高中數學人教A版第二章平面向量平面向量的線性運算 一等獎

課題名稱：§2．向量加法運算及其幾何意義課程模塊及章節(jié)：必修四第二章第二節(jié)第一課時備課時間：2023學科：數學備課組：高一數學主備教師：保德懷備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、張國彪、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析課標的理解與把握1.理解向量的加法及其運算法則、運算律．(重點)2.理解向量加法的幾何意義．(難點)3.數的加法與向量的加法的聯系與區(qū)別．(易混點)教材分析：向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。在本模塊中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。向量概念的教學應從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對于學生理解向量概念和運用向量解決實際問題都是十分重要的。教師還可以引導學生運用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所做的功，利用向量解決平面內兩條直線平行與垂直的位置關系等問題。對于向量的非正交分解只要求學生作一般了解，不必展開。（三）學情分析：加強基礎知識教學。了解到學生目前的學習情況，大部分學生對初中的相關知識掌握不好，利用自習課或課余時間為他們補充初中知識的盲點，加強基礎知識。同時在上課的時候，以基礎簡單題目為主，爭取讓大部分學生在課堂上有所收獲。加強合作學習。對于班級出現的兩極分化情況，發(fā)動成績好的學生帶動基礎薄弱的學生，促使大家共同進步。注重情感交流。分層教學、因材施教。主要方法是對作業(yè)也要分層次布置，基礎不同，要求不同。多表揚、多鼓勵。教學目標1．知識與技能(1)掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義．(2)會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數形結合解決問題的能力．2．過程與方法通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法．3．情感、態(tài)度與價值觀(1)通過對向量的加法運算的探究學習，經歷數學探究活動的過程，體會由特殊到特殊的認識事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神與創(chuàng)新意識．(2)通過本節(jié)的學習，學會用數學的方式解決問題、認識世界，進而領會數學的價值，不斷提高自己的文化修養(yǎng)．教學重點和難點重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量．難點：理解向量加法的定義．教學準備、教學資源和主要教學方法自主學習與合作探究相結合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設計意圖導入新課【問題導思】分析下列實例：(1)飛機從廣州飛往上海，再從上海飛往北京(如圖)，這兩次位移的結果與飛機從廣州直接飛往北京的位移是相同的．(2)有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000N，F2＝2000N，牽引繩之間的夾角為θ＝60°(如圖)，如果只用一條拖輪來牽引，也能產生跟原來相同的效果．1．從物理學的角度，上面實例中位移、牽引力說明了什么？體現了向量的什么運算？【提示】后面的一次位移叫前面兩次位移的合位移，四邊形OACB的對角線eq\o(OC,\s\up12(→))表示的力是eq\o(OA,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))表示力的合力．體現了向量的加法運算．2．上述實例中位移的和運算、力的和運算分別用什么法則？【提示】三角形法則和平行四邊形法則．學生開始思考從數形結合的角度加以研究，避免了代數方法的繁瑣，直觀而有效，但注意圖形的準確性．目標引領板在黑板的右上角，并對目標進行解讀。活動導學1．向量加法的定義圖2－2－1定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．已知非零向量a、b，在平面內任取一點A，作eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up12(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，如圖2－2－1.對于零向量與任一向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面上任取一點A，作Aeq\o(B,\s\up12(→))＝a，Beq\o(C,\s\up12(→))＝b，則向量Aeq\o(C,\s\up12(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up12(→))＋Beq\o(C,\s\up12(→))＝Aeq\o(C,\s\up12(→))平行四邊形法則已知兩個不共線向量a，b，作Aeq\o(B,\s\up12(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up12(→))＝b，以Aeq\o(B,\s\up12(→))，Aeq\o(D,\s\up12(→))為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量Aeq\o(C,\s\up12(→))＝a＋b問題導思】實數的運算律有哪些？向量的加法是否也有相似的運算律？【提示】交換律和結合律；有.交換律結合律a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)例一：(1)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))化簡后等于()\o(BC,\s\up12(→)) \o(AB,\s\up12(→))\o(AC,\s\up12(→)) D．eq\o(AM,\s\up12(→))(2)如圖所示，已知向量a，b，c，試作出向量a＋b＋c.圖2－2－2【思路探究】1.幾何表示式如何進行加法運算？2．應用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加法運算的過程可以分別簡記為什么？