高三數(shù)學寒假作業(yè)13

高三數(shù)學寒假作業(yè)13一、單項選擇題1．已知集合A＝{x|x-1x-2≤0}，B＝{y|y=4-x2A．? B．（﹣∞，2] C．[1，2） D．[0，2]2．復數(shù)z滿足|z+3+4i|＝2，則z?zA．7 B．49 C．9 D．813．加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學生的體重（單位：kg）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2，3≈A．63 B．69 C．75 D．814．若α、β∈[-π2，π2]，且αsinα﹣βA．α＞β B．α+β＞0 C．α＜β D．α2＞β25．方艙醫(yī)院的創(chuàng)設(shè)，在抗擊新冠肺炎疫情中發(fā)揮了不可替代的重要作用．某方艙醫(yī)院醫(yī)療小組有七名護士，每名護士從周一到周日輪流安排一個夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚兩天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中間，則周五值夜班的護士為（）A．甲 B．丙 C．戊 D．庚6．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線交于A，B兩點，過A作拋物線準線的垂線，垂足為M，∠MAF的角平分線與拋物線的準線交于點P，線段AB的中點為Q．若|AB|＝8，則|PQ|＝（）A．2 B．4 C．6 D．87．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，被世界公認為組合數(shù)學的鼻祖，它是中華民族對人類的偉大貢獻之一．在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有圖1：“以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)”，這就是最早的三階幻方，按照上述說法，將1到9這九個數(shù)字，填在如圖2所示的九宮格里，九宮格的中間填5，四個角填偶數(shù)，其余位置填奇數(shù)．則每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15的概率是（）A．13 B．16 C．1728．已知直線y＝ax+b（b＞0）與曲線y＝x3有且只有兩個公共點A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，則2x1+x2＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．a(chǎn)二、多項選擇題9．已知點F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，AB，CD是經(jīng)過點F的弦且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k＞0，C，A兩點在x軸上方．則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．1|AB|B．若|AF|?|BF|=43p2，則kC．OA→D．四邊形ABCD面積最小值為16p210．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點（點P不與點C，C1重合），過點P作平面α分別與棱BC，CD交于M，N兩點，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面α B．存在點P，使得AC1∥平面α C．存在點P，使得點A1到平面α的距離為53D．用過P，M，D1三點的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形11．已知函數(shù)f（x）＝sin（cosx）﹣cos（sinx），x∈R，則（）A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）為周期函數(shù)，且最小正周期為2π C．f（x）＜0恒成立 D．f（x）的最小值為-12．已知二次方程的韋達定理，推廣到實系數(shù)三次方程Ax3+Bx2+Cx+D＝0也成立，即x1+x2+x3=-BAx1x2+A．a(chǎn)＜0 B．1＜b＜3 C．3＜c＜4 D．（b﹣5）（c﹣5）的最小值是15三、填空題：13．已知函數(shù)y＝|sinx|的圖象與直線y＝m（x+2）（m＞0）恰有四個公共點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，則2+x414．若函數(shù)f（x）＝ln（ex﹣1+e1﹣x）﹣2與g(x)=sinπx2圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則i=1mx15．已知函數(shù)f（x）＝ex（x+1）2，令f1（x）＝f'（x），fn+1（x）＝f'n（x），若fn（x）＝ex（anx2+bnx+cn），記數(shù)列{2an2cn-bn}的前n項和為Sn，求S2019的近似值．有四位同學做出了4個不同答案：216．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝6，點E在棱AB上，BE＝2AE，動點P滿足BP=3PE．