第八章 8.6.3-高中數(shù)學(xué)資料

8.6.3平面與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的平面角.2.掌握兩個(gè)平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理，并能利用面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一二面角的概念1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.2.相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱；(2)兩個(gè)半平面叫做二面角的面.3.畫(huà)法：4.記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)畫(huà)法：(3)記作：α⊥β.2.平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)三平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語(yǔ)言1.組成二面角的平面角的兩邊所在直線所確定的平面與二面角的棱垂直.(√)2.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，則α⊥β.(√)3.若平面α⊥平面β，任取直線l?α，則必有l(wèi)⊥β.(×)4.若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則該直線也垂直于另一平面.(√)一、二面角的求法例1如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.解由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.反思感悟在二面角棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，即兩射線夾角為所求二面角的平面角.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小為_(kāi)_______.②二面角A′－AB－D的大小為_(kāi)_______.答案①45°②90°解析①在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小為45°.②因?yàn)锳B⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD為二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小為90°.二、平面與平面垂直的判定例2在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.證明∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.反思感悟證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直.跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.證明作SH⊥AC交AC于點(diǎn)H，連接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABC中，H是AC的中點(diǎn)，∴BH＝eq\f(1,2)AC＝AH，又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，又AC∩BH＝H，AC，BH?平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH?平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.三、平面與平面垂直的性質(zhì)定理例3如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問(wèn)題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直；(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.跟蹤訓(xùn)練3如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M，AC⊥BC.求證：AM⊥平面EBC.證明∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四邊形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，BC，EC?平面EBC，∴AM⊥平面EBC.1.已知l⊥α，則過(guò)l與α垂直的平面()A.有1個(gè)B.有2個(gè)C.有無(wú)數(shù)個(gè)D.不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知，凡過(guò)l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無(wú)數(shù)個(gè).2.對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n?αC.m∥n，n⊥β，m?αD.m∥n，m⊥α，n⊥β答案C解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.3.從空間一點(diǎn)P向二面角α－l－β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α－l－β的平面角的大小是()A.60° B.120°C.60°或120° D.不確定答案C解析∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F(xiàn)三點(diǎn)確定的平面垂直于α和β.過(guò)點(diǎn)E作l的垂線，垂足為O，連接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則∠FOE為二面角的平面角，如圖①所示，此時(shí)，∠FOE＋∠EPF＝180°，∴二面角α－l－β的平面角為120°.當(dāng)點(diǎn)P的位置如圖②所示時(shí)，此時(shí)∠FOE＝∠EPF，∴二面角α－l－β的平面角為60°.4.下列命題正確的是()A.平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥βB.若直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行，則m∥αC.若平面α⊥β，且α∩β＝l，則過(guò)α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線垂直于平面βD.若直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則不能說(shuō)一定有a⊥α答案D解析A項(xiàng)，平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，則α⊥β，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行，也可能m?α，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，平面α⊥β，且α∩β＝l，則過(guò)α內(nèi)一點(diǎn)P與l垂直的直線，只有當(dāng)此直線在α內(nèi)時(shí)才垂直于β，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直可以推出a⊥α，故D正確.5.已知一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，若這兩個(gè)二面角的平面角均為銳角，則這兩個(gè)二面角的關(guān)系是()A.相等 B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ) D.既不相等也不互補(bǔ)答案A解析畫(huà)圖易得到滿足已知條件的兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)，若它們的平面角均為銳角，則這兩個(gè)二面角相等.1.知識(shí)清單：(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面與平面垂直的判定定理.(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：面面垂直性質(zhì)定理中在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，與另一個(gè)平面垂直.1.過(guò)平面α外兩點(diǎn)且垂直于平面α的平面()A.有且只有一個(gè) B.有一個(gè)或兩個(gè)C.有且僅有兩個(gè) D.有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)答案D2.直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A.平行 B.可能重合C.相交且垂直 D.相交不垂直答案C解析由面面垂直的判定定理，得α與β垂直.3.下列命題中正確的是()A.平面α和β分別過(guò)兩條互相垂直的直線，則α⊥βB.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥βC.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥βD.若平面α內(nèi)的兩條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β答案C解析當(dāng)平面α和β分別過(guò)兩條互相垂直且異面的直線時(shí)，平面α和β有可能平行，故A錯(cuò)；由直線與平面垂直的判定定理知，B，D錯(cuò)，C正確.4.在二面角α－l－β的棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，則必須具有的條件是()A.AO⊥BO，AO?α，BO?βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO?α，BO?βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β答案D5.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)答案D解析∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，又由題意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，∴共有5對(duì)互相垂直的平面.6.如圖所示，在三棱錐D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是________.(填序號(hào))①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.答案③解析由AB＝CB，AD＝CD，E為AC的中點(diǎn)知，AC⊥DE，AC⊥BE.又DE∩BE＝E，DE，BE?平面BDE，從而AC⊥平面BDE，故③正確.7.二面角α－l－β的大小為60°，異面直線a，b分別垂直于α，β，則a與b所成角的大小是________.答案60°解析過(guò)直線a上一點(diǎn)作b的平行線b′，則根據(jù)二面角的定義和線面垂直的性質(zhì)可知，a與b′的夾角為60°，所以a與b所成角的大小是60°.8.已知兩條不同的直線m，n，兩個(gè)不同的平面α，β，給出下列結(jié)論：①若m垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則m⊥α；②若m∥α，則m平行于α內(nèi)的所有直線；③若m?α，n?β，且α∥β，則m∥n；④若n?β，n⊥α，則α⊥β.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上)答案①④解析①中的內(nèi)容即為線面垂直的判定定理，故①正確；②中，若m∥α，則m與α內(nèi)的直線平行或異面，故②錯(cuò)誤；③中，兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面，所以③錯(cuò)誤；④中的內(nèi)容為面面垂直的判定定理，故④正確.9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D為棱CC1上任一點(diǎn).(1)求證：直線A1B1∥平面ABD；(2)求證：平面ABD⊥平面BCC1B1.證明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因?yàn)锳1B1?平面ABD，AB?平面ABD，所以直線A1B1∥平面ABD.(2)因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因?yàn)锳B⊥BC，BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锳B?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.10.如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC.11.已知平面α⊥平面β，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是()①α內(nèi)的任意直線必垂直于β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；②在β內(nèi)垂直于α與β的交線的直線必垂直于α內(nèi)的任意一條直線；③α內(nèi)的任意一條直線必垂直于β.A.0B.3C.2D.1答案C解析①設(shè)α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，故β內(nèi)與b平行的無(wú)數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線，為真命題；②β內(nèi)垂直于α與β交線的直線垂直于平面α，則它垂直于α內(nèi)的任意直線，為真命題；③α內(nèi)不與交線垂直的直線不垂直于β，為假命題.12.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直線BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.13.已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2eq\r(6)，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小為_(kāi)_______.答案60°解析正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2eq\r(6)，則底面邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，所以側(cè)面與底面所成的二面角的正切值為eq\r(3)，故所求的二面角為60°.14.α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，