍是5．設(shè)方程的三個(gè)實(shí)根是．則6．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為7．設(shè)方程的個(gè)復(fù)根分別為，則8．將編號(hào)為的幾顆珍珠隨機(jī)固定在一串項(xiàng)鏈上，假設(shè)每顆珍珠的距離相等，記項(xiàng)鏈上所有珍珠編號(hào)之差的絕對(duì)值之和為，則取得最小值的放法的概率是二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）.已知數(shù)列滿足，．證明：10.（本小題滿分20分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于點(diǎn)．若，且⑴求橢圓的方程；⑵若是橢圓的有準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的內(nèi)切圓圓心的軌跡方程.11.（本小題滿分20分）設(shè)且，其中為給定的正實(shí)數(shù)，求的值域2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題15加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）在中，已知為斜邊上的高，分別為的內(nèi)心，于點(diǎn)，直線與，與，與分別交于點(diǎn)．求證：(1)且；(2)且．二、（本小題滿分40分）設(shè)．試求的最大值和最小值（規(guī)定）.三、（本小題滿分50分）個(gè)興趣班，若干個(gè)學(xué)生參與（可重復(fù)參與），每個(gè)興趣班人數(shù)相同（招滿，人數(shù)未知）．已知任意九個(gè)興趣班包括了全體學(xué)生，而任意八個(gè)興趣班沒有包括全體學(xué)生．求學(xué)生總?cè)藬?shù)的最小值．四、（本小題滿分50分）對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)，設(shè)其十進(jìn)制表達(dá)為.證明：存在，使得的十進(jìn)制表達(dá)的前位是2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題16第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)使方程有實(shí)根，則的最小值是2．在正三棱臺(tái)中，上底面積，下底面積．若底邊到截面的距離等于三棱臺(tái)的高，則3．從中取出三個(gè)不同的數(shù)，使得其不能組成一個(gè)三角形的三邊長的不同取法有種4．已知，且，若，則的取值范圍是．5．函數(shù)的最小值為6．設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為7．如圖，設(shè)分別是兩個(gè)同心圓（半徑分別為）上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)分別在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)所形成的區(qū)域面積為8．設(shè)且，則的最大值為二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）.設(shè)復(fù)數(shù)滿足．證明：．10.（本小題滿分20分）給定整數(shù)，設(shè)，其中,滿足求出所有滿足條件的函數(shù)．11.（本小題滿分20分）給定橢圓及點(diǎn)．（1）求的值使得對(duì)于橢圓的左頂點(diǎn)，存在橢圓上的另兩點(diǎn)，滿足以為圓心、為半徑的圓是的內(nèi)切圓；（2）證明：對(duì)于橢圓的下頂點(diǎn)，也存在橢圓上的另兩點(diǎn)，使得是的內(nèi)切圓，并確定此時(shí)直線的方程．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題16加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）已知的內(nèi)心為，的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn)，的內(nèi)心分別是，的外心為．求證：三點(diǎn)共線．二、（本小題滿分40分）設(shè)且．求證：三、（本小題滿分50分）已知正整數(shù)滿足．令對(duì)任意，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，表示集合中元素的個(gè)數(shù)．證明：（1）；（2）四、（本小題滿分50分）某國建了一座時(shí)間機(jī)器，形似一條圓形地鐵軌道，其上均勻設(shè)置了2014個(gè)站臺(tái)（依次編號(hào)為1,2，…，2014）分別對(duì)應(yīng)一個(gè)年份，起始站及終點(diǎn)站均為第一站（對(duì)應(yīng)2014年）．為節(jié)約成本，機(jī)器每次運(yùn)行一圈，只在其中一半的站臺(tái)?？浚鲇诩夹g(shù)原因，每次至多行駛?cè)颈仨毻？恳来?，且所?？康娜蝺蓚€(gè)站臺(tái)不能是圓形軌道的對(duì)徑點(diǎn)．試求不同?？糠绞降姆N數(shù)．2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題17第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1．若對(duì)任意均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是解：．2．已知，則的最小值為解：（利用函數(shù)單調(diào)性），等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2．3．用表示不超過的最大整數(shù).則等于解：，，所以．