若點P在平面ABCD內(nèi)運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為；若點P在長方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)部運動，F(xiàn)為棱C1D1的中點，M為CP的中點，則三棱錐M﹣B1CF的體積的最小值為四、解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．若數(shù)列{an}滿足an+12﹣an2＝p（n∈N+，p為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為等方差數(shù)列，p為公方差．（1）已知數(shù)列{cn}，{dn}，{xn}，{yn}分別滿足cn＝2020，dn=n+1，xn＝2n+1，yn＝3n（2）若數(shù)列{an}是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，求數(shù)列{an2}的前n項和Sn．18．如圖，平面四邊形ABCD，點B，C，D均在半徑為533的圓上，且∠BCD（1）求BD的長度；（2）若AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，求△ABD的面積．19．如圖1，平面四邊形ABCD中，AB＝AC=2，AB⊥AC，AC⊥CD，E為BC的中點，將△ACD沿對角線AC折起，使CD⊥BC，連接BD，得到如圖2所示的三棱錐D﹣ABC．（1）證明：平面ADE⊥平面BCD；（2）已知直線DE與平面ABC所成的角為π4，求二面角A﹣BD﹣C高三數(shù)學寒假作業(yè)13（答案解析）一、單項選擇題1．已知集合A＝{x|x-1x-2≤0}，B＝{y|y=4-x2A．? B．（﹣∞，2] C．[1，2） D．[0，2]【解答】解：∵A＝{x|1≤x＜2}，B＝{y|0≤y≤2}，∴A∩B＝[1，2）．故選：C．2．復數(shù)z滿足|z+3+4i|＝2，則z?zA．7 B．49 C．9 D．81【解答】解：令z＝x+yi，由|z+3+4i|＝2，得（x+3）2+（y+4）2＝4，∴z?z∵圓（x+3）2+（y+4）2＝4的圓心（﹣3，﹣4）到原點的距離為5，半徑為2，∴z?z的最大值為（2+5）2故選：B．3．加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分．某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學生的體重（單位：kg）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2，3≈A．63 B．69 C．75 D．81【解答】解：由題意知，F(xiàn)1→=所以G→即G→=-（所以G→2=(F1→|G→|＝4003（N則該學生的體重（單位：kg）約為403=40×1.732≈69（kg故選：B．4．若α、β∈[-π2，π2]，且αsinα﹣βA．α＞β B．α+β＞0 C．α＜β D．α2＞β2【解答】解：y＝xsinx是偶函數(shù)且在（0，π2∵α、β∈[-π∴αsinα，βsinβ皆為非負數(shù)，∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故選：D．5．方艙醫(yī)院的創(chuàng)設(shè)，在抗擊新冠肺炎疫情中發(fā)揮了不可替代的重要作用．某方艙醫(yī)院醫(yī)療小組有七名護士，每名護士從周一到周日輪流安排一個夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚兩天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中間，則周五值夜班的護士為（）A．甲 B．丙 C．戊 D．庚【解答】解：因為己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中間，所以乙可能在星期一，二，三，五，六，日．因為乙的夜班比庚早三天，所以乙可能在星期二，三，如果乙在星期三，則庚在周六，且丙在周五，庚比丙晚一天，但與甲的夜班比丙晚一天矛盾，則乙在周二，庚在周五，故選：D．6．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線交于A，B兩點，過A作拋物線準線的垂線，垂足為M，∠MAF的角平分線與拋物線的準線交于點P，線段AB的中點為Q．若|AB|＝8，則|PQ|＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由題意，拋物線y2＝4x的焦點為F（1，0），畫出圖形，可知PF⊥AB，AM＝AF，設(shè)AB：y＝k（x﹣1）與拋物線方程聯(lián)立，可得可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2=2k2+4k2線段AB的中點為Q．若|AB|＝8，x1+x2+p＝8，即2k2+4k2+2＝8，解得k＝±1，所以中點PF：y＝﹣x+1，與x＝﹣1的解得P（﹣1，2），所以PQ＝4．故選：B．7．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，被世界公認為組合數(shù)學的鼻祖，它是中華民族對人類的偉大貢獻之一．在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有圖1：“以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)”，這就是最早的三階幻方，按照上述說法，將1到9這九個數(shù)字，填在如圖2所示的九宮格里，九宮格的中間填5，四個角填偶數(shù)，其余位置填奇數(shù)．則每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15的概率是（）A．13 B．16 C．172【解答】解：九宮格的中間填5，四個角填偶數(shù)，其余位置填奇數(shù)，基本事件總數(shù)n=A每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15；必須滿足1和9對著即占④⑧或②⑥，2和8對角對著即占①⑤或③⑦，4和6對角對著即占①⑤或③⑦，3和7對著即占④⑧或②⑥；先讓1去挑位置，有②④⑥⑧4種選擇，9隨之確定；．然后讓8去挑位置，比如1挑⑧，則8只能占①或⑦，有2種選擇，其余隨之確定；故符合條件的共有：4×2＝8種；故所求概率為：8576故選：C．8．已知直線y＝ax+b（b＞0）與曲線y＝x3有且只有兩個公共點A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，則2x1+x2＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．a(chǎn)【解答】解：直線y＝ax+b（b＞0）與曲線y＝x3有且只有兩個公共點，即為b＝x3﹣ax有兩個根，即函數(shù)y＝x3﹣ax與y＝b恰有兩個交點時滿足題意．做出兩個函數(shù)圖象：可知，x1是極大值點時滿足題意．∵y′＝3x2﹣a，∴3x又∵b=x∴x1∴(x1-x2)(x12+x1x2∴a=x∴2x∴（2x1+x2）（x1﹣x2）＝0．∴2x1+x2＝0．故選：B．二、多項選擇題9．已知點F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，AB，CD是經(jīng)過點F的弦且AB⊥CD，AB的斜率為k，且k＞0，C，A兩點在x軸上方．則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．1|AB|B．若|AF|?|BF|=43p2，則kC．OA→D．四邊形ABCD面積最小值為16p2【解答】解：AB的斜率為k，傾斜角為θ，則有|AB|=2psin2θ，|CD|AF|=p1-cosθ，|BF|=p1+cosθ，|AF|?|則θ=π3，k=3OA→?OBSABCD=12|AB||CD|=2p2sin2故選：AC．10．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點（點P不與點C，C1重合），過點P作平面α分別與棱BC，CD交于M，N兩點，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面α B．存在點P，使得AC1∥平面α C．存在點P，使得點A1到平面α的距離為53D．用過P，M，D1三點的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【解答】解：連接AD1，D1P，AM．DB．易得AD1∥PM，CC1∥PM，C1D∥PN，DB∥MN．對于A，可得正方體中A1C⊥面DBC1，即可得A1C⊥平面α，故A正確．對于B，可得面C1DB∥面PMN，故AC1不可能平行面PMN．故錯．對于C，∵A1C⊥平面α，且A1C=3＞53，所以存在點P，使得點A1到平面對于D，用過P，M，D1三點的平面去截正方體，得到的截面是四邊形PMAD1，PM≠AD1，四邊形PMAD1一定是梯形，故正確．故選：ACD．11．已知函數(shù)f（x）＝sin（cosx）﹣cos（sinx），x∈R，則（）A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）為周期函數(shù)，且最小正周期為2π C．f（x）＜0恒成立 D．f（x）的最小值為-【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（cosx）﹣cos（sinx）的定義域為R，f（﹣x）＝sin（cos（﹣x））﹣cos（sin（﹣x））＝sin（cosx）﹣cos（﹣sinx）＝sin（cosx）﹣cos（sinx）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故A正確；由f（x+2π）＝sin（cos（x+2π））﹣cos（sin（x+2π））＝sin（cosx）﹣cos（sinx）＝f（x），可得f（x）為周期為2π的函數(shù)，又f（x+π）＝sin（cos（x+π））﹣cos（sin（x+π））＝sin（﹣cosx）﹣cos（﹣sinx）＝﹣sin（cosx）﹣cos（sinx）≠f（x），則π不是f（x）的周期，同理可得3π2也不是f（x）的周期，故B當x∈（0，π）時，sinx∈（0，1]，cosx∈（﹣1，0），π2-sinx∈[π2cosx+sinx=2sin（x+π4）≤2＜π又cos（sinx）＝sin（π2-sinx），y＝sinx在（-π可得sin（cosx）﹣sin（π2-sinx）＜0，即f（x）＜0，故當x＝﹣π時，可得f（﹣π）＝﹣sin1﹣1，∵﹣sin1＜﹣sinπ∴﹣sin1﹣1＜-故D不正確．故選：ABC．12．已知二次方程的韋達定理，推廣到實系數(shù)三次方程Ax3+Bx2+Cx+D＝0也成立，即x1+x2+x3=-BAx1x2+A．