【自主解答】(1)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BO,\s\up12(→)))＋(eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)).【答案】C(2)如圖所示，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up12(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up12(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．例二：如圖所示，已知E、F分別是?ABCD的邊DC、AB的中點，求證：四邊形AECF是平行四邊形．圖2－2－3【思路探究】要證四邊形AECF為平行四邊形，只需證eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(FC,\s\up12(→)).【自主解答】在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，又由E、F分別是DC、AB的中點，得eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(FB,\s\up12(→)).所以eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(FB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(FC,\s\up12(→))，又A、E、C、F四點不共線，故四邊形AECF是平行四邊形．活動：讓學生仔細觀察圖1，教師適當時候再提示。展示討論結果向量求和的三角形法則，可推廣到多個向量求和的多邊形法則：n個向量經過平移，順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合，組成一個向量折線，這n個向量的和等于折線起點到終點的向量．1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統一的．當兩個向量首尾相連時常選用三角形法則，當兩個向量共始點時，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行．在進行向量的加、減法運算時，應注意一些特殊情況，如零向量、共線向量等．特別是判斷一些相關命題的真假時，一定要考慮到這些特殊的情況，如果忽略這些就容易出現錯誤．當堂評價下列命題：①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0；③在eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，則A、B、C為一個三角形的三個頂點；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．其中真命題的個數為()A．0個B．1個C．2個D．3個【錯解】C【錯因分析】①中，當a＋b＝0時，命題不成立，因此①是假命題；②是真命題；③中，當A，B，C三點共線時，也可以有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，因此③是假命題；④中，只有當a與b為同向向量時，|a＋b|與|a|＋|b|才相等，其他情況下均為|a|＋|b|>|a＋b|，因此④是假命題．故真命題的個數為1個．由學生自主完成。鞏固深化培養(yǎng)學生的獨立解決問題的能力。學生課后完成鞏固本節(jié)課所學過的知識使學生對本節(jié)課所學的知識有一個整體性的認識，了解知識的來龍去脈。板書設計§2．向量加法運算及其幾何意義例1例二圖形解答過程：變式練習圖形解答過程：教學反思課題名稱：§2.2.2向量減法運算及其幾何意義課程模塊及章節(jié)：必修四第二章第二節(jié)第二課時備課時間：2023學科：數學備課組：高一數學主備教師：保德懷備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、張國彪、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析課標的理解與把握1.掌握向量減法的運算，理解其幾何意義．(重點)2.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義．(難點)3.能將向量的減法運算轉化為向量的加法運算．(易混點)教材分析：向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。在本模塊中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。向量概念的教學應從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對于學生理解向量概念和運用向量解決實際問題都是十分重要的。教師還可以引導學生運用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所做的功，利用向量解決平面內兩條直線平行與垂直的位置關系等問題。對于向量的非正交分解只要求學生作一般了解，不必展開。（三）學情分析：加強基礎知識教學。了解到學生目前的學習情況，大部分學生對初中的相關知識掌握不好，利用自習課或課余時間為他們補充初中知識的盲點，加強基礎知識。同時在上課的時候，以基礎簡單題目為主，爭取讓大部分學生在課堂上有所收獲。加強合作學習。對于班級出現的兩極分化情況，發(fā)動成績好的學生帶動基礎薄弱的學生，促使大家共同進步。注重情感交流。分層教學、因材施教。主要方法是對作業(yè)也要分層次布置，基礎不同，要求不同。多表揚、多鼓勵。教學目標1．知識與技能(1)了解相反向量的概念．(2)掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義．2．過程與方法通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物間可以相互轉化的辯證思想．3．情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)學習，使學生利用類比的方法探究向量減法的運算法則，培養(yǎng)學生的探索精神與創(chuàng)新意識．教學重點和難點重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法．難點：減法運算時方向的確定．教學準備、教學資源和主要教學方法自主學習與合作探究相結合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設計意圖導入新課【問題導思】1．