4．已知?jiǎng)t解：，所以．5．在正方體中，已知棱長為1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，.則三棱錐的體積為解：如圖，作,連接交于點(diǎn)三棱錐的體積為．6．已知等腰直角△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角△ABC的三條邊上，記△PQR，△ABC的面積分別為S△PQR，S△ABC，則的最小值為解：（1）當(dāng)?shù)闹苯琼旤c(diǎn)在的斜邊上，則四點(diǎn)共圓，所以在中分別應(yīng)用正弦定理得.又故,故即為的中點(diǎn).過作于，則,所以,此時(shí)的最小值為.（2）當(dāng)?shù)闹苯琼旤c(diǎn)在的直角邊上，如圖所示，設(shè),則在中，在中，,由正弦定理,，因此.這樣，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為.7．設(shè)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作拋物線的切線與交于點(diǎn)在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是8．選擇集合的兩個(gè)不同的非空子集和．則使中最小數(shù)大于中最大數(shù)的概率是設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中,整數(shù)3，則A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的個(gè)數(shù)為：，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的個(gè)數(shù)為：，從而集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為，所以所有滿足A中最大數(shù)小于B中最小數(shù)的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為．而所有的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為所以使中最小數(shù)大于中最大數(shù)的概率是二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M，且交軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作垂直于的直線交軸于點(diǎn).求證：五點(diǎn)共圓.（略）10.（本小題滿分20分）已知函數(shù)，為正實(shí)數(shù)，且，證明：（略）11.（本小題滿分20分）.已知數(shù)列滿足．證明:．證明：因?yàn)椋杂?，所?所以.因此2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題17加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）已知數(shù)列滿足，，．(=1\*ROMANI)證明：是正整數(shù)數(shù)列；(=2\*ROMANII)是否存在，使得，并說明理由．（Ⅰ）由得，（1）同理可得，（2），由（1）（2）可知，為方程的兩根，又，即有，即因?yàn)樗詾檎麛?shù).（Ⅱ）不存在，使得.假設(shè)存在，使得，則.一方面，，所以,即，所以.由費(fèi)馬小定理知，所以，另一方面，.事實(shí)上，假設(shè)，則，即，所以，而，這樣得到.矛盾.所以，由費(fèi)馬小定理得.這樣得到.矛盾.所以不存在，使得二、（本小題滿分40分）如圖，在等腰中，，為內(nèi)一點(diǎn)，滿足邊的中垂線與的外角平分線交于點(diǎn)，邊的中垂線與的外角平分線交于點(diǎn).證明：四點(diǎn)共圓.三、（本小題滿分50分）設(shè)為大于的素?cái)?shù)，證明：（1）至少含有一個(gè)不同于的素因子；（2）設(shè)，其中是互不相同的素?cái)?shù)，為正整數(shù)，則.四、（本小題滿分50分）設(shè)是非空有限集合，是的個(gè)子集，滿足下列條件：(1);(2)中任意一個(gè)元素屬于中的至少4個(gè)集合.證明：可從中選出個(gè)集合，使得它們的并集為.解：令.現(xiàn)依次選定集合，使得這些集合的并集的元素個(gè)數(shù)每次遞增3個(gè)，選出所有這樣的集合后，不妨設(shè)，，又設(shè)，其中.因?yàn)橐咽菨M足以上性質(zhì)的最大集合，則對(duì)于剩下的任意集合，有.類似地，在集合中依次選定集合，使得這些集合的并集的元素個(gè)數(shù)每次遞增2個(gè)，不妨設(shè)這些集合全部被選出，則有，且；同理，對(duì)于剩下的任意集合，有.類似地，，以及，注意到，且即為上述選定集合所滿足的關(guān)系，現(xiàn)說明.注意到中的每一個(gè)元素至少出現(xiàn)4次，但，，因此有：(1)在中，每個(gè)元素也至少出現(xiàn)4次，但，，因此有：(2)在中，每個(gè)元素也至少出現(xiàn)4次，因此有：(3)現(xiàn)考慮，，所以，即為所求.2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題18第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1．設(shè)正整數(shù)滿足且，則解：易知存在正整數(shù)滿足，所以所以所以.2．方程有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是解：原方程可化為且．①即時(shí)易知符合題意；②即時(shí)，（i）即時(shí)符合題意；(ii)即或時(shí)易知不是方程的解，因此，故，解得所以的取值范圍是或．3．長方體內(nèi)部對(duì)角線到三條與它互不相交的棱之間的最短距離分別為，則該長方體的體積為解：設(shè)長寬高分別為，則于是，解得，所以體積為.4．