第5煉 函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

第5煉函數(shù)的對(duì)稱性與周期性一、基礎(chǔ)知識(shí)(一)函數(shù)的對(duì)稱性1、對(duì)定義域的要求：無論是軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)對(duì)稱2、軸對(duì)稱的等價(jià)描述：(1)f(a-x)=f(a+x)of(x)關(guān)于x二a軸對(duì)稱(當(dāng)a二0時(shí)，恰好就是偶函數(shù))在已知對(duì)稱軸的情況下，構(gòu)造形如f(a-x)=f(b+x)的等式只需注意兩點(diǎn)，一是等,a+b式兩側(cè)f前面的符號(hào)相同，且括號(hào)內(nèi)x前面的符號(hào)相反；二是a,b的取值保證x=丁為所給對(duì)稱軸即可。例如：f(x)關(guān)于x=1軸對(duì)稱nf(x)=f(2—x)，或得到f(3-x)=f(-1+x)均可，只是在求函數(shù)值方面，一側(cè)是f(x)更為方便(3)f(x+a)是偶函數(shù)，則f(x+a)=f(-x+a)，進(jìn)而可得到：f(x)關(guān)于x=a軸對(duì)稱。①要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在f(x+a)中，x僅是括號(hào)中的部分，偶函數(shù)只是指其中的x取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，即f(x+a)=f(一x+a)，要與以下的命題區(qū)分：若f(x)是偶函數(shù)，則f(x+a)=f[-(x+a)]:f(x)是偶函數(shù)中的x占據(jù)整個(gè)括號(hào),所以是指括號(hào)內(nèi)取相反數(shù)，貝9函數(shù)值相等，所以有f(x+a)=f[-(x+a)]②本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，f(x+a)是偶函數(shù)，則f(x+a)關(guān)于x=0軸對(duì)稱,而f(x)可視為f(x+a)平移了a個(gè)單位(方向由a的符號(hào)決定)，所以f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱。2、中心對(duì)稱的等價(jià)描述：(1)f(a-x)=—f(a+x)of(x)關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱(當(dāng)a二0時(shí)，恰好就是奇函數(shù))((在已知對(duì)稱中心的情況下，構(gòu)造形如f(a-x)=-f(b+x)的等式同樣需注意兩點(diǎn),Ta+b是等式兩側(cè)f和x前面的符號(hào)均相反；二是a,b的取值保證x=為所給對(duì)稱中心即可。2例如：f(x)關(guān)于(-1,0)中心對(duì)稱nf(x)=-f(-2-x)，或得到f(3-x)=-f(-5+x)均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側(cè)是f(x)更為方便(3)f(x+a)是奇函數(shù)，則f(x+a)=-f(-x+a)，進(jìn)而可得到：f(x)關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱。要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在f(x+a)中，x僅是括號(hào)中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的x取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相反，即f(x+a)=f(-x+a)，要與以下的命題區(qū)分：若f(x)是奇函數(shù)，則f(x+a)=-f_-(x+a)]：f(x)是奇函數(shù)中的x占據(jù)整個(gè)括號(hào),所以是指括號(hào)內(nèi)取相反數(shù)，貝9函數(shù)值相反，所以有f(x+a)=-f[-(x+a)]本結(jié)論也可通過圖像變換來理解，f(x+a)是奇函數(shù)，則f(x+a)關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱，而f(x)可視為f(x+a)平移了a個(gè)單位(方向由a的符號(hào)決定)，所以f(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱。4、對(duì)稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：可利用對(duì)稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖像，再利用對(duì)稱性得到另一半圖像極值點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)對(duì)稱在軸對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對(duì)稱函數(shù)中，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同(二)函數(shù)的周期性1、定義：設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)VxeD,存在一個(gè)非零常數(shù)T,有f(x+T)=f(x),則稱函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，稱T為f(x)的一個(gè)周期2、周期性的理解：可理解為間隔為T的自變量函數(shù)值相等3、若f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，則f(x+T)=f(x)，那么f(x+2T)=f(x+T)=f(x),即2T也是f(x)的一個(gè)周期，進(jìn)而可得：kT(keZ)也是f(x)的一個(gè)周期4、最小正周期：正由第3條所說，kT(keZ)也是f(x)的一個(gè)周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù)f(x)=C5、函數(shù)周期性的判定：f(x+a)=f(x+b):可得f(x)為周期函數(shù)，其周期T=|b-af(x+a)=—f(x)nf(x)的周期T=2a分析:直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個(gè)等式：f(x+2a)=-f(x+a)所以有：f(x+2a)=—f(x+a)=—(—f(x))=f(x)，即周期T=2a注：遇到此類問題，如果一個(gè)等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個(gè)等式，進(jìn)而通過兩個(gè)等式看能否得出周期1f(x+a)=帀nf(x)的周期T=2a11分析：f(x+2a)=()=—1—=f(x)f(x+a丿1f(x)f(x)+f(x+a)=k(k為常數(shù))nf(x)的周期T=2a分析：f(x)+f(x+a)=k,f(x+a)+f(x+2a)=k，兩式相減可得：f(x+2a)=f(x)f(x)?f(x+a)=k(k為常數(shù))nf(x)的周期T=2a雙對(duì)稱出周期：若一個(gè)函數(shù)f(x)存在兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系，則f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，具體情況如下：(假設(shè)b>a)若f(x)的圖像關(guān)于x=a,x=b軸對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2(b—a)分析：f(x)關(guān)于x=a軸對(duì)稱nf(一x)=f(2a+x)f(x)關(guān)于x=b軸對(duì)稱nf(一x)=f(2b+x):.f(2a+x)=f(2b+x)f(x)的周期為T=2b一2a=2(b一a)若f(x)的圖像關(guān)于(a,0),(b,0)中心對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2(b—a)若f(x)的圖像關(guān)于x=a軸對(duì)稱，且關(guān)于(b,0)中心對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=4(b-a)7、函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而利用已知條件求值圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行“復(fù)制+粘貼”單調(diào)區(qū)間：由于間隔kT(keZ)的函數(shù)圖象相同，所以若f(x)在(a,b)(b一a<T)上單調(diào)增(減)，則f(x)在(a+kT,b+kT)(keZ)上單調(diào)增(減)對(duì)稱性：如果一個(gè)周期為T的函數(shù)f(x)存在一條對(duì)稱軸x=a(或?qū)ΨQ中心)，則kTf(x)存在無數(shù)條對(duì)稱軸，其通式為x-a+2證明：???f(x)關(guān)于x-a軸對(duì)稱f(x)-f(2a一x)函數(shù)f(x)的周期為T.f(x+kT)-f(x)kTf(x+kT)-f(2a一x)f(x)關(guān)于x-a+—軸對(duì)稱2注：其中(3)(4)在三角函數(shù)中應(yīng)用廣泛，可作為檢驗(yàn)答案的方法二、典型例題：例1：設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)-—f(x)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)-x，則f(7.5)-

