工程力學(xué)課件平面力系的簡(jiǎn)化與平衡

工程力學(xué)課件平面力系的簡(jiǎn)化與平衡第一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日第一講：平面匯交力系、平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡

第二講：平面任意力系的簡(jiǎn)化與平衡

第三講：考慮摩擦?xí)r的平衡問題和重心

習(xí)題課第二章平面力系第二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日目的要求：掌握利用平面匯交力系、平面力偶系平衡方程 基本形式求解平衡問題。教學(xué)重點(diǎn)：平衡方程的正確運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平衡方程的理解。第一講：平面匯交力系、平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡

第三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日空間力系平面力系匯交力系力偶系平行力系任意力系第四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日一、平面力系的概念：平面力系:如果作用在物體上的所有力(包括力偶)均作用于同一平面內(nèi),這樣的力系稱為平面力系。

平面匯交力系:同一平面內(nèi)，若所有力的作用線都匯交于一點(diǎn)，這類力系稱為平面匯交力系。平面平行力系:同一平面內(nèi)，若所有的力的作用線均相互平行，這類力系稱為平面平行力系。平面力偶系：

平面力系僅由力偶組成。平面任意力系:同一平面內(nèi)，若力系中的力既不一定平行，又不匯交于一點(diǎn)，這類力系稱為平面任意力系。第五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日二、平面匯交力系的簡(jiǎn)化平面匯交力系的簡(jiǎn)化有兩種方法：幾何法與解析法1、幾何法簡(jiǎn)化的理論依據(jù)是力的平行四邊形法則或三角形法則，將各力逐一相加，可得到從第一個(gè)力到最后一個(gè)力首尾相接的多邊形，多邊形的封閉邊即為該匯交力系的合力。注意：用力的多邊形求匯交力系的合力時(shí)，合力的指向是從第一個(gè)力的起點(diǎn)（箭尾）指向最后一力的終點(diǎn)（箭頭）第七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：平行匯交力系的合力是將力系中各力矢量依次首尾相連所得的折線由起點(diǎn)向終點(diǎn)作有向線段，封閉邊表示該力系合力的大小和方向，且合力的作用線通過匯交點(diǎn)。合力表達(dá)式第八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日2、解析法解析法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)，一個(gè)力在坐標(biāo)軸上的投影合力公式為：多個(gè)力組成的力系在坐標(biāo)軸上的投影合力公式為：第九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日看下書中P24例題1和2，來(lái)鞏固下平面匯交力系求合力的幾何法與解析法。第十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日三、平面匯交力系的平衡平衡的幾何條件：力多邊形的封閉邊應(yīng)不存在，力的多邊形必自行封閉。力的多邊形自行封閉式平面匯交力系平衡的幾何條件。該方法一般不常用的，常利用解析法，用平衡方程來(lái)解未知力。第十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日平衡的解析條件：OF3F4yF4F1F2第十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日利用平衡方程解析法求解未知力的步驟：選取研究對(duì)象，畫受力圖建立直角坐標(biāo)系列平衡方程并求解第十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日例1：如圖，已知G＝100N，求斜面和繩子的約束力第十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，畫受力圖并建立坐標(biāo)系如圖a）；列平衡方程：若坐標(biāo)系如圖b)建立，平衡方程如何寫？第十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日解：1）取滑輪B軸銷作為研究對(duì)象。2）畫出受力圖（b)。例2

利用鉸車?yán)@過定滑輪B的繩子吊起一重P=20kN的貨物，滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿AB和斜剛桿BC支持于點(diǎn)B[圖(a)]。不計(jì)鉸車的自重，試求桿AB和BC所受的力。第十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日3）列出平衡方程：4）聯(lián)立求解，得

反力SBC為負(fù)值，說(shuō)明該力實(shí)際指向與圖上假定指向相反。即桿BC實(shí)際上受壓力。

第十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日四、平面力偶系的合成與平衡平面力系中僅包含力偶，這樣的平面力系為平面力偶系。在一個(gè)平面內(nèi)有n個(gè)力偶作用時(shí)，有以下公式：平面力偶系平衡的必要充分條件是合力偶等于零，即力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：只有一個(gè)方程，因此只能求解一個(gè)未知量為什么？第十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日例3

圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為

M1和M2的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不計(jì)桿重，試求M1和M2間的關(guān)系。解：桿AB為二力桿。第十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日分別寫出桿AO和BD的平衡方程：由得第二十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：(沒有做）如圖所示為一夾具中的連桿增力機(jī)構(gòu)，主動(dòng)力F作用于A點(diǎn)，夾緊工件時(shí)連桿AB與水平線的夾角ɑ＝15?。試求夾緊力FN與主動(dòng)力F的比值（摩擦不計(jì)）。第二十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)：P582-40第二十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程 基本形式求解平衡問題。了解靜定與靜不定結(jié)構(gòu)以及桁架結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平衡方程的正確運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平衡方程的理解，對(duì)靜定和靜不定問題的理解。第二講、平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡第二十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)平面任意力系如圖（a）所示將圖（b）所示平面匯交力系和平面力偶系合成，得：主矢：主矩：圖（a）一、平面任意力系的簡(jiǎn)化第二十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日如圖（c）所示主矢FR’和主矩MoFR’≠0Mo=0FR’

=0Mo≠0FR’

≠0Mo≠0第二十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日平衡條件主矢為零：FR’=0主矩為零：Mo=0 即：其他形式：二矩式：三矩式：A、B、C不共線二、平面任意力系的平衡第二十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日平面匯交力系平衡方程平面力偶系平衡方程平面平行力系平衡方程各力不得與投影軸垂直兩點(diǎn)連線不得與各力平行第二十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日已知：尺寸如圖；求：起重機(jī)滿載和空載時(shí)不翻倒，平衡載重P3；解：取起重機(jī)，畫受力圖.為不安全狀況解得P3min=75kN例1（1）滿載時(shí)，第二十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日空載時(shí)，為不安全狀況解得P3max=350kN第二十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日例2：已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B處支座反力解：1）畫受力圖，并建立坐標(biāo)系2）列方程第三十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日三、靜定與超靜定問題靜定與靜不定概念：

1.靜定問題——當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)的問題。2.靜不定問題——當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)，不能求出全部未知量的問題。靜定靜不定靜不定靜不定第三十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日四、平面桁架桁架：兩端用鉸鏈彼此相連受力后幾何形狀不變的桿系結(jié)構(gòu)第三十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日簡(jiǎn)化計(jì)算模型桿件節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)桿件節(jié)點(diǎn)桿件節(jié)點(diǎn)桿件節(jié)點(diǎn)：桿件間的結(jié)合點(diǎn)。第三十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日1．為簡(jiǎn)化桁架的計(jì)算，工程實(shí)際采用以下幾個(gè)假設(shè)：1）桁架的桿件都是直桿；2）桁架的桿件用光滑鉸鏈連接；3）桁架所受載荷都作用在節(jié)點(diǎn)上；4）不計(jì)桿件重量或重量平均分配在桿件的兩端節(jié)點(diǎn)上。

即桁架中各桿均為二力桿。2．靜力學(xué)所研究的桁架均為靜定桁架，即各桿件內(nèi)力可由靜力平衡方程全部求出。桁架的內(nèi)力計(jì)算（了解）第三十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日1、節(jié)點(diǎn)法：桁架的每個(gè)節(jié)點(diǎn)受一個(gè)匯交力系作用，為求解每個(gè)桿件的內(nèi)力，逐個(gè)取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，即可由已知力求得全部桿件內(nèi)力桁架的求解方法靜定桁架內(nèi)力的求解方法有節(jié)點(diǎn)法和截面法。2、截面法:當(dāng)求桁架構(gòu)件上某個(gè)桿件內(nèi)力時(shí)，可以根據(jù)要求選取一個(gè)截面，把桁架截開，被截桿件截口處作用將用內(nèi)力代替，再考慮任意部分的平衡，這樣求出所要求的內(nèi)力第三十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日解：①研究整體，求支座反力節(jié)點(diǎn)法已知：如圖

P=10kN，求各桿內(nèi)力？②依次取A、C、D節(jié)點(diǎn)研究，計(jì)算各桿內(nèi)力。第三十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日節(jié)點(diǎn)D的另一個(gè)方程可用來(lái)校核計(jì)算結(jié)果恰與相等,計(jì)算準(zhǔn)確無(wú)誤。

第三十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日解：研究整體求支反力①截面法已知：如圖，h，a，P

求：4，5，6桿的內(nèi)力。②選截面I-I

，取左半部研究A'II第三十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)：1、構(gòu)件的支承及荷載如圖所示，求支座A，B處的約束力。2、P562-32另外2-37（a）圖自愿做連同上兩節(jié)課的作業(yè)：P19：1-19題(a)、(i)；1-20題(e)、(h)；1-21題(d)P582-40周一上午交上來(lái)