直角三角形的斜邊，邊的中線所在直線方程分別為則的面積為5．抽屜中裝有紅藍(lán)兩種短襪，總數(shù)不超過只，隨機(jī)取出兩只短襪，它們同色的概率為，則抽屜中紅襪數(shù)量的最大值是解：設(shè)分別為抽屜中紅藍(lán)兩種短襪的數(shù)目，因?yàn)槟贸霾煌膬芍灰m子的概率為，所以即，所以短襪總數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，令，則，所以，又因?yàn)?，所以，所以抽屜中紅襪數(shù)量的最大值是.6．正實(shí)數(shù)滿足，且的最小值為整數(shù)，則解：把和式中的每一項(xiàng)都看成以和為直角邊的三角形的斜邊長，把這些直角三角形逐個(gè)相接形成一個(gè)“梯子”，設(shè)為由斜邊連接形成的折線的端點(diǎn)，則間的距離為所以，選取適當(dāng)?shù)目梢允沟忍?hào)成立，這時(shí)折線為一條直線.因此的最小值是，所以是整數(shù)，設(shè)，則，解得注：也可由閔可夫斯基不等式得最小值7．設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且直線相交于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn).則直線的斜率為．解：設(shè)，則且，.由橢圓定義可得，,在中，由余弦定理可得,即化簡得，而，故.于是有,.因此，可得，故為等腰直角三角形.從而.設(shè)，則．易得，即．同理即，相減得，所以．8．設(shè)為最接近的整數(shù)，則解：設(shè)即，而，所以使得的有個(gè)，注意到，從而或．由于，所以，因此二、解答題：本大題共3小題，共56分.9．已知直線與拋物線交于，拋物線上恰有兩個(gè)使為直角三角形的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：若．設(shè)，則，，所以①．由得，所以即．方程①即，若，由得,所以同理若，則所以是方程②的兩根，（1）當(dāng)即時(shí)且即方程②的解不為，即符合題意；（2）當(dāng)即時(shí)或，符合題意；（3）當(dāng)即時(shí)且，故存在四個(gè)點(diǎn)使為直角三角形，不合題意綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．10．?dāng)?shù)列滿足,記，求解：，令．設(shè)，因?yàn)樗裕瑥亩?，所以，?dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，也符合該式所以11.已知當(dāng)時(shí)恒成立，（1）證明：方程有三個(gè)實(shí)根，（2）求.解：（1）令得令得所以，所以令得.又因?yàn)楣视傻?，所以，所以，由得所以，此時(shí).（2）由（1）知，方程即，令則，所以有三個(gè)實(shí)根，另一方面，設(shè)是的一個(gè)根，即，則則，所以也是的一個(gè)根，因?yàn)?，所以所以所以即的值為．解法二：由可知方程的三個(gè)實(shí)根均屬于，不妨的根為，則，即即，又因?yàn)?，所?所以因此2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題18加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本小題滿分40分）在中，，點(diǎn)在邊上，使得．點(diǎn)在邊上，使得．設(shè)是的外接圓與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)．射線交于點(diǎn)．求的值解：二、（本小題滿分40分）由無窮多個(gè)不同的正整數(shù)組成，正實(shí)數(shù)．求證：存在無窮多個(gè)，使得．（這里表示的最小公倍數(shù)）三、（本小題滿分50分）設(shè)是的一個(gè)元子集，證明：存在的三個(gè)互不相交的子集滿足，且．四、（本小題滿分50分）設(shè)整數(shù)是非負(fù)實(shí)數(shù)．證明：2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題19第一試（時(shí)間：8:00-9:20滿分：120）一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1．隨機(jī)拋擲3顆大小、質(zhì)地相同的正方體骰子．在3顆骰子所示數(shù)字中最小值是3的概率是．解：所有骰子所示點(diǎn)數(shù)至少是3的概率為(EQ\F(4,6))3，所有骰子中所示點(diǎn)數(shù)至少是4的概率為(EQ\F(3,6))3．所以3顆骰子所示數(shù)字中最小值恰為3的概率是(EQ\F(4,6))3－(EQ\F(3,6))3＝EQ\F(37,216)．2．關(guān)于x的方程x2―2ax＋a2―4a＝0有模為3的虛數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值是．解：由題(x－a)2＝4a＜0，所以x＝a―2eq\r(－a)i，又|x|2＝a2―4a＝9，即有a―2＝±eq\r(13)，因?yàn)閍＜0，所以a＝2―eq\r(13)．3．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，且對(duì)于一切正整數(shù)n都有an(nan－an＋1)＝(n＋1)aeq\o\al(\s\up4(2),\s\do3(n＋1))，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝．解：根據(jù)an(nan－an＋1)＝(n＋1)aeq\o\al(\s\up4(2),\s\do3(n＋1))，寫出a2，a3，a4，可歸納出an＝eq\f(1,n)．