用因式分解法求解一元二次方程

第二章 一元二次方程

2.4 用因式分解法求解一元二次方程典型例題精析

例1 用因式分解法解下列方程：(1)6x(x+1)=5(x+1)；(2)(2x-1)2-(x+1)2=0；(3)(x+3)(x+1)=6x+2.(2)分解因式得[(2x-1)+(x+1)]·[(2x-1)-(x+1)]=0，∴3x(x-2)=0，∴x1=0,x2=2；(3)整理得x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，∴x1=x2=1.變式練習(xí)

1．下列解方程正確的是( ) A．解方程2x2=x時(shí)，將方程兩邊同時(shí)除以x，得x=2 B．解方程2x2+6x=0時(shí)，將方程兩邊同時(shí)除以2x，得x=3 C．解方程x2+1=2x時(shí)，分解因式得(x-1)2=0,解得x=1 D．解方程x2+2x+1=0時(shí)，分解因式得(x+1)2=0,解得x1=x2=-1D2．(1)(2015盤錦)方程(x+2)(x-3)=x+2的解是

；

(2)(2015大慶)方程3(x-5)2=2(x-5)的根是

；

(3)(2015泰安)方程(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1的根為

．x1=-2，x2=43．用因式分解法解下列方程：(2)(x-3)2+2x-6=0;解：(x-3)2+2(x-3)=0,(x-3)(x-3+2)=0,∴x-3=0或x-1=0,∴x1=3,x2=1; (3)9(2x+3)2-4(2x-5)2=0.例2 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)2(x-3)2=50； (2)(x+4)2-4(x+4)+3=0；解：(1)變形得(x-3)2=25，兩邊同時(shí)開平方得x-3=±5，∴x1=8,x2=-2；(2)分解因式得(x+4-1)(x+4-3)=0，即(x+3)(x+1)=0，∴x1=-3,x2=-1；(3)4x2-4x-5=0； (4)x2+x-4=0.變式練習(xí)4．解下列方程： ①(x-2)2=5; ②x2-3x-2=0; ③x2+x-6=0; ④x2+4x-6=0.

其中用分解因式法較簡(jiǎn)便的是( ) A．① B．② C．③ D．④C5．解下列方程： ①2x2-18=0; ②9x2-12x-1=0; ③3x2+10x+3=0; ④2(5x-1)2=2(5x-1).

用較簡(jiǎn)便的方法依次是( ) A．①直接開平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法

B．①直接開平方法，②公式法，③、④因式分解法

C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法

D．①直接開平方法，②、③公式法，④因式分解法B6．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)4(3x-2)2=36; (2)x2-4x-3=0;(3)3x2+5(2x+1)=0; (4)(x-3)2+2x(x-3)=0.解：(x-3)(x-3+2x)=0，(x-3)(3x-3)=0，x-3=0或3x-3=0，∴x1=3,x2=1. 基礎(chǔ)過關(guān)精練

1．(2016廈門)方程x2-2x=0的根是( ) A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2C2．一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( ) A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2D3．下列說法正確的是( )DB．解方程(x+2)(x+3)=3×4時(shí)，對(duì)比方程兩邊知x+2=3，x+3=4，故x=1C．解方程(3y+2)2=4(y-3)2時(shí)，只要將兩邊開平方，方程就變形為3y+2=2(y-3)，從而解得y=-8D．若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則0必為它的一個(gè)根4．(2015齊齊哈爾)△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2和3，第三邊的長(zhǎng)是方程

x2-8x+15=0的根，則△ABC的周長(zhǎng)是

．85．(2015呼和浩特)若實(shí)數(shù)a、b滿足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0， 則a+b=

．5或-17．用因式分解法解下列方程：

(1)x2-10x+9=0； (2)2(x-3)=3x(x-3)；解：(x-1)(x-9)=0，x-1=0或x-9=0，∴x1=1，x2=9； (3)(2x+1)2-4=0； (4)2(2x-3)2-3(2x-3)=0；(5)2x2-16=x2+5x+8； (6)(3x-1)2+3(3x-1)+2=0.解：2x2-x2-5x-16-8=0，x2-5x-24=0，(x-8)(x+3)=0，∴x1=8,x2=-3; 8．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(3x+4)(3x-4)=9； (2)2x2+3x-1=0；(3)7x(2-x)=3(x-2)； (4)9x2-6x-2=0.能力拓展演練9．(2015煙臺(tái))如果x2-x-1=(x+1)0，那么x的值為( ) A．2或-1 B．0或1 C．2 D．-1C10．(2015鄂爾多斯)小奇設(shè)計(jì)了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)進(jìn)入 其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2-3b-5，例如把(1，-2)放入其中，就 會(huì)得到12-3×(-2)-5=2．現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)(m，3m)放入其中，得到實(shí)數(shù)5， 則m=

．10或-111．閱讀材料，解答問題.

為解方程(x2-1)2-3(x2-1)=0,我們可以將x2-1視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2-1=y,

則(x2-1)2=y2，原方程化為y2-3y=0.① 解得y1=0,y2=3.

當(dāng)y=0時(shí)，x2-1=0，所以x2=1,x=±1； 當(dāng)y=3時(shí)，x2-1=3，所以x2=4,x=±2.

所以原方程的解為x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.

解答問題：

(1)填空： 在由原方程得到方程①的過程中，利用

法達(dá)到了降冪的目的，體現(xiàn)了

的數(shù)學(xué)思想; (2)解方程：(x2+3)2-4(x2+3)=0.解：設(shè)x2+3=y,原方程可化為y2-4y=0,即y(y-4)=0.∴y1=0，y2