大學數(shù)學共軛的教學探討

大學數(shù)學共軛的教學探討大學數(shù)學共軛的教學探討

中圖分類號：G424文獻標識碼：ADOI：10.16400/jki.kjdks.2022.08.061

TeachingDiscussiononCollegeMathematicsConjugate

ZHOUMaidong

〔MathematicsDepartment，ShaanxiXueqianNormalUniversity，Xi'an，Shaanxi710061〕

AbstractDemonstratedconjugatesymmetry，theuseofprojectivegeometryinanintuitiveinterpretationoftheconceptofconjugateboundtotheconceptofgeometrywereprovedconjugaterelationshipiscloserelations，closerelationsaresymmetricalrelationshipandconjugateapplication.

Keywordsprojectivetransformation;conjugatedirection;involution;symmetry

引言

共軛直徑是解析幾何中比擬抽象的概念之一，學生很難理解直徑的共軛關(guān)系，在教學中，進行直觀解釋也僅限于將敘述式的對應變量對調(diào)，敘述式不變，這只是一種代數(shù)直觀解釋，現(xiàn)從射影幾何角度來進一步進行幾何圖形的直觀解釋。

1預備知識

1.1一維根本形的射影變換

平面上一維根本形分兩種，即點列和線束。兩個同類的一維根本形是重疊的是指點列是共底的或線束是共中心的。

重疊并且為射影變換的兩個一維根本形，有兩個自對應元素，或一個自對應元素或沒有自對應元素。

假設(shè)一維根本形的射影變換有兩個自對應元素的那么稱為雙曲型射影對變換，有一個自對應元素的那么稱為拋物型射影對變換，沒有自對應元素的那么稱為橢圓型射影對變換。

1.2對合

在兩個一維根本形是重疊且為射影變換里有一種特殊情況，如果對于重疊圖形的任何一個元素，無論把它看作是屬于第一根本形或第二根本形，它的對應元素總是一樣的。即

有兩個自對應元素的對合稱為雙曲型對合，沒有實自對應元素的對合稱為橢圓型對合。

命題1[2]：雙曲型對合中的任何一對對應元素與其兩個二個自對應元素成調(diào)合共軛。

1.3共軛方向、共軛直徑

稱為互為共軛方向，即

定義3[3]：中心曲線的一對具有相互共軛方向的直徑叫做共軛直徑。

那么〔1〕式化成

這就是一對共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式。

1.4分隔

在取中心線束中的任意三條直線，那么每條直線都不能隔開其余兩條，故在射影平面上中間這個概念就失去了本來的意義，所以我們?nèi)≈行木€束中的任意四條直線來定義分隔，它有兩種情況：第一情況是直線偶分隔了直線偶;第二情況是線偶沒有分隔直線偶。

分隔具有射影不變性。假設(shè)線束是分隔的，用不通過中心的任意直線去截中心線束，那么得到的點列也是分隔的，顯然，線束的交比和點列的交比相等且為負值。

1.5點列交比、線束交比

共線的四點A、B、C、D，它們的交比值等于兩個單比的比值，即〔AB，CD〕=上〔ABC〕下〔ABD〕。

對偶地線束中任意四條直線的交比值等于兩個三直線的單比的比值，即〔ab，cb〕=上〔abc〕下〔abd〕

。

命題2[2]：如果線束的四條直線被任何一條直線截于點四點A、B、C、D，那么〔ab，cd〕=〔AB，CD〕。

1.6兩條平行直線相交于無窮遠點

2結(jié)論

共軛關(guān)系是對合關(guān)系，對合關(guān)系是對稱關(guān)系。

2.1代數(shù)解釋

命題3[2]：兩個重疊一維根本形成為對合的充要條件是對應點參數(shù)與滿足下列方程：

一對共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式。

即直徑的共軛關(guān)系是對稱關(guān)系。

2.2幾何解釋

2.2.1雙曲型對合的對稱圖形

①重疊一維點列對合的幾何圖形是對稱圖形

在直線上取定點P，對于直線上任意一點Mi，設(shè)Mi的關(guān)于P的對稱點Mi為Mi的對應點，那么點列〔Mi〕與點列〔Mi〕是對合〔點P與無窮遠點為兩個自對應點〕。

②重疊一維線束對合的幾何圖形是對稱圖形

顯然有兩個自共軛方向。

命題6：證明：重疊一維線束的對合的幾何圖形是對稱圖形。

2.2.2橢圓型對合的對稱圖形

橢圓型對合有兩條共軛虛的自對應直線。在無窮遠直線上取圓點和，另取固定點，連結(jié)、，那么、為自對應直線，那么過定點A的相交的對應直線為對合變換。

3應用

3.1調(diào)和共軛

點列上四個點或線束中四直線，假設(shè)它們的交比值等于-1，即〔AB，CD〕=-1，或〔ab，cd〕=-1，那么稱為調(diào)和共軛。

例1

設(shè)任意四邊形，其兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，求證：另一條對角線的延長線平分對邊交點的連線〔1978年全國競賽題〕。

證：根據(jù)題意作圖2。

3.2對合

命題7：雙曲型射影變換的兩條自對應