(挑戰(zhàn))中考數(shù)學壓軸題精講特訓-由面積產(chǎn)生的函數(shù)關系問題(含試題-含詳解)VIP

(挑戰(zhàn))中考數(shù)學壓軸題精講特訓-由面積產(chǎn)生的函數(shù)關系問題(含試題-含詳解)LtDPAGE由面積產(chǎn)生的函數(shù)關系問題例12013年菏澤市中考第21題如圖1，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數(shù)的圖像與y軸、x軸的交點，點B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．（1）試求b、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式；（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：①當P運動到何處時，由PQ⊥AC？②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最??？此時四邊形PDCQ的面積是多少？圖1動感體驗．考點伸展如果把第（2）①題改為“當P運動到何處時，△APQ是直角三角形？”除了PQ⊥AC這種情況，還有QP⊥AD的情況．這時，所以．解得（如圖4所示）．圖4例22012年廣東省中考第22題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，聯(lián)結(jié)BC、AC．（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作BC的平行線交AC于點D．設AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE，求△CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留π）．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12廣東22”，拖動點E由A向B運動，觀察圖象，可以體驗到，△ADE的面積隨m的增大而增大，△CDE的面積隨m變化的圖象是開口向下的拋物線的一部分，E在AB的中點時，△CDE的面積最大．思路點撥1．△ADE與△ACB相似，面積比等于對應邊的比的平方．2．△CDE與△ADE是同高三角形，面積比等于對應底邊的比．滿分解答（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9．（2）如圖2，因為DE//CB，所以△ADE∽△ACB．所以．而，AE＝m，所以．m的取值范圍是0＜m＜9．圖2圖3（3）如圖2，因為DE//CB，所以．因為△CDE與△ADE是同高三角形，所以．所以．當時，△CDE的面積最大，最大值為．此時E是AB的中點，．如圖3，作EH⊥CB，垂足為H．在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．在Rt△BEH中，．當⊙E與BC相切時，．所以．考點伸展在本題中，△CDE與△BEC能否相似？如圖2，雖然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE與△BEC不能相似．例32012年河北省中考第26題如圖1，圖2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．探究如圖1，AH⊥BC于點H，則AH＝_____，AC＝______，△ABC的面積S△ABC＝________．拓展如圖2，點D在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F．設BD＝x，AE＝m，CF＝n．（當點D與點A重合時，我們認為S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)與x的函數(shù)關系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍．發(fā)現(xiàn)請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個最小值．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“12河北26”，拖動點D由A向C運動，觀察(m＋n)隨x變化的圖象，可以體驗到，D到達G之前，(m＋n)的值越來越大；D經(jīng)過G之后，(m＋n)的值越來越?。^察圓與線段AC的交點情況，可以體驗到，當D運動到G時（如圖3），或者點A在圓的內(nèi)部時（如圖4），圓與線段AC只有唯一的交點D．圖3圖4答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝，S△CBD＝．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．由于AC邊上的高，所以x的取值范圍是≤x≤14．所以(m＋n)的最大值為15，最小值為12．（3）x的取值范圍是x＝或13＜x≤14．發(fā)現(xiàn)A、B、C三點到直線AC的距離之和最小，最小值為．例42011年淮安市中考第28題如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P在AB上，AP＝2．點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設E、F運動的時間為t秒(t＞0)，正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．（1）當t＝1時，正方形EFGH的邊長是________；當t＝3時，正方形EFGH的邊長是________；（2）當1＜t≤2時，求S與t的函數(shù)關系式；（3）直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11淮安28”，拖動點F由P向B運動，可以體驗到，點E在向A運動時，正方形EFGH越來越大，重疊部分的形狀依次為正方形、五邊形、直角梯形；點E折返以后，正方形EFGH的邊長為定值4，重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、六邊形、五邊形．