相反向量就是方向相反的向量嗎？【提示】(1)不是．相反向量是方向相反且長度相等的向量．2．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b嗎？【提示】若|a|＝|b|，則a，b不一定共線，有可能a≠b且a≠－b.1．定義：如果兩個向量長度相等，而方向相反，那么稱這兩個向量是相反向量．2．性質：(1)對于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.學生開始思考從數形結合的角度加以研究，避免了代數方法的繁瑣，直觀而有效，但注意圖形的準確性．目標引領板在黑板的右上角，并對目標進行解讀?；顒訉W1．向量減法的定義【問題導思】1．兩個相反數的和為零，那么兩個相反向量的和也為零向量嗎？【提示】是零向量．2．根據向量的加法，如何求作a－b?【提示】先作出－b，再按三角形或平行四邊形法則作出a＋(－b)．1．定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．2．作法：在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up12(→))，如圖2－2－12所示．圖2－2－123．幾何意義：a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量．例一：化簡：(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))．【思路探究】解答本題可先去括號，再利用相反向量及加法交換律、結合律化簡．【自主解答】法一(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋Beq\o(D,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.法二(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DB,\s\up12(→)))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.法三設O為平面內任意一點，則有(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))－(Oeq\o(D,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))－(eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＋(eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝0.例二：如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，點O是正六邊形中一點，若已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OF,\s\up12(→))＝b，eq\o(EO,\s\up12(→))＝c，eq\o(DO,\s\up12(→))＝d，試用向量a，b，c，d表示eq\o(ED,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(DB,\s\up12(→)).圖2－2－13【思路探究】運用三角形法則和平行四邊形法則，將所求向量用已知向量a、b、c、d的和與差來表示．【自主解答】eq\o(ED,\s\up12(→))＝eq\o(EO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(EO,\s\up12(→))－eq\o(DO,\s\up12(→))＝c－d.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(DO,\s\up12(→))＝－a－d.eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(FA,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OF,\s\up12(→))＋eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(EO,\s\up12(→))＝a＋c.活動：讓學生仔細觀察圖1，教師適當時候再提示。展示討論結果1．向量減法的實質是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))就可以把減法轉化為加法，即：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量，如：a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法則作向量減法時，要注意“差向量連接兩向量的終點，箭頭指向被減數”．解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆．3．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，則兩條對角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b.這一結論在以后應用非常廣泛，應該加強理解并記?。?1)首尾相接且為和．(2)起點相同且為差．做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應用、統一向量起點方法的應用．通過表示向量的有向線段的字母符號運算來解決問題時，運算過程中，將“－”改為“＋”，只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可，如“－eq\o(AB,\s\up12(→))”改為“＋eq\o(BA,\s\up12(→))”．在作向量的和時，要合理使用三角形法則和平行四邊形法則；在作兩向量的差時，應注意兩個向量的起點重合，差向量的方向指向被減向量．當堂評價2．設b是a的相反向量，則下列說法錯誤的是()A．a與b的長度必相等B．a∥bC．a與b一定不相等D．a是b的相反向量【解析】因為0的相反向量是0，故C不正確．【答案】C3．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝|eq\o(CA,\s\up12(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))|的值為________．