高中數(shù)學七章三角函數(shù)72任意角三角函數(shù)722單位圓與三角函數(shù)線B

單位圓與三角函數(shù)線(教師獨具內(nèi)容

)課程標準：1.理解三角函數(shù)的正弦線、余弦線、正切線的定義

.2.

能作出角的三角函數(shù)線，并利用三角函數(shù)線察看三角函數(shù)的有關信息．教課要點：利用三角函數(shù)線察看三角函數(shù)的有關信息，領會數(shù)與形的聯(lián)合．教課難點：三角函數(shù)線的運用.【知識導學】知識點一單位圓一般地，在平面直角坐標系中，坐標知足□01x2＋y2＝1的點構(gòu)成的會合稱為單位圓．(2)角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的□02橫坐標和□03縱坐標．知識點二三角函數(shù)線如圖，設單位圓的圓心在原點，角α的極點在圓心O，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓訂交于點，點P在x軸上的正射影為，點在y軸上的正射影為，過(1,0)PMPNA作單位圓的切線交α的終邊OP或其反向延伸線于點T，則→→→010203(1)把向量OM，ON，AT分別叫做α的□余弦線、□正弦線、□正切線，正弦線、余弦線和正切線都稱為三角函數(shù)線．(2)04→，|sin05→06→此中|cosα|＝□|OM|α|＝□|ON|，|tanα|＝□|AT|，其大小分別等于該坐標系下相應線段的長度，其正負是這樣規(guī)定的：從起點到終點的方向與坐標軸的正方向相同時為正，相反時為負，即→x軸的正方向同樣時，表示cosα是正數(shù)，且cosαOM的方向與→→cosα是負數(shù)，且cosα＝－→→＝|OM|，OM的方向與x軸的正方向相反時，表示|OM|；ON的方向與y軸的正方向同樣時，表示→→y軸的正方向sinα是正數(shù)，且sinα＝|ON|，ON的方向與相反時，表示sin→→y軸的正方向同樣時，表示tanαα是負數(shù)；且sinα＝－|ON|；AT的方向與→→y軸的正方向相反時，表示tanα是負數(shù)，且tanα是正數(shù)，且tanα＝|AT|，AT的方向與＝－|→|.AT【新知拓展】1．單位圓中的“單位”半徑為1的圓是單位圓，這里的1不是1cm，不是1m，而是指1個單位長度，即作圖時，規(guī)定的1的單位的長度．2．對三角函數(shù)線的幾點說明三角函數(shù)線是三角函數(shù)的圖形表示．在三角函數(shù)線中，點M，N，P，A，T都是確立的，一般不行任意調(diào)動．P——角的終邊與單位圓的交點，M——點P在x軸上的正射影，N——點P在y軸上的正射影，——單位圓與x軸正半軸的交點，坐標(1,0)，AT——過A的垂線與角的終邊(或其延伸線)的交點．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值．()(2)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負．()(3)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)如圖，在單位圓中角α的正弦線、正切線完整正確的選項是( )→→A．正弦線PM，正切線A′T′→→B．正弦線MP，正切線A′T′→→C．正弦線MP，正切線AT→→D．正弦線PM，正切線AT3π(2)假如MP，OM分別是角α＝16的正弦線和余弦線的數(shù)目，則以下結(jié)論正確的選項是( )A．MP<OM<0B．MP>OM>0C．OM<MP<0D．OM>MP>0(3)已知α(0<α<2π)的正弦線和余弦線長度相等，且符號同樣，那么α的值為( )3ππ5π7πA.4或4B.4或4π5ππ7πC.4或4D.4或4答案(1)C(2)D(3)C題型一畫出角的三角函數(shù)線例1在單位圓中畫出合適以下條件的角α的終邊．2(1)sinα＝；33(2)cosα＝－5；(3)tan

α＝2.[解]