a(chǎn)＜0 B．1＜b＜3 C．3＜c＜4 D．（b﹣5）（c﹣5）的最小值是15【解答】解：構(gòu)造函數(shù)f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）＝x3﹣6x2+9x﹣abc，則f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），易得，當x＞3，或x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當1＜x＜3時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，因為a，b，c為函數(shù)的三個零點，可得出f（x）極小值＝f（3）＝f（0）＜0，f（x）極大值＝f（1）＝f（4）＞0，由函數(shù)的零點判定定理可知，0＜a＜1，1＜b＜3，3＜c＜4，故A錯誤，B，C正確，由題中條件得出b+c＝6﹣a，bc＝9﹣a（6﹣a）＝（a﹣3）2，代入（b﹣5）（c﹣5）＝bc﹣5（b+c）+25，＝（a﹣3）2﹣5（6﹣a）+25，＝a2﹣a+4，a∈（0，1），當a=12時，（b﹣5）（c﹣5）取得最小值154故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知函數(shù)y＝|sinx|的圖象與直線y＝m（x+2）（m＞0）恰有四個公共點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，則2+x4【解答】解：由題意畫出圖象如下：根據(jù)題意，很明顯，在D點處，直線與函數(shù)y＝|sinx|的圖象相切，D點即為切點．則有，在點D處，y＝﹣sinx，y′＝﹣cosx．而﹣cosx4＝m，且y4＝m（x4+2）＝﹣sinx4，∴x4+2=-sinx4m∴x4故答案為：1．14．若函數(shù)f（x）＝ln（ex﹣1+e1﹣x）﹣2與g(x)=sinπx2圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則i=1mx【解答】解：函數(shù)f（x）＝ln（ex﹣1+e1﹣x）﹣2關(guān)于直線x＝1對稱滿足f（x）＝f（2﹣x），g（x）＝sinπx2也關(guān)于直線x當x＞1時，f（x）單調(diào)遞增，f（1）＝ln2﹣2，f（4）＝ln（e3+e﹣3）﹣2＞1，如圖，兩個函數(shù)圖象只有兩個交點，所以i=1m故答案為：2．15．已知函數(shù)f（x）＝ex（x+1）2，令f1（x）＝f'（x），fn+1（x）＝f'n（x），若fn（x）＝ex（anx2+bnx+cn），記數(shù)列{2an2cn-bn}的前n項和為Sn，求S2019的近似值．有四位同學做出了4個不同答案：23，1，【解答】解：∵f（x）＝ex（x+1）2，∴f1(x)=ex(…fn∵fn（x）＝ex（anx2+bnx+cn），∴an＝1，bn＝2（n+1），cn＝n（n+l）+1．∴2a則S2019＜∴與S2019的值最接近的是3216．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝6，點E在棱AB上，BE＝2AE，動點P滿足BP=3PE．若點P在平面ABCD內(nèi)運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為23；若點P在長方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)部運動，F(xiàn)為棱C1D1的中點，M為CP的中點，則三棱錐M﹣B1CF的體積的最小值為94【解答】解：①若點P在平面ABCD內(nèi)運動時，如圖以A為原點距離平面直角坐標系，可得E（2，0），B（6，0）．設(shè)P（x，y），由BP=3PE可得BP2＝3PE2即3（x﹣2）2+3y2＝（x﹣6）2+y2，?x2+y2＝12．則點P所形成的阿氏圓的半徑為23，圓心為A，②若點P在長方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)部運動，由①可得點P在半徑為23，球心為A球上．如圖建立空間直角坐標系，可得A（3，0，0），F(xiàn)（0，3，3），C（0，6，0），B1（3，6，3）則FC→=(0，3，-3)，設(shè)面FB1C的法向量為m→m→?FCA到面FCB1的距離為d=|∵則P到面FCB1的距離的最小值為33-23∵M為CP的中點，∴M到面FCB1的距離的最小值為32則三棱錐M﹣B1CF的體積的最小值為13故答案為：23，94四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）若數(shù)列{an}滿足an+12﹣an2＝p（n∈N+，p為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為等方差數(shù)列，p為公方差．（1）已知數(shù)列{cn}，{dn}，{xn}，{yn}分別滿足cn＝2020，dn=n+1，xn＝2n+1，yn＝3n（2）若數(shù)列{an}是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，求數(shù)列{an2}的前n項和Sn．【解答】解：（1）由等方差數(shù)的定義可得：{cn}，{dn}為等方差數(shù)列．（2）數(shù)列{an}是首項為1，公方差為