(1例(1例2：定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x)，當(dāng)xe[0,2)時(shí)，f(x)=-|-3x一「21，=(1A.-1A.-41C.-—2D.-4例3：定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意xgR，都有f(x+2)=牡,f(2)=1，則TOC\o"1-5"\h\z1+f(x)4f(2016)等于(1A.-1A.-41B.-2C.D.-35()()[log(1—x),x<0例4(2009山東)：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=^f(；1)f(x2)x>°，則f(2009)的值為()A.-1B.A.-1B.0C.1D.2例5：函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)xg［0,2］時(shí)，f(x)=log(x+1)-1，則不等2式xf(x)>0在［-1,3］上的解集為.例6：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x)+f(-x)=0,f(x-1)=f(x+1)，當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)=-x2+x,貝y函數(shù)f(x)的最小值為(TOC\o"1-5"\h\z1111A.B.—C.—D.—4422例7：已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(一x)=-f(x+4)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+8)

上單調(diào)遞增，如果x<2<x，且xi+x2<4，則fWkf(x2)的值(例9：已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)在[o,7]上有1和6兩個(gè)零點(diǎn)，且y=f(x+2)與y=f(x+7)都是偶函數(shù)，則y=f(x)在[o,2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有()個(gè)B.恒大于0A.可正可負(fù)例8B.恒大于0A.可正可負(fù)例8函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)C.可能為0D.，則(恒小于0A.fA.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是奇函數(shù)C.fC.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函數(shù)A.404B.804C.806D.402例10：設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g(x)=f(x)—2x在區(qū)間[2,3]上的值域?yàn)閇—2,6]，則函數(shù)g(x)在[—12,12]上的值域?yàn)?)A.[—2,6]B.[—20,34]C.[—22,32]d.[-24,28〕三、近年模擬題題目精選1、已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且滿足f(x+1)+f(x)=3，當(dāng)xe[—1,0〕時(shí)，f(x)=2+x，則f(—2007.5)的值為()A．0.5B．1.5C．—1.5D．12、設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x+兀)=f(x)+sinx,當(dāng)xe[0,兀)時(shí)，f(x)=0，(23n61A.-21A.-2B.C.0D.3、設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)xe[—1,1)時(shí)f(x)=—4x2+2,—1f(x)=x,0<x<14、設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，貝y下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.f(x)g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)5、已知f(x+1)=f(x—1),f(x)=f(—x+2)，方程f(x)=0在［0,1］內(nèi)有且只有一個(gè)2，則f(x)在區(qū)間［0,2014］內(nèi)根的個(gè)數(shù)為()A.1006B.1007A.1006B.1007C.2013D.20146、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(-x)=—f(x),f(1+x)=f(1—x)，當(dāng)xg[-1,1]時(shí)，f(x