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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線C:()的左、右焦點分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.2.已知雙曲線:,,為其左、右焦點,直線過右焦點,與雙曲線的右支交于,兩點,且點在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度4.已知向量,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.5.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.雙曲線:(),左焦點到漸近線的距離為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,設(shè),則()A. B. C. D.8.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)9.如圖,點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點,點F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點)上運動,則()A.在點F的運動過程中,存在EF//BC1B.在點M的運動過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值10.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關(guān)于原點O的對稱點為A,點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.12.已知為等比數(shù)列,,,則()A.9 B.-9 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則__________.14.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的實部為____________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,,若圓上有且僅有一對點,使得的面積是的面積的2倍,則的值為_______.16.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到一個偶函數(shù)圖象,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記為數(shù)列的前項和,N.(1)求;(2)令,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求其前項和.18.(12分)如圖,在四棱柱中,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,,,點為的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使直線與平面所成的角正弦值為,若存在求出的長,若不存在說明理由.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為:.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取得最大值時直線的直角坐標(biāo)方程.20.(12分)某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個更適宜作燒水時間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時間內(nèi)煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時,燒開一壺水最省煤氣?附:對于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.21.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準(zhǔn)線為,是上的兩個動點,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時,與共線.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)已知直線與曲線交于,兩點,與軸交于點,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運算能力.2、D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,設(shè),,即y1=﹣3y2①,聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點,則F2(,0),設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯(lián)立①②得,聯(lián)立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查韋達定理的運用,考查向量知識,屬于中檔題.3、A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為,故要得到,只需將向左平移個單位長度.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運算.對于向量問題,若已知垂直,通常可得到兩個向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.5、C【解析】
由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為,再利用大角對大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定,同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.6、B【解析】
首先求得雙曲線的一條漸近線方程,再利用左焦點到漸近線的距離為2,列方程即可求出,進而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點為,一條漸近線的方程為,由左焦點到漸近線的距離為2,可得,所以漸近線方程為,即為,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程,考查了點到直線的距離公式,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時,,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時,,則,令則,當(dāng)時,,則在時單調(diào)遞增,因為,所以,即,則在時單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.8、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關(guān)系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、C【解析】
采用逐一驗證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即點到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即為點到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.10、C【解析】
設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.11、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因為,,,所以的周期為4,故,故的虛部為2,A錯誤;在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第二象限,B錯誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯誤;,D正確.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識,是一道基礎(chǔ)題.12、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴.故選:C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
解一元二次不等式化簡集合,再進行集合的交運算,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】,所以復(fù)數(shù)的實部為2.故答案為:2【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、【解析】
寫出所在直線方程,求出圓心到直線的距離,結(jié)合題意可得關(guān)于的等式,求解得答案.【詳解】解:直線的方程為,即.圓的圓心到直線的距離,由的面積是的面積的2倍的點,有且僅有一對,可得點到的距離是點到直線的距離的2倍,可得過圓的圓心,如圖:由,解得.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)平移后關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱,進而利用特殊值構(gòu)造方程,從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象,即關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱即:本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸,進而利用特殊值的方式來進行求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見詳解,【解析】
(1)根據(jù),可得,然后作差,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,用取代,得到新的式子,然后作差,可得結(jié)果,最后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)由①,則②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③則④④-③可得:則,且令,則,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列所以【點睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用,考驗觀察能力以及分析能力,屬中檔題.18、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)線段上是存在一點,,使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】
(Ⅰ)取中點,連結(jié)、,推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形,從而,由此能證明平面;(Ⅱ)取中點,連結(jié),,推導(dǎo)出平面,,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值;(Ⅲ)假設(shè)在線段上是存在一點,使直線與平面所成的角正弦值為,設(shè).利用向量法能求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)證明:取中點,連結(jié)、,是邊長為2的等邊三角形,,,,點為的中點,,四邊形是平行四邊形,,平面,平面,平面.(Ⅱ)解:取中點,連結(jié),,在四棱柱中,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,,,點為的中點,平面,,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,,1,,,0,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,設(shè)平面的法向量,,,則,取,得,,,設(shè)平面的法向量,,,則,取,得,設(shè)二面角的平面角為,則.二面角的余弦值為.(Ⅲ)解:假設(shè)在線段上是存在一點,使直線與平面所成的角正弦值為,設(shè).則,,,,,,平面的法向量,,解得,線段上是存在一點,,使直線與平面所成的角正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.19、(1)曲線,曲線.(2).【解析】
(1)用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程;將兩邊同時乘以,然后由解得直角坐標(biāo)方程.(2)過極點的直線的參數(shù)方程為,代入到和:中,表示出即可求解.【詳解】解:由和,得,化簡得故:將兩邊同時乘以,得因為,所以得的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由,得,由,得故當(dāng)時,取得最大值此時直線的極坐標(biāo)方程為:,其直角坐標(biāo)方程為:.【點睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法;中檔題.20、(1)更適宜(2)(3)x為2時,燒開一壺水最省煤氣【解析】
(1)根據(jù)散點圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程,再得出y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】(
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