【解析】eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))，而|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝1＝|eq\o(CB,\s\up12(→))|.【答案】14．化簡：eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))－(eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))．【解】eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))－(eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))＝eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AF,\s\up12(→)).由學生自主完成。鞏固深化培養(yǎng)學生的獨立解決問題的能力。學生課后完成鞏固本節(jié)課所學過的知識使學生對本節(jié)課所學的知識有一個整體性的認識，了解知識的來龍去脈。板書設計§2.2.2向量減法運算及其幾何意義例1例二圖形解答過程：變式練習圖形解答過程：教學反思課題名稱：§2.2.3向量數乘運算及其幾何意義課程模塊及章節(jié)：必修四第二章第二節(jié)第三課時備課時間：2023學科：數學備課組：高一數學主備教師：保德懷備課組長：龍清華組員：黃澤專、趙明烈、張秋花、邱建成、張國彪、龍清華、張國彪。教師二次備課教學背景分析課標的理解與把握1.掌握向量的數乘運算及其幾何意義．(重點)2.掌握向量共線定理的應用．(難點)3.理解實數相乘與向量數乘的區(qū)別．(易混點)教材分析：向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。在本模塊中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。向量概念的教學應從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對于學生理解向量概念和運用向量解決實際問題都是十分重要的。教師還可以引導學生運用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所做的功，利用向量解決平面內兩條直線平行與垂直的位置關系等問題。對于向量的非正交分解只要求學生作一般了解，不必展開。（三）學情分析：加強基礎知識教學。了解到學生目前的學習情況，大部分學生對初中的相關知識掌握不好，利用自習課或課余時間為他們補充初中知識的盲點，加強基礎知識。同時在上課的時候，以基礎簡單題目為主，爭取讓大部分學生在課堂上有所收獲。加強合作學習。對于班級出現的兩極分化情況，發(fā)動成績好的學生帶動基礎薄弱的學生，促使大家共同進步。注重情感交流。分層教學、因材施教。主要方法是對作業(yè)也要分層次布置，基礎不同，要求不同。多表揚、多鼓勵。教學目標1．知識與技能(1)掌握向量的數乘運算及其幾何意義．(2)理解向量共線定理，并應用其解決相關問題．2．過程與方法通過由向量加法運算探究向量的數乘運算的過程，使學生形成數形結合的研究問題的方法，由λ符號來判斷λa與a方向是否相同的過程，培養(yǎng)學生用分類討論的思想研究問題的方法．3．情感、態(tài)度與價值觀通過對向量數乘運算的探究學習，經歷數學探究活動的過程，培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新意識；通過數乘向量的實際應用，體會數學的應用價值，學會用數學的方式解決問題．教學重點和難點重點：向量的數乘運算及其幾何意義，向量共線定理．難點：向量共線定理的應用．教學準備、教學資源和主要教學方法自主學習與合作探究相結合。教學過程教學環(huán)節(jié)教師為主的活動學生為主的活動設計意圖導入新課向量的數乘運算【問題導思】1．向量與實數可以求積，能求加、減運算嗎？【提示】不能．如λ＋a，λ－a無意義．2．λa＝0?λ＝0或a＝0，對嗎？【提示】對．3．數乘可以伸縮向量的模，同時也可以改變向量的方向，對嗎？【提示】正確．學生開始思考從數形結合的角度加以研究，避免了代數方法的繁瑣，直觀而有效，但注意圖形的準確性．目標引領板在黑板的右上角，并對目標進行解讀?；顒訉W當λ>0時，不改變方向，當λ<0時，所得向量與原向量反向．1．定義：一般地，我們規(guī)定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa.2．規(guī)定：①|λa|＝|λ||a|，②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.3．運算律設λ，μ為實數，則(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.共線向量定理【問題導思】1．a＝λb?a與b共線，對嗎？【提示】正確．2．若a與b共線，一定有a＝λb嗎？【提示】不一定．當b＝0，a＝0時，λ有無數個值；當b＝0，a≠0時，λ無解；只有當b≠0時，才有a＝λb.向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使得b＝λa.向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統稱向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2例一：計算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7【思路探究】利用數乘向量的運算計算．【自主解答】(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a例二：已知非零向量e1，e2不共線．(1)如果Aeq\o(B,\s\up12(→))＝e1＋e2，Beq\o(C,\s\up12(→))＝2e1＋8e2，Ceq\o(D,\s\up12(→))＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數k的值．【思路探究】對于(1)，欲證A、B、D共線，只需證存在實數λ，使Beq\o(D,\s\up12(→))＝λAeq\o(B,\s\up12(→))即可；對于(2)，若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．【自主解答】(1)證明：∵Aeq\o(B,\s\up12(→))＝e1＋e2，Beq\o(D,\s\up12(→))＝Beq\o(C,\