(1)作直線

2y＝3交單位圓于

P，Q兩點，則

OP與

OQ為角

α的終邊，如圖①

.作直線x＝－3交單位圓于M，N兩點，則OM與ON為角α的終邊，如圖②.5(3)在直線x＝1上截取AT＝2，此中A的坐標為(1,0)．設直線OT與單位圓交于C，D兩點，則OC與OD為角α的終邊，如圖③.金版點睛1．作三角函數(shù)線的四個步驟(1)確立角的始邊，單位圓與x軸交點A(1,0)．(2)確立角的終邊與單位圓的交點P.(3)過P分別作x軸，y軸的垂線，垂足為，，過A作x軸的垂線，與角的終邊(或MN其反向延伸線)交于T(T′)．→→→→(4)得正弦線ON，余弦線OM，正切線AT(或AT′)．2．單位圓中求作角的終邊的方法應用三角函數(shù)線能夠求作知足形如f(α)＝m的三角函數(shù)的角的終邊，詳細作法是先作出直線y＝m或x＝m與單位圓的交點，再將原點與交點連結(jié)所得射線即為所求角的終邊．[追蹤訓練1]5π作出4的正弦線、余弦線和正切線．解在直角坐標系中作以坐標原點為圓心的單位圓，如下圖，以x軸的正半軸為始5πP，作PM⊥x軸于點M，作PN⊥y軸于點N，由單位圓與x邊作4的終邊，與單位圓交于點軸正方向的交點A作x軸的垂線與5π，則→→→5π的終邊的反向延伸線交于點，，分別為4TONOMAT4的正弦線、余弦線、正切線.題型二利用三角函數(shù)線比較大小例2利用三角函數(shù)線比較以下各組數(shù)的大小：(1)sin2π與sin4π；352π4π(2)cos3與cos5；2π4π(3)tan3與tan5.2π4π[解]如圖，在單位圓中，3的終邊為OP1，5的終邊為OP2，過P1，P2分別作x軸的垂線，垂足為M1，M2，延伸P1O，P2O交經(jīng)過A(1,0)的單位圓的切線于T1，T2.2π→4π→(1)sin3＝|M1P1|，sin5＝|M2P2|，→→2π4π∵|M1P1|>|M2P2|，∴sin3>sin5.(2)cos2π→4π＝－|→，3152→→2π4π12(3)tan2π＝－|→1|，tan4π＝－|→2|，3AT5AT→→2π4π∵－|AT1|<－|AT2|，∴tan3<tan5.金版點睛三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的表現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向能夠看出三角函數(shù)值的正負，三角函數(shù)線的長度是三角函數(shù)值的絕對值，所以，對于同名三角函數(shù)值的大小比較，利用三角函數(shù)線求解比較直觀、形象．(1)sinα與sinβ：作出以坐標原點為圓心的單位圓，分別作出角α，β的終邊與單位圓的交點1，2，而后比較1，2兩點縱坐標的大小即可得sinα與sinβ的大?。甈PPP(2)cosα與cosβ：作出以坐標原點為圓心的單位圓，分別作出角α，β的終邊與單位圓的交點P1，P2，而后比較P1，P2兩點橫坐標的大小即可得cosα與cosβ的大?。?3)tanα與tanβ：作出以坐標原點為圓心的單位圓，分別作出角α，β的終邊，過點(1,0)作垂線，設與角α，β的終邊所在直線分別交于點T1，T2，而后比較T1，T2兩點的縱坐標的大小即可得tanα與tanβ的大?。甗追蹤訓練2]若θ∈3π，π，則以下各式錯誤的選項是( )4A．sinθ＋cosθ<0B．sinθ－cosθ>0C．|sinθ|<|cosθ|D．sinθ＋cosθ>0答案D分析由于θ∈3π，π，作出角的正弦線和余弦線如下圖，所以sinθ>0，4cosθ<0，且|sinθ|<|cosθ|，所以sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0.題型三利用三角函數(shù)線證明不等式π例3已知α為銳角，求證：1<sinα＋cosα<2.[證明]如圖，設角α的終邊與單位圓訂交于點P(x，y)，過點P作⊥，⊥，，R為垂足，連結(jié)，，PQOxPROyQPAPBy＝sinα，x＝cosα，→→在△OPQ中，|QP|＋|OQ|>|OP|，sinα＋cosα>1.∵S1→→11△OPAPOB1→→11S△＝2|OB|·|PR|＝2x＝2cosα，S扇形OAB＝1×π×12＝π，44又四邊形OAPB被扇形所覆蓋，S△OPA＋S△POB<S扇形OAB，1∴2sin

1πα＋2cosα<4，即

sin

πα＋cosα<2.π1<sinα＋cosα<2.金版點睛利用三角函數(shù)線證明不等式的策略一般先依據(jù)條件作出三角函數(shù)線，在進一步證明不等式的過程中常常需要借助于三角形和扇形的面積，按題意合適放大或減小證明結(jié)論．[追蹤訓練3]π已知α∈0，2，求證：sinα<α<tanα.︵→，正切線為→，證明在單位圓中設∠＝α，則的長度為α，角α的正弦線為AOPAPMPAT∵△OPA面積<扇形OPA面積<△OAT面積，1→→1→·α<1→→∴|OA|·|MP|<|OA||OA|·|AT|，222即|→|<α<|→|，∴sin<α<tanα.MPATα1．對于三角函數(shù)線，以下說法正確的選項是( )A．對任何角都能作出正弦線、余弦線和正切線B．有的角正弦線、余弦線和正切線都不存在C．任何角的正弦線、正切線老是存在，但余弦線不必定存在D．任何角的正弦線、余弦線老是存在，可是正切線不必定存在答案D分析正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域是R，所以任何角的正弦線、余弦線老是存在，正切函數(shù)的定義域不是

R，所以任何角的正切線不必定存在．2．已知角

α

的正弦線的長度為

1，則角

α的終邊在

(

)A．x軸上

B．y軸上C．x軸的正半軸上

D．y軸的正半軸上答案

B分析

若正弦線長度為

1，則

sin

α＝±1，所以角

α

終邊為

y軸上．13.在[0,2π]上知足sinx≥2的x的取值范圍是()ππ5πA.0，6B.6，6C.π2πD.5π6，6，π3答案B分析利用單位圓和三角函