高中數(shù)學(xué)北師大版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章4換底公式

4．2換底公式1.能推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的換底公式．(重點(diǎn))2.會(huì)用對(duì)數(shù)換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理?yè)Q底公式閱讀教材P83～P86有關(guān)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特別地，logab·logba＝1，logba＝．1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)logab＝eq\f(lgb,lga)＝eq\f(lnb,lna).()(2)log52＝eq\f(log－32,log－35).()(3)logab·logbc＝logac．()【答案】(1)√(2)×(3)√2.(log29)·(log34)＝()\f(1,4)\f(1,2)C．2D．4【解析】法一：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.法二：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.【答案】D[小組合作型]利用換底公式化簡(jiǎn)求值計(jì)算：(1)log1627log8132；(2)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.【精彩點(diǎn)撥】在兩個(gè)式子中，底數(shù)、真數(shù)都不相同，因而要用換底公式進(jìn)行換底以便于計(jì)算求值．【嘗試解答】(1)log1627log8132＝eq\f(lg27,lg16)×eq\f(lg32,lg81)＝eq\f(lg33,lg24)×eq\f(lg25,lg34)＝eq\f(3lg3,4lg2)×eq\f(5lg2,4lg3)＝eq\f(15,16).(2)∵log23＝a，則eq\f(1,a)＝log32，又∵log37＝b，∴l(xiāng)og4256＝eq\f(log356,log342)＝eq\f(log37＋3·log32,log37＋log32＋1)＝eq\f(ab＋3,ab＋a＋1).1.換底公式中的底可由條件決定，也可換為常用對(duì)數(shù)的底，一般來(lái)講，對(duì)數(shù)的底越小越便于化簡(jiǎn)，如an為底的換為a為底．2.換底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝eq\f(m,n)logab.[再練一題]1.化簡(jiǎn)：(log43＋log83)(log32＋log92)【解】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))＝eq\f(5,6)log23·eq\f(3,2)log32＝eq\f(5,4).用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04100057】【精彩點(diǎn)撥】運(yùn)用換底公式，統(tǒng)一化為以18為底的對(duì)數(shù)．【嘗試解答】法一：因?yàn)閘og189＝a，所以9＝18a又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＝(a＋b)·log2×1818.又因?yàn)閘og2×1818＝eq\f(1,log1818×2)＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).法二：∵18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log184×9)＝eq\f(log185＋log189,2log182＋log189)＝eq\f(a＋b,2log18\f(18,9)＋log189)＝eq\f(a＋b,2－2log189＋log189)＝eq\f(a＋b,2－a).法三：∵log189＝a,18b＝5，∴l(xiāng)g9＝alg18，lg5＝blg18，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).用已知對(duì)數(shù)的值表示所求對(duì)數(shù)的值，要注意以下幾點(diǎn)：1增強(qiáng)目標(biāo)意識(shí)，合理地把所求向已知條件靠攏，巧妙代換；2巧用換底公式，靈活“換底”是解決這種類(lèi)型問(wèn)題的關(guān)鍵；3注意一些派生公式的使用.[再練一題]2.若本例條件不變，求logeq\f(9,25)45(用a，b表示)．【解】由18b＝5，得log185＝b，∴l(xiāng)ogeq\f(9,25)45＝eq\f(log1845,log18\f(9,25))＝eq\f(log185＋log189,log189－log1825)＝eq\f(b＋a,a－2b).[探究共研型]對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用探究1光線(xiàn)每通過(guò)一塊玻璃板，其強(qiáng)度要損失10%，把幾塊這樣的玻璃板重疊起來(lái)，設(shè)光線(xiàn)原來(lái)的強(qiáng)度為a，通過(guò)x塊玻璃板以后的強(qiáng)度值為y.試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【提示】依題意得y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))x＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))x，其中x≥1，x∈N.探究2探究1中的已知條件不變，求通過(guò)多少塊玻璃以后，光線(xiàn)強(qiáng)度減弱到原來(lái)強(qiáng)度的eq\f(1,2)以下？(根據(jù)需要取用數(shù)據(jù)lg3＝1，lg2＝0)【提示】依題意得aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))x≤a×eq\f(1,2)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))x≤eq\f(1,2)?x(2lg3－1)≤－lg2?x≥eq\f0,1－2×1)≈，∴xmin＝7.即通過(guò)7塊以上(包括7塊)的玻璃板后，光線(xiàn)強(qiáng)度減弱到原來(lái)強(qiáng)度的eq\f(1,2)以下．某城市現(xiàn)有人口數(shù)為100萬(wàn)，如果年自然增長(zhǎng)率為%，試解答下面的問(wèn)題．(1)寫(xiě)出該城市x年后的人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)？(精確到1年)(lg≈2，lg≈2)【精彩點(diǎn)撥】先利用指數(shù)函數(shù)知識(shí)列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用對(duì)數(shù)求值．【嘗試解答】(1)由題意y＝100(1＋%)x＝100·(x∈N＋)．(2)由100·＝120，得＝，∴x＝\f(lg,lg≈eq\f2,2)≈15，故大約15年以后，該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)．解對(duì)數(shù)應(yīng)用題的步驟[再練一題]3.某種汽車(chē)安全行駛的穩(wěn)定性系數(shù)μ隨使用年數(shù)t的變化規(guī)律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常數(shù)．經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)t＝2時(shí)，μ＝μ0，則當(dāng)穩(wěn)定性系數(shù)降為μ0時(shí)，該種汽車(chē)已使用的年數(shù)為_(kāi)_________．(結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：lg2＝0，lg3＝1)【解析】由μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝eq\r，又μ0＝μ0(e－λ)t，則eq\f(1,2)＝(eq\r)t，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得lgeq\f(1,2)＝eq\f(t,2)lg，故t＝eq\f(2lg2,1－2lg3)＝eq\f(2×0,1－2×1)≈13.【答案】131.若lg3＝a，lg5＝b，則log53等于()\f(b,a) \f(a,b)C．a(chǎn)b D．ba【解析】log53＝eq\f(lg3,lg5)＝eq\f(a,b).【答案】B2.log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________.【解析】原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2lg3lg5)＝－12.【答案】－123.log332·log227＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04100058】【解析】log332·log227＝log325·log233＝5log32·3log23＝15·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg