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2021-2022學(xué)年湖南省婁底市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2
2.二元函數(shù)z=x3-y3+3x2+3y2-9x的極小值點(diǎn)為()
A.(1,0)B.(1,2)C.(-3,0)D.(-3,2)
3.
4.
5.設(shè)x2是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f(x)=A.A.2x
B.x3
C.(1/3)x3+C
D.3x3+C
6.對(duì)于微分方程y"-2y'+y=xex,利用待定系數(shù)法求其特解y*時(shí),下列特解設(shè)法正確的是()。A.y*=(Ax+B)ex
B.y*=x(Ax+B)ex
C.y*=Ax3ex
D.y*=x2(Ax+B)ex
7.剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形,如在其四個(gè)頂點(diǎn)作用四個(gè)力,此四個(gè)邊恰好組成封閉的力多邊形。則()
A.力系平衡
B.力系有合力
C.力系的合力偶矩等于平行四邊形ABCD的面積
D.力系的合力偶矩等于負(fù)的平行四邊形ABCD的面積的2倍
8.當(dāng)x→0時(shí),x是ln(1+x2)的
A.高階無窮小B.同階但不等價(jià)無窮小C.等價(jià)無窮小D.低階無窮小9.()。A.收斂且和為0
B.收斂且和為α
C.收斂且和為α-α1
D.發(fā)散
10.().A.A.單調(diào)增加且為凹B.單調(diào)增加且為凸C.單調(diào)減少且為凹D.單調(diào)減少且為凸
11.
12.當(dāng)x→0時(shí),3x是x的().
A.高階無窮小量B.等價(jià)無窮小量C.同階無窮小量,但不是等價(jià)無窮小量D.低階無窮小量
13.
14.
15.
16.
17.下列命題中正確的有()A.A.
B.
C.
D.
18.
A.
B.1
C.2
D.+∞
19.
20.設(shè)y=cos4x,則dy=()。A.
B.
C.
D.
二、填空題(20題)21.若f'(x0)=1,f(x0)=0,則
22.
23.
24.
25.
26.∫(x2-1)dx=________。
27.
28.
29.
30.過點(diǎn)M0(1,2,-1)且與平面x-y+3z+1=0垂直的直線方程為_________。
31.
32.
33.
34.
35.36.37.
38.
39.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為______.
40.三、計(jì)算題(20題)41.證明:42.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù).43.44.45.求微分方程的通解.46.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
47.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
48.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.
49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
50.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.51.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.52.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).53.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量,則
54.
55.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.56.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.57.58.
59.
60.
四、解答題(10題)61.
62.
63.
64.求曲線y=x2、直線y=2-x與x軸所圍成的平面圖形的面積A及該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy。
65.
66.67.
68.
69.
70.
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.由曲線y=ex,y=e及y軸圍成的圖形的面積。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.A
2.A對(duì)于點(diǎn)(-3,0),A=-18+6=-12,B=0,C=6,B2-AC=72>0,故此點(diǎn)為非極值點(diǎn).對(duì)于點(diǎn)(-3,2),A=-12,B=0,C=-12+6=-6,B2-AC=-72<0,故此點(diǎn)為極大值點(diǎn).對(duì)于點(diǎn)(1,0),A=12,B=0,C=6,B2-AC=-72<0,故此點(diǎn)為極小值點(diǎn).對(duì)于點(diǎn)(1,2),A=12=0,C=-6,B2-AC=72>0,故此點(diǎn)為非極值點(diǎn).
3.D
4.B
5.A由于x2為f(x)的一個(gè)原函數(shù),由原函數(shù)的定義可知f(x)=(x2)'=2x,故選A。
6.D特征方程為r2-2r+1=0,特征根為r=1(二重根),f(x)=xex,α=1為特征根,因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex,因此選D。
7.D
8.D解析:
9.C
10.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性和利用二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定曲線的凹凸性.
11.C解析:
12.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無窮小量階的比較.
應(yīng)依定義考察
由此可知,當(dāng)x→0時(shí),3x是x的同階無窮小量,但不是等價(jià)無窮小量,故知應(yīng)選C.
本題應(yīng)明確的是:考察當(dāng)x→x0時(shí)無窮小量β與無窮小量α的階的關(guān)系時(shí),要判定極限
這里是以α為“基本量”,考生要特別注意此點(diǎn),才能避免錯(cuò)誤.
13.D
14.B解析:
15.B
16.C解析:
17.B
18.C
19.D解析:
20.B21.-1
22.
23.24.3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5).
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為平面與直線的方程.
由題設(shè)條件可知應(yīng)該利用點(diǎn)法式方程來確定所求平面方程.
所給直線z的方向向量s=(3,-1,1).若所求平面π垂直于直線1,則平面π的法向量n∥s,不妨取n=s=(3,-1,1).則由平面的點(diǎn)法式方程可知
3(x-1)-[y-(-2)]+(z-0)=0,
即3(x-1)-(y+2)+z=0
為所求平面方程.
或?qū)憺?x-y+z-5=0.
上述兩個(gè)結(jié)果都正確,前者3(x-1)-(y+2)+z=0稱為平面的點(diǎn)法式方程,而后者3x-y+z-5=0
稱為平面的-般式方程.
25.eab
26.
27.(1+x)ex(1+x)ex
解析:
28.
29.1
30.
31.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的湊微分法.
32.
33.[-11]
34.
35.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分運(yùn)算.
36.
37.e-2本題考查了函數(shù)的極限的知識(shí)點(diǎn),
38.3e3x3e3x
解析:
39.
;
40.tanθ-cotθ+C
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%48.由二重積分物理意義知
49.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
50.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
51.
52.
列表:
說明
53.由等價(jià)無窮小量的定義可知
54.55.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0)
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