也可以變形為(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan)]＝0，由an＋1＋an≠0，得(n＋1)an＋1＝nan＝…＝a1＝1，所以an＝eq\f(1,n)．4．設(shè)以F1(－1，0)、F2(1，0)為焦點(diǎn)的橢圓的離心率為e，以F1為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)是P．若eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e，則e的值為．解：在拋物線中，p＝4，準(zhǔn)線x＝－3，|PF2|是P到準(zhǔn)線的距離．橢圓中，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e，|PF2|也是P到左準(zhǔn)線的距離，則拋物線準(zhǔn)線與橢圓的準(zhǔn)線重合，所以eq\f(a2,c)＝3．因?yàn)閏＝1，故e＝eq\f(\r(3),3)．5．設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足0≤a，b≤8，且b2＝16＋a2，則b－a的最大值與最小值之和是．解：由題設(shè)可知，b2＝16＋a2，則b－a＝EQ\F(b2－a2,b＋a)＝EQ\F(16,\r(a2＋16)＋a)．記f(a)＝EQ\F(16,\r(a2＋16)＋a)，則函數(shù)f(a)單調(diào)遞減．由0≤a，b≤8，得16＋a2≤64，解得0≤a≤4eq\r(3)．所以b－a的最小值為f(4eq\r(3))＝8－4EQ\r(3)，b－a的最大值為f(0)＝4，從而b－a的最大值與最小值之和為12－4EQ\r(3)．6．函數(shù)f(x)＝2cosx＋sin2x(x∈R)的值域是．解：[f(x)]2＝(2cosx＋sin2x)2＝4cos2x(1＋sinx)2＝eq\f(4,3)(3－3sinx)(1＋sinx)3≤eq\f(4,3)×[eq\f((3－3sinx)＋(1＋sinx)＋(1＋sinx)＋(1＋sinx),4)]4＝eq\f(27,4)，當(dāng)且僅當(dāng)3－3sinx＝1＋sinx，即sinx＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．從而當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(eq\r(3),2)，f(x)取得最大值為eq\f(3eq\r(3),2)，當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝－eq\f(eq\r(3),2)，f(x)取得最小值為－eq\f(3eq\r(3),2)．所以函數(shù)f(x)＝2cosx＋sin2x(x∈R)的值域是[－eq\f(3eq\r(3),2)，eq\f(3eq\r(3),2)]．7．正四棱錐P－ABCD外接于一個(gè)半徑為1的球面，若球心到四棱錐各個(gè)面的距離相等，則此四棱錐的底面面積為．解：設(shè)四棱錐的底面邊長為a，則球心到底面的距離為EQ\r(1－EQ\F(1,2)a2)．由EQ\F(EQ\r(1－EQ\F(1,2)a2),EQ\F(a,2))＝EQ\F(EQ\F(EQ\r(,2)a,2),1＋EQ\r(1－EQ\F(1,2)a2))，解得：a2＝4eq\r(2)－4，即四棱錐的底面面積為4eq\r(2)－4．8．已知△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，∠B＝45°．若OI∥BC，則cosC的值是．解：設(shè)△ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R和r．記BC的中點(diǎn)為M，D是由I向BC所作垂線的垂足．由OI∥BC，知OM＝ID＝r．由∠BOC＝2∠A，BC＝BD＋DC＝2BM，得eq\f(r,taneq\f(B,2))＋eq\f(r,taneq\f(C,2))＝2rtanA，即eq\f(coseq\f(A,2),sineq\f(B,2)sineq\f(C,2))＝eq\f(2sinA,cosA)．所以cosA＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)sineq\f(C,2)＝－2sineq\f(A,2)(coseq\f(B＋C,2)－coseq\f(B－C,2))＝－2(sineq\f(A,2))2＋2coseq\f(B＋C,2)coseq\f(B－C,2)＝cosA－1＋(cosB＋cosC)．從而cosB＋cosC＝1．所以cosC＝1－eq\f(eq\r(2),2)．二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.設(shè)等比數(shù)列a1，a2，…，ak和b1，b2，…，bk，記cn＝an－bn，n＝1，2，…，k．（1）寫出一組a1，a2，a3和b1，b2，b3，使得c1，c2，c3是公差不為0的等差數(shù)列；（2）當(dāng)k≥4時(shí)，求證：{cn}不可能為公差不為0的等差數(shù)列．解：（1）a1＝4，a2＝8，a3＝16；b1＝1，b2＝3，b3＝9，則c1＝3，c2＝5，c3＝7．…………6分（2）設(shè)an＝apn，bn＝bqn，則cn＝apn－bqn．假設(shè){cn}是公差非0的等差數(shù)列，則由2cn＋1＝cn＋cn＋2得apn(p－1)2＝bqn(q－1)2．…………10分當(dāng)k≥4時(shí)，n可取1，2，所以有ap(p－1)2＝bq(q－1)2，ap2(p－1)2＝bq2(q－1)2．解得p＝q．于是當(dāng)p＝q≠1時(shí)，則a＝b，從而c1＝c2＝…＝ck＝0．當(dāng)p＝q＝1時(shí)，則c1＝c2＝…＝ck＝a－b．又?jǐn)?shù)列{cn}是公差不為0的等差數(shù)列，矛盾．故命題成立．…………16分10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．