第三十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

前面所考慮的問題是物體間接觸表面看作是光滑的,但是實(shí)際生產(chǎn)和生活中，摩擦是客觀存在的，有時(shí)摩擦是不能忽視的，必須考慮和分析。摩擦有它有利的一面，如摩擦制動(dòng)器；皮帶傳動(dòng)等正是應(yīng)用這一點(diǎn)。摩擦也有它有害的一面，消耗能量，造成機(jī)器磨損等。一、摩擦分類1）根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)類型分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦；2）根據(jù)物體表面是否存在相互運(yùn)動(dòng)分為動(dòng)摩擦和靜摩擦本節(jié)主要介紹靜摩擦及考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題第三講：考慮摩擦?xí)r的平衡問題第四十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

兩個(gè)表面粗糙的物體，當(dāng)其接觸表面之間有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，彼此作用有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，即滑動(dòng)摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。（1）靜滑動(dòng)摩擦力

在粗糙的水平上放置一重G

的物體，用水平繩繞過滑輪拉重物，繩的另一端加重為F的砝碼。1.滑動(dòng)摩擦分析第四十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日可見，靜摩擦力的大小隨拉力F的增大而增大，重物受拉力F

作用，當(dāng)F由零值逐漸增加但不是很大時(shí)，物體仍保持靜止,支承面對(duì)物體除有法向約束反力FN

外，還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向力，此力即為靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力，以Fs

表示，方向向左。

可見，靜摩擦力就是接觸面對(duì)物體作用的切向約束反力，它的方向與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)相反，它的大小需用平衡條件確定。此時(shí)有：第四十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日靜摩擦力與一般約束反力不同，它并不是隨力F的增加而無(wú)限度的增加。當(dāng)力F的大小達(dá)到一定數(shù)值時(shí)物體處于將要滑動(dòng)，但尚未開始滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)，力F

再增大一點(diǎn)，物體將開始滑動(dòng)。當(dāng)物體處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱為最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F

再繼續(xù)增大。但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動(dòng)。（2）最大靜滑動(dòng)摩擦力

靜摩擦力的大小隨主動(dòng)力的情況而改變，但介于零和最大值之間，即0<Fs<

Fmax

稱為靜摩擦定律（庫(kù)倫定律）fs靜稱為靜摩擦系數(shù)，它是無(wú)量綱數(shù)實(shí)驗(yàn)證明：最大靜摩擦力大小與兩種物體間的正壓力（即法向反力）成正比，即：

第四十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已達(dá)到最大值時(shí)，主動(dòng)力再繼續(xù)增加，接觸面之間將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)接觸物體之間仍有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力，以Fd表示。實(shí)驗(yàn)表明：動(dòng)摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即：（3）動(dòng)滑動(dòng)摩擦力

實(shí)際上動(dòng)摩擦系數(shù)還與接觸物體間相對(duì)滑動(dòng)的速度大小有關(guān)，不同材料物體，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)速度變化規(guī)律也不同，當(dāng)滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦系數(shù)可近似認(rèn)為是個(gè)常數(shù)。f是動(dòng)摩擦系數(shù)，它是無(wú)量綱數(shù)，與接觸物體材料和表面情況有關(guān)。動(dòng)摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。通常動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)第四十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)F=0時(shí)，F(xiàn)s=0當(dāng)0<F<

Fmax

時(shí)，物體平衡當(dāng)F=

Fmax

時(shí)，物體處于臨界平衡狀態(tài)平衡當(dāng)F>Fmax

時(shí)，物體滑動(dòng)，第四十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日二、摩擦角與自鎖

(1)摩擦角

有摩擦?xí)r，支撐面對(duì)物體的作用力：有法向反力FN和摩擦力Fs，二力的合力FRFR稱為全約束反力，簡(jiǎn)稱為全反力；設(shè)FR與FN與夾角為α，滿足：臨界平衡時(shí)，F(xiàn)s達(dá)到最大靜摩擦力Fsmax，夾角α達(dá)到最大值ψ全約束反力和法線方向的夾角最大值稱為摩擦角。它滿足：第四十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

(2)摩擦錐當(dāng)物體所受外力改變時(shí)，滑動(dòng)趨勢(shì)改變，全約束反力的方位也改變。最大全反力作用線相當(dāng)于以作用點(diǎn)為頂點(diǎn)，半錐角為ψ的圓錐母線。這個(gè)圓錐稱為摩擦錐。第四十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)主動(dòng)力合力的作用線在ψ角內(nèi)，無(wú)論主動(dòng)力Q多大，都能使物體保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。如何判斷自鎖，首先計(jì)算主動(dòng)力合力作用線與接觸面法線的夾角θ，如果θ<ψ時(shí)，自鎖；如果θ>ψ時(shí)，不自鎖。自鎖問題工程應(yīng)用:如千斤頂，螺紋聯(lián)結(jié)、自動(dòng)卸貨車都應(yīng)用此原理。當(dāng)主動(dòng)力的合力作用線在摩擦錐之外，物體便不能平衡。

(3)自鎖

物體平衡時(shí)，靜摩擦力0<Fs<

Fsmax，全反力方向在摩擦錐內(nèi)。第四十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日考慮摩擦?xí)r平衡問題分析的步驟：1）取研究對(duì)象，受力分析（增加了摩擦力）2）建立坐標(biāo)系3）分析力系，達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)補(bǔ)充方程4）解析法求解（平衡存在一定范圍）三、考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題第四十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日用繩以P=100N拉力拉一個(gè)重W=500N的物體，物體與地面摩擦系數(shù)為f=0.2,繩與地面夾角為α=300繩求：（1）物體平衡時(shí)，摩擦力F的大??；（2）物體滑動(dòng)時(shí)的最小拉力Pmin.解：

(1)1）取重物為研究對(duì)象、受力分析

2）建立坐標(biāo)系3）分析力系有摩擦的平面匯交力系例第五十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日4）解析法求解第五十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日（2）4）分析力系，本力系為有摩擦的平面匯交力系，處于臨界狀態(tài)5)解析法求解第五十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

1．平面任意力系的簡(jiǎn)化

主矢F'R=∑F'=∑F，與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。

主矩MO=∑MO（F），與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。

力系平衡為F'R=0，MO=0。

小結(jié)

第五十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日2．平面力系的平衡方程式2、平面力系平衡程平面任意力系平面匯交力系平面平行力系∑Fx＝0∑Fy＝0∑MO(F)＝0∑Fx＝0∑Fy＝0∑Fx＝0∑MO(F)＝0

3．求解物體系統(tǒng)平衡問題的步驟

1）適當(dāng)選取研究對(duì)象，畫出各研究對(duì)象的受力圖

2）建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系2）分析各受力圖，利用平衡方程求解第五十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

4、考慮摩擦?xí)r的平衡問題對(duì)靜摩擦力、最大靜摩擦力、滑動(dòng)摩擦力的概念的理解。摩擦角和自鎖現(xiàn)象平衡方程的應(yīng)用（注意加上摩擦力）第五十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日

在地球附近的物體都受到地球?qū)ζ涞奈?。重力作用于物體的每個(gè)微小部分。一個(gè)物體可以看成是許多微小部分構(gòu)成。如圖，每個(gè)微小物體的重力視為空間平行力系。整個(gè)物體的重力是這個(gè)空間力系的合力。物體無(wú)論如何放置，其合力作用線都通過物體上一個(gè)確定點(diǎn)。這一點(diǎn)稱為物體的重心。平行力系合力為：平行力系合力位置由合力矩定理確定四、重心一）、重心概念和重心坐標(biāo)公式第五十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日由合力矩定理第五十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日重心在物體中一個(gè)固定位置。可以將物體連同坐標(biāo)系繞旋轉(zhuǎn)900第五十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日重心公式當(dāng)物體的單位體積重量為常數(shù)γ體積重心第五十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日若物體是均質(zhì)等厚平板：則消去厚度得到：掌握的重點(diǎn)其中稱為平面圖形對(duì)y軸的靜矩（截面一次矩）稱為平面圖形對(duì)x軸的靜矩（截面一次矩）第六十頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日二）、確定重心的方法1）查表法

對(duì)于均質(zhì)物體，或有對(duì)稱軸，對(duì)稱中心的物體的重心在相應(yīng)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心上。如圓錐，圓柱重心在其軸線上，球體重心在其幾何中心上。簡(jiǎn)單形體的重心可以由工程手冊(cè)查出。也可以進(jìn)行計(jì)算.第六十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日2）組合法(1)分割法例1

圖示平面圖形，求其形心。第六十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，2022年，8月28日解:根據(jù)圖形的組合情況，可將該截面分割成兩個(gè)矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分別為兩個(gè)矩形的形心。取坐標(biāo)系Oxy如圖所示，則矩形Ⅰ，Ⅱ的面積和形心坐標(biāo)分別為

A1=120mm×12mm＝1440mm2

x1＝6mm

y1＝60mm