數(shù)學建模-微分方程模型

微分方程模型5.1微分方程模型及幾個簡單實例

5.2

傳染病模型5.3

經(jīng)濟增長模型5.4

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.5

藥物在體內(nèi)的分布與排除5.6

香煙過濾嘴的作用5.7人口的預測和控制動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程.

分析對象特征的變化規(guī)律.

預報對象特征的未來性態(tài).

研究控制對象特征的手段.

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù).微分方程建模

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設.

按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.在研究實際問題時,我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系,但卻能容易得出包含變量導數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式,這就是微分方程.

不管是微分方程還是差分方程模型，有時無法得到其解析解(必要時,可以利用計算機求其數(shù)值解),既使得到其解析解,尚有未知參數(shù)需要估計，可利用參數(shù)估計方法.

而在實際問題中,討論問題的解的變化趨勢很重要，因此，以下知識只對其平衡點的穩(wěn)定性加以討論.5.1微分方程模型及幾個簡單實例如果則稱平衡點x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程

f(x)=0的實根x=x0為方程(3-1)的平衡點(或奇點).它也是方程(3-1)的解.設5.1.1微分方程模型穩(wěn)定性判別方法由于在討論方程(3-1)的來代替.穩(wěn)定性時，可用易知

x0也是方程(3-2)的平衡點.(3-2)的通解為關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：①若則x0是穩(wěn)定的；②

若則x0是不穩(wěn)定的.這個結(jié)論對于(4-1)也是成立的.關(guān)于常微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性,設代數(shù)方程組的實根x=x0,y=y0稱為方程(3-3)的平衡點,記作P0(x0,y0).它也是方程(3-3)的解.如果則稱平衡點P0是穩(wěn)定的.下面給出判別平衡點P0是否穩(wěn)定的判別準則.設

則當p＞0且q＞0時,平衡點P0是穩(wěn)定的；當p＜0或q＜0時,平衡點P0是不穩(wěn)定的.5.1.2

幾個簡單實例

實例1冷卻問題將溫度為T。=150℃的物體放在溫度為24℃的空氣中冷卻，經(jīng)10分鐘后，物體溫度降為T=100℃，問t=20分鐘時，物體的溫度是多少？解：設物體的溫度T隨時間t的變化規(guī)律為T=T(t)則由冷卻定律及條件可得：其中K>0為比例常數(shù)，負號表示溫度是下降的，這就是所要建立的數(shù)學模型。由于這個模型是一階線性微分方程，很容易求出其特解為由T(10)=100,可定出K≈0.05當t=20時

思考題：估計兇殺的作案時間某天晚上11:00時，在一住宅內(nèi)發(fā)現(xiàn)一受害者的尸體，法醫(yī)于11:35分趕到現(xiàn)場，立刻測量死者的體溫為30.8℃，一小時后再次測量體溫為29.1℃，法醫(yī)還注意到當時室溫為28℃，試估計受害者的死亡時間。

考古、地質(zhì)學等方面的專家常用14C測定法（通常稱碳定年代法）來估計文物或化石的年代。實例2碳定年代法14C的蛻變規(guī)律14C是一種由宇宙射線不斷轟擊大氣層，使大氣層產(chǎn)生中子，中子與氮氣作用生成的具有放射性的物質(zhì)。這種放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作為動物的食物，于是放射性碳被帶到各種動植物體內(nèi)。14C是放射性的，無論在空氣中還是在生物體內(nèi)他都在不斷蛻變，這種蛻變規(guī)律我們可以求出來。通常假定其蛻變速度與該時刻的存余量成正比。

設在時刻t（年），生物體中14C的存量為x(t),生物體的死亡時間記為t0=0,此時14C含量為x0,由假設，初值問題

（1.1）的解為（1.2）其中，為常數(shù)，k前面的符號表示14C的存量是遞減的。（1.2）式表明14C是按指數(shù)遞減的，而常數(shù)k可由半衰期確定，若14C的半衰期為T,則有

(1.3)將（1.3）代入（1.2）得

即有（1.4）碳定年代法的根據(jù)活著的生物通過新陳代謝不斷攝取14C,因而他們體內(nèi)的14C與空氣中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止攝取14C，因而尸體內(nèi)的14C由于不斷蛻變而不斷減少。碳定年代法就是根據(jù)生物體死亡之后體內(nèi)14C蛻變減少量的變化情況來判斷生物的死亡時間的。碳定年代法的計算由（1.4）解得