試問在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，都有eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))為定值．解：由題意知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3，0)．設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為：y＝k(x－3)．由eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1，,y＝k(x－3)，))得(2＋3k2)x2－18k2x＋27k2－54＝0，所以x1＋x2＝eq\f(18k2,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(27k2－54,2＋3k2)．…………5分假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)P(t，0)，使得eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))為定值，eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋k(x1－3)×k(x2－3)＝(1＋k2)x1x2－(3k2＋t)(x1＋x2)＋t2＋9k2＝(1＋k2)×eq\f(27k2－54,2＋3k2)－(3k2＋t)×eq\f(18k2,2＋3k2)＋t2＋9k2＝－eq\f(54＋(18t＋9)k2,2＋3k2)＋t2．…………10分當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)，即k變化時(shí)，要使得eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))為定值，即eq\f(54＋(18t＋9)k2,2＋3k2)為定值，則eq\f(54,2)＝eq\f(18t＋9,3)，解得t＝4．此時(shí)eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝－11．…………15分當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，A(3，2eq\r(3))，B(3，－2eq\r(3))，此時(shí)eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝(3－4，2eq\r(3))·(3－4，－2eq\r(3))＝－11．綜上所述，在x軸上存在定點(diǎn)P(4，0)，使得eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))為定值．…………20分11.設(shè)多項(xiàng)式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a、b、c是實(shí)數(shù)．若對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，有f(x＋y)≥f(x)＋f(y)．求a、b、c所滿足的條件．解：由f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，得3x2y＋3xy2－c≥－2axy，x，y≥0．（*）……5分取x＝y(tǒng)＝0代入（*），得c≤0．不妨設(shè)x＞0，y＞0，3x2y＋3xy2＋(－c)≥3EQ\r(3,3x2y·3xy2·(－c))＝－3xyEQ\r(3,9c)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝y(tǒng)0＝－EQ\r(3,EQ\F(c,3))．………………10分因此－3x0y0EQ\r(3,9c)≥－2ax0y0，從而a≥EQ\F(3,2)EQ\r(3,9c)．………………15分當(dāng)a≥EQ\F(3,2)EQ\r(3,9c)，c≤0時(shí)，x，y≥0，3x2y＋3xy2－c≥－2axy，即f(x＋y)≥f(x)＋f(y)．綜上所述，a、b、c滿足的條件是a≥EQ\F(3,2)EQ\r(3,9c)，c≤0，b∈R．………………20分2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題19加試（時(shí)間：9:40-12:10滿分：180）一、（本題滿分40分）如圖，E、F分別是△ABC，△ACD的內(nèi)心，AC平分∠BAD，AC2＝AB·AD，延長EC交△CDF的外接圓于點(diǎn)K，延長FC交△BCE的外接圓于點(diǎn)R．若RK∥EF，求證：點(diǎn)A是△BCD的外心．證明：如圖，連接ER，F(xiàn)K．因?yàn)椤螧AC＝∠CAD，AC2＝AB·AD，所以△ABC∽△ADC，∠ABC＝∠ACD．K又∠EBC＝EQ\F(1,2)∠ABC，∠ACF＝EQ\F(1,2)∠ACD，K所以∠EBC＝∠ACF.由∠EBC＝∠ERC得，∠ERC＝∠ACF，所以ER∥AC．同理FK∥AC，于是ER∥FK．…………20分又因?yàn)镽K∥EF，所以四邊形EFKR為平行四邊形，從而ER＝FK．因?yàn)镋R∥AC，所以∠REC＝∠ECA＝∠ECB．又因?yàn)椤螮BC＝∠ERC，EC＝EC，所以△BEC≌△ECR，從而BC＝ER．同理，CD＝FK，所以BC＝CD．由eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(CD,BC)＝1，得△ABC≌△ADC，于是AB＝AC＝AD，即A為△BCD外接圓的外心．…………40分二、（本題滿分40分）求所有的正整數(shù)n，使得對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，有abc(an＋bn＋cn)≤EQ\F(1,3n＋2)．解：（1）當(dāng)n≥3時(shí)，取a＝EQ\F(2,3)，b＝c＝EQ\F(1,6)，則abc(an＋bn＋cn)＝EQ\F