試驗(yàn)五連續(xù)系統(tǒng)頻域分析

實(shí)驗(yàn)五 連續(xù)系統(tǒng)頻域分析實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆障到y(tǒng)頻率響應(yīng)特性的概念及其物理意義。掌握利用MATLAB計(jì)算系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性及曲線繪制方法，理解具有不同頻率響應(yīng)特性的濾波器對(duì)信號(hào)的濾波作用。掌握利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)頻響特性分析的方法。實(shí)驗(yàn)原理及方法2.1連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)所謂頻率特性，也稱為頻率響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱頻率響應(yīng)，是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率變化的情況，包括響應(yīng)的幅度隨頻率的變化情況和響應(yīng)的相位隨頻率的變化情況兩個(gè)方面。圖5-1LTI系統(tǒng)的時(shí)域及頻域分析圖圖5-1中x(t)、y(t)分別為系統(tǒng)的時(shí)域激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)，h(t)是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，它們?nèi)咧g的關(guān)系為：y(t)x(t)*h(t)，由傅里葉變換的時(shí)域卷積定理可得到：Y(j)X(j)H(j)3.1或者：Y(j)5-1H(j))X(jH(j)為系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)模型，它實(shí)際上就是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換。即：H(j)h(t)ejtdt5-2由于H(j)實(shí)際上是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換，如果h(t)是收斂的，或者說是絕對(duì)可積的話，那么H(j)一定存在，而且H(j)通常是復(fù)數(shù)，因此，也可以表示成復(fù)數(shù)的不同表達(dá)形式。在研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)時(shí)，更多的是把它表示成極坐標(biāo)形式：H(j)H(j)ej()5-3上式中，H(j)稱為幅度頻率響應(yīng)，反映信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)后，信號(hào)各頻率分量的幅度發(fā)1生變化的情況； ( )稱為相位頻率響應(yīng)，反映信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)后，信號(hào)各頻率分量在相位上發(fā)生變化的情況。 H(j )和 ( )都是頻率 的函數(shù)。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)為H(j)，其幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為H(j)和()，如果作用于系統(tǒng)的信號(hào)為x(t)ej0t，則其響應(yīng)信號(hào)為：y(t)H(j0)ej0tH(j0)ej(0)ej0tH(j0)ej(0t(0))5-4若輸入信號(hào)為正弦信號(hào)，即 x(t)=sin( 0t)，則系統(tǒng)響應(yīng)為：y(t)H(j0)sin(0t)5-5|H(j0)|sin(0t(0))可見系統(tǒng)對(duì)某一頻率分量的影響表現(xiàn)為兩個(gè)方面， 一是信號(hào)幅度要被 H(j )加權(quán)，二是信號(hào)相位要被 ( )移相。由于H(j )和 ( )都是頻率 的函數(shù)，所以系統(tǒng)對(duì)不同的頻率分量造成的幅度和相位上的影響是不同的。2.2用MATLAB計(jì)算系統(tǒng)頻率響應(yīng)MATLAB 提供了專門對(duì)連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng) H(j )進(jìn)行分析的函數(shù) freqs()。該函數(shù)可以求出系統(tǒng)頻率響應(yīng)的數(shù)值解，并可繪出系統(tǒng)的幅頻及相頻響應(yīng)曲線。 freqs()函數(shù)有如下三種調(diào)用格式：(1)[H,w]=freqs(b,a)：b，a分別為連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)的微分方程右邊的和左邊的系數(shù)向量，返回的頻率響應(yīng)在各頻率點(diǎn)的樣點(diǎn)值 (復(fù)數(shù))存放在H中，系統(tǒng)默認(rèn)的 200個(gè)頻率點(diǎn)存放在w中。H=freqs(b,a,w)在指定的頻率范圍內(nèi)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。 在使用這種形式的函數(shù)時(shí)， 要在前面先指定頻率變量 w的范圍。例如在語句 H=freqs(b,a,w)之前加上語句：w=0:2*pi/256:2*pi;(3) [H,w] =freqs(b,a,n)調(diào)用該格式將計(jì)算默認(rèn)頻率范圍內(nèi) n個(gè)頻率點(diǎn)上系統(tǒng)頻率響應(yīng)的樣值， 并賦給返回變量H，n個(gè)頻率點(diǎn)存放在 w中。下面舉例說明調(diào)用 freqs()函數(shù)求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的方法。例5-1：理想低通濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，但傳輸特性近似于理想特性的電路卻能找到。圖5-2是常見的用RLC元件構(gòu)成的二階低通濾波器(一般說來，階數(shù)越高，實(shí)際濾波器的特性越接近于理想特性)。該電路的頻率響應(yīng)為：2H(j)UR(j)1US(j)2L(jLC)(j)1R設(shè)RL2C,L0.8H,R2，繪出該電路頻率響應(yīng)。圖5-2 RLC二階低通濾波器電路解：令截止頻率 c

13.54。LC將RL、C值代入H(j)的表達(dá)式，得：、H(j)0.08(j10.4jH(j)ej())21其中：H(j)110.0824()arctan20.08210.08當(dāng)c3.54時(shí)，H(j)1。c2實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)響應(yīng)的 MATLAB 程序如下：%Program5_1b=[1];a=[0.080.41];[H,w]=freqs(b,a,100);Hm=abs(H);phi=angle(H);subplot(211),plot(w,Hm),gridontitle('幅度響應(yīng)'),xlabel('w'),ylabel('幅度')subplot(212),plot(w,phi),gridontitle('相位響應(yīng)'),xlabel('w'),ylabel('相位(弧度)')運(yùn)行結(jié)果如圖 5-3所示：3圖5-3 RLC二階低通濾波器的幅度及相位響應(yīng)從圖5-3可見，當(dāng) 從0增大時(shí)，該低通濾波器的幅度從 1降到0，c約為3.5，而 ( )從0o降到-180o，與理論分析的結(jié)果一致。例5-2：全通網(wǎng)絡(luò)是指其系統(tǒng)函數(shù)H(j)的極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，且零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于j軸與互為鏡像對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)。它可保證不影響傳輸信號(hào)的幅頻特性，只改變信號(hào)的相頻特性。一全通網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為：H(j2j10)102j試畫出H(j)和()曲線圖。Program5_2b=[-210];a=[210];w=0:0.01:100;H=freqs(b,a,w);subplot(211)plot(w,abs(H))gridon,boxofftitle('幅度響應(yīng)')xlabel('w')ylabel('幅度')axis([010001.5])subplot(212),plot(w,angle(H))gridon,boxofftitle('相位響應(yīng)')xlabel('w')ylabel('相位(弧度)')運(yùn)行結(jié)果如圖 5-4所示：4圖5-4全通網(wǎng)絡(luò)的幅度響應(yīng)及相位響應(yīng)從圖5-4可見，當(dāng)從0增大時(shí)，H(j)的幅度響應(yīng)是一條數(shù)值為1的水平線。即對(duì)輸入信號(hào)的各頻率分量都進(jìn)行等值傳輸；而oo()從0開始下降，最終趨于-180，這種網(wǎng)絡(luò)稱為全通網(wǎng)絡(luò)，在傳輸系統(tǒng)中常用來進(jìn)行相位校正，如作為相位均衡器或移相器。例5-3：已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：H(j )

1 j1 j(1)求系統(tǒng)的幅度響應(yīng) H(j )和相位響應(yīng) ( )，并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)當(dāng)輸入為f(t)=sint+sin3t(-<t<)時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(1)因?yàn)椋篐(j)ej2tan1()所以系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為：H(j)1,()2tan1221系統(tǒng)的幅度響應(yīng)H(j)為常數(shù)，但相位響應(yīng)()不是的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：y(t)H(j1)sin(t(1))H(j3)sin(3t(3))sin(t/2)sin(3t0.7952)利用MATLAB 計(jì)算程序如下：Program5_3w=0:0.01:4*pi;t=0:0.01:4*pi;b=[-11];a=[11];5H=freqs(b,a,w); %H=(1-j*w)./(1+j*w);Hm=abs(H);phi=angle(H);x=sin(t)+sin(3*t);y=abs((1-j*1)/(1+j*1))*sin(t+angle((1-j*1)/(1+j*1)))+...abs((1-j*3)/(1+j*3))*sin(3*t+angle((1-j*3)/(1+j*3)));subplot(311),plot(w,Hm)title('幅度響應(yīng)')axis([04*pi02])subplot(312),plot(w,phi)title('相位響應(yīng)')subplot(313),plot(t,x,'r',t,y)legend('x(t)','y(t)')title('輸入和輸出波形 ')程序運(yùn)行結(jié)果如圖 5-5所示。圖5-5 系統(tǒng)頻率響應(yīng)及輸入、輸出波形從圖5-5可以看出，輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)產(chǎn)生了失真， 輸出信號(hào)的失真是由于系統(tǒng)的非線性相位引起的。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容Q5-1：給定三個(gè)連續(xù)LTI系統(tǒng)，它們的微分方程分別為：系統(tǒng)1：d2y(t)dy(t)25y(t)dx(t)(1)dt2dtdt系統(tǒng)2：dy(t)y(t)dx(t)(2)dtx(t)dt系統(tǒng)3：d6y(t)10d5y(t)48d4y(t)148d3y(t)dt6dt5dt4dt3306d2y(t)401dy(t)(3)262y(t)262x(t)dt2dt編寫程序Q5-1，計(jì)算并繪制由微分方程 (1)、(2)和(3)描述的系統(tǒng)的幅度響應(yīng)、