(1.5)由于x(0),x(t)不便于測量，我們可把(1.5)作如下修改.對(1.2)式兩邊求導數(shù)，得

(1.6)而(1.7)(1.6)和(1.7)兩式相除，得將上式代入(1.5)，得

(1.8)這樣由(1.8)可知，只要知道生物體在死亡時體內(nèi)14C的蛻變速度和現(xiàn)在時刻t的蛻變速度,就可以求得生物體的死亡時間了，在實際計算上，都假定現(xiàn)代生物體中14C的蛻變速度與生物體死亡時代生物體中14C的蛻變速度相同。馬王堆一號墓年代的確定馬王堆一號墓于1972年8月出土，其時測得出土的木炭標本的14C平均原子蛻變數(shù)為29.78/s,而新砍伐木頭燒成的木炭中14C平均原子蛻變數(shù)為38.37/s,又知14C的半衰期為5568年，這樣，我們可以把,，T=5568年代入(1.8)，得這樣就估算出馬王堆一號墓大約是在2000多年前。兩個注記（1）馬王堆中的古代科技之謎素紗蟬衣：兩件輕薄的衣服，絲綢，極輕且兩千年不腐，南京云錦研究所接受國家科技攻關(guān)，用了二十年時間，于1990年成功研制出類似素紗蟬衣的復制品，但該復制品比漢代的還重50克，已不可能再輕。女尸千年不腐：病理知識：女尸解剖顯示患有非常嚴重的冠心??；肺部有肺結(jié)核的鈣化，肺部鈣化是肺結(jié)核痊愈后的表現(xiàn)。2000年后的今天，要想控制肺結(jié)核，除自身的抵抗力要強外，還要有好的營養(yǎng)，要想痊愈是很困難的。兩處膽結(jié)石，其一在膽總管，有蠶豆大，膽道被堵得水泄不通。三種寄生蟲，其中竟有血吸蟲，其癥狀應為腹脹如鼓，骨瘦如柴，但該女子皮下脂肪異常豐滿，顯然血吸蟲被有效的控制住了。該西漢貴婦生前病魔纏身，但從其遺體上未發(fā)現(xiàn)長期臥床養(yǎng)病的跡象。一個同時患有這么多疾病的人，能夠長期穩(wěn)定控制病情，在今天也是一個奇跡，說明漢代醫(yī)術(shù)已達到相當高的水平。2）碳定年代法的不足現(xiàn)在，14C年代測定法已受到懷疑，在2500----10000年前這段時間中與其他斷代法的結(jié)果有差異。1966年，耶魯實驗室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報告中指出了這一時期使14C年代測定產(chǎn)生誤差的根本原因。在那個年代，宇宙射線的放射強度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。這兩位研究人員的結(jié)論出自對Brist/econe松樹所作的14C年代測定的結(jié)果，因為這種松樹同時還提供了精確的年輪斷代。他們提出了一個很成功的誤差公式，用來校正根據(jù)14C斷代定出的2300----6000年前這期間的年代：真正的年代=14C年×1.4—900。實例3范.梅格倫偽造名畫案第二次世界大戰(zhàn)比利時解放后，荷蘭保安機關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學者中間》。當他的工作快完成時，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。為了審理這一案件，法庭組織了一個由化學家、物理學家、藝術(shù)史學家等參加的國際專門小組，采用了當時最先進的科學方法，動用了X-光線透視等，對顏料成份進行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因為，

Vanmeegren在獄中作的畫實在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學的科學家們用微分方程模型解決了這一問題。原理著名物理學家盧瑟夫（Rutherford）指出：

物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設時刻的原子數(shù)為，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測出或算出，只要知道就可算出這正是問題的難處，下面是間接確定的方法。斷代。油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補足的為止。鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無放射性）假設（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀的油畫感興趣，時經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。（2）釙的半衰期為138天容易測定，鉛210的半衰期為22年，對要鑒別的300多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變數(shù)與鉛210的衰變數(shù)可視為相等。建模設時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為，為制造時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量。為鉛210的衰變常數(shù)。則油畫中鉛210含量求解均可測出?？伤愠霭足U中鉛的衰變率，再于當時的礦物比較，以鑒別真?zhèn)?。礦石中鈾的最大含量可能2~3%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超過3萬個原子，則礦石中含鈾量超過4%。測定結(jié)果與分析畫名釙210衰變原子數(shù)鐳226衰變原子數(shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0若第一幅畫是真品，鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品。同理可檢驗第2，3，4幅畫亦為贗品，而后兩幅畫為真品。在影視廳或報告廳，經(jīng)常會為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場內(nèi)的觀眾都在朝臺上看，如果場內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學模型設計良好的報告廳地面坡度曲線。實例4觀眾廳地面設計1問題的提出建立坐標系oo—處在臺上的設計視點bb—第一排觀眾的眼睛到x軸的垂直距離xyadda—第一排觀眾與設計視點的水平距離d—相鄰兩排的排距—視線升高標準x—表示任一排與設計視點的水平距離求任一排x與設計視點o的豎直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無遮擋要求。問題2問題的假設觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。同一排的座位在同一等高線上。每個坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。每個坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個座位的人的頭頂擦過即可。3建模設眼睛升起曲線應滿足微分方程初始條件obxyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。2）選擇某排和相鄰排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相似于D再計算相似于4模型求解微分不等式（比較定理）設函數(shù)定義在某個區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式則初值問題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足所求曲線的近似曲線方程（折衷法）折衷法5總結(jié)與討論有時只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型討論obxyadd1）視點移動時升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯位。3）衡量經(jīng)濟的指標？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。5.2傳染病模型

描述傳染病的傳播過程.