在整個運動過程中，S的最大值在六邊形這個時段．請打開超級畫板文件名“11淮安28”，拖動點F由P向B運動，可以體驗到，點E在向A運動時，正方形EFGH越來越大，重疊部分的形狀依次為正方形、五邊形、直角梯形；點E折返以后，正方形EFGH的邊長為定值4，重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、六邊形、五邊形．在整個運動過程中，S的最大值在六邊形這個時段．思路點撥1．全程運動時間為8秒，最好的建議就是在每秒鐘選擇一個位置畫8個圖形，這叫做磨刀不誤砍柴工．2．這道題目的運算太繁瑣了，如果你的思路是對的，就堅定地、仔細地運算，否則放棄也是一種好的選擇．滿分解答（1）當t＝1時，EF＝2；當t＝3時，EF＝4．（2）①如圖1，當時，．所以．②如圖2，當時，，，．于是，．所以．③如圖3，當時，，，．所以．圖2圖3圖4（3）如圖4，圖5，圖6，圖7，重疊部分的最大面積是圖6所示的六邊形EFNDQN，S的最大值為，此時．圖5圖6圖7考點伸展第（2）題中t的臨界時刻是這樣求的：如圖8，當H落在AC上時，，，由，得．如圖9，當G落在AC上時，，，由，得．圖8圖9例52011年山西省中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形．直線l經(jīng)過O、C兩點，點A的坐標為(8，0)，點B的坐標為(11，4)，動點P在線段OA上從O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線O—C—B相交于點M．當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．（1）點C的坐標為____________，直線l的解析式為____________；（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍．（3）試求題（2）中當t為何值時，S的值最大？最大值是多少？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11山西26”，拖動點P由O向A運動，可以體驗到，點Q先到達終點．從S隨t變化的跟蹤軌跡可以看到，整個運動過程中，S隨t變化的圖象是“N”字型，由四段組成．請打開超級畫板文件名“11山西26”，拖動點P由O向A運動，可以體驗到，點Q先到達終點．點擊按鈕“函數(shù)表達式”，S隨t先增大后減少。當t=2.67時，S=14.22.思路點撥1．用含有t的式子表示線段的長，是解題的關鍵．2．第（2）題求S與t的函數(shù)關系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情況．3．第（2）題建立在第（2）題的基礎上，應用性質(zhì)判斷圖象的最高點，運算比較繁瑣．滿分解答（1）點C的坐標為(3，4)，直線l的解析式為．（2）①當M在OC上，Q在AB上時，．在Rt△OPM中，OP＝t，，所以．在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以．于是．因此．②當M在OC上，Q在BC上時，．因為，所以．因此．③當M、Q相遇時，根據(jù)P、Q的路程和，解得．因此當M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，．所以．圖2圖3圖4（3）①當時，．因為拋物線開口向上，在對稱軸右側(cè)，S隨t的增大而增大，所以當時，S最大，最大值為．②當時，．因為拋物線開口向下，所以當時，S最大，最大值為．③當時，．因為S隨t的增大而減小，所以當時，S最大，最大值為14．綜上所述，當時，S最大，最大值為．考點伸展第（2）題中，M、Q從相遇到運動結(jié)束，S關于t的函數(shù)關系式是怎樣的？此時，．因此．圖5例62011年重慶市中考第26題如圖1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP＝3．一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設運動的時間為t秒（t≥0）．（1）當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍；（3）設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11重慶26”，拖動點A由P向A運動，可以體驗到，重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、等腰梯形和等邊三角形，S隨t變化的圖象分為四段；觀察△AOH的形狀，可以體驗到，△AOH有5個時刻成為等腰三角形．請打開超級畫板文件名“11重慶26”，拖動點t，當t＝1時，F(xiàn)G恰好經(jīng)過點C。重疊部分的形狀依次為直角梯形、五邊形、等腰梯形和等邊三角形，這說明S隨t變化的圖象需要分四段進行分析；觀察△AOH的形狀，可以體驗到，△AOH有5個時刻成為等腰三角形．思路點撥1．運動全程6秒鐘，每秒鐘選擇一個點F畫對應的等邊三角形EFG，思路和思想以及分類的標準盡在圖形中．2．用t表示OE、AE、EF、AH的長，都和點E折返前后相關，分兩種情況．3．探求等腰三角形AOH，先按頂點分三種情況，再按點E折返前后分兩種情況．4．本題運算量很大，多用到1∶2∶，注意對應關系不要錯亂．滿分解答（1）在Rt△ABC中，，所以∠BAC＝30°．如圖2，當?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=，所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，運動時間t＝1．圖2（2）①如圖3，當0≤t＜1時，重疊部分為直角梯形BCNE，．②如圖4，當1≤t＜3時，重疊部分為五邊形BQMNE，．③如圖5，當3≤t＜4時，重疊部分為梯形FMNE，．④如圖6，當4≤t＜6時，重疊部分為等邊三角形EFG，．圖3圖4圖5（3）等腰△AOH分三種情況：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO．在△AOH中，∠A＝30°為定值，AO＝3為定值，AH是變化的．△AEH的形狀保持不變，AH＝AE．當E由O向A運動時，AE＝3－t；當E經(jīng)A折返后，