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.

預報傳染病高潮到來的時刻.

預防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學角度分析各種傳染病的特殊機理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學模型.背景與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、)基本方法

已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為.2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病.建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).mls/=模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過原有的病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dtO1>1Oti>11-1/iOt1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲線增長接觸數(shù)

(感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù))i(t)單調(diào)下降模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.SIR模型假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為.2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程.模型4SIR模型無法求出的解析解先做數(shù)值計算,再在相平面上研究解析解性質(zhì)(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的數(shù)值解i(t)從初值增長到最大;t,i0.s(t)單調(diào)減;t,s0.04.設=1,=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB計算作圖i(t),s(t)及i(s)si相軌線i(s)模型4消去dtSIR模型的相軌線分析相軌線的定義域相軌線11siOD在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析si1O1D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫忽略i0模型4預防傳染病蔓延的手段

降低日接觸率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最終未感染比例s和病人比例最大值im為度量指標.1/s0i0si10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200,s0(r0

)s

,ims

,im模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0iOP1i00,s01小,s0

1提高閾值1/s0-1/=降低被傳染人數(shù)比例x傳染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)區(qū)分病人和健康人考慮治愈模型3,4:描述傳播過程,分析變化規(guī)律,

預報高潮時刻,預防蔓延手段.模型4:數(shù)值計算與理論分析相結(jié)合.5.3

經(jīng)濟增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟增加投資增加勞動力提高技術(shù)

建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系.

研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大.

調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長.1）道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動力L(t)技術(shù)f(t)=f0(常數(shù))模型假設靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z隨著

y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)O1）

Douglas生產(chǎn)函數(shù)解釋含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q,資金K,勞動力L,技術(shù)f0~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1）

Douglas生產(chǎn)函數(shù)~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值~單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值w,r,K/L求資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大.資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動力付工資w2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件(動態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應滿足的條件模型假設

投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴大再生產(chǎn))

勞動力相對增長率為常數(shù)Bernoulli方程3)經(jīng)濟增長的條件產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件~勞動力相對增長率每個勞動力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟增長的條件勞動力增長率小于初始投資增長率5.4正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭.只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱.兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加.戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān).建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例.第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結(jié)局的模型.一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力.

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比.

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t).f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率O正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系.平方律模型乙方勝游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積O游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型O混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力!設x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)5.5

藥物在體內(nèi)的分布與排除

藥物進入機體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量).

血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設計.

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學.

建立房室模型——藥物動力學的基本步驟.

房室——機體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移.

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等).模型假設

中心室(1)和周邊室(2),容積不變.

藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率與該室血藥濃度成正比.

藥物從體外進入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外.模型建立

中心室周邊室給藥排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2轉(zhuǎn)移線性常系數(shù)非齊次方程對應齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時注射劑量D0的藥物進入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零0tT

藥物以速率k0進入中心室3.口服或肌肉注射相當于藥物(劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室.吸收室藥量x0(t)吸收室中心室D0參數(shù)估計各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,,n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法確定A,由較小的用最小二乘法確定B,參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除

建立房室模型,研究體內(nèi)血藥濃度變化過程,確定轉(zhuǎn)移速率、排除速率等參數(shù),為制訂給藥方案提供依據(jù).

機理分析確定模型形式，測試分析估計模型參數(shù).藥物在體內(nèi)的分布與排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非線性(一室)模型c1較小時近似于線性~一級排除過程如c1較大時近似于常數(shù)~零級排除過程

過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系?

人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中什么因素影響大，什么因素影響小?模型分析

分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學模型.

設想一個“機器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境在整個過程中不變.問題5.6

香煙過濾嘴的作用模型假設定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1.2）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=1.3）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和.4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>u.Q~吸一支煙毒物進入人體總量模型建立Ot=0,x=0，點燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)流量守恒t時刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)考察t內(nèi)毒物密度的增量(單位長度煙霧毒物被吸收部分)4)計算QQ~吸一支煙毒物進入人體總量結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，,l2~負指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用帶過濾嘴不帶過濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉.提高-b與加長l2，效果相同.香煙過濾嘴的作用

在基本合理的簡化假設下，用精確的數(shù)學工具解決一個看來不易下手的實際問題.

引入兩個基本函數(shù)：流量q(x,t)和密度w(x,t)，運用物理學的守恒定律建立微分方程，構(gòu)造動態(tài)模型.

對求解結(jié)果進行定性和定量分析，得到合乎實際的結(jié)論.背景

年份1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年份19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長5.7人口的預測和控制做出較準確的預報建立人口數(shù)學模型指數(shù)增長模型——馬爾薩斯1798年提出常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長.與常用公式的一致rtextx0)(=?指數(shù)增長模型的應用及局限性

與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合.

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長預測.

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律.

不能預測較長期的人口增長過程.19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型——邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx