第2章2.1,2.2地圖的數(shù)學基礎(chǔ)1

第二章地圖的數(shù)學基礎(chǔ)本章教學基本內(nèi)容地圖的控制網(wǎng)、坐標系地圖投影的定義、分類地圖常見的投影及應(yīng)用地圖投影的判別、選擇、變換地圖比例尺、、定向、分幅與編碼1、地球的自然表面

為了了解地球的形狀，讓我們由遠及近，地觀察一下地球的自然表面?！?.1地球橢球體與大地控制2.1.1地球橢球體浩瀚宇宙之中:

地球是一個表面光滑、藍色美麗的正球體。事實是：

地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。2、大地水準面與大地體

當海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。

在眾多的水準面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準面。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。

大地水準面的意義：1）地球形體的一級逼近 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當。2）起伏波動在制圖學中可忽略：

對大地測量和地球物理學有研究價值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當作正球體。3）重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。3、橢球體、正球體、參考橢球體在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。

它是一個規(guī)則的數(shù)學表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。

橢球體

三要素:

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。

對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體——參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。

通過數(shù)學方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數(shù)學上給出對地球形狀的三

級逼近。

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。

地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動、科學研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統(tǒng)的建立。2.1.2大地控制

一、地理坐標與大地坐標系1、地理坐標系

——用經(jīng)緯度表示地面點位的球面坐標。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度③地心經(jīng)緯度①

天文經(jīng)緯度：表示地面點在大地水準面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度λ：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度φ：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經(jīng)緯度：表示地面點在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l

、大地緯度

和大地高h

表示。大地經(jīng)度

B：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負。大地緯度L：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。③

地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。

在大地測量學中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標。在地圖學中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標。在地理學研究及地圖學的小比例尺制圖中，通常將橢球體當成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。地心坐標系與參心坐標系的區(qū)別原點定義以地球質(zhì)心（總地球橢球體中心）為原點的坐標系以參考橢球體中心為原點的坐標系橢球定位總地球橢球體中心與地球質(zhì)心重合總地球橢球面與全球大地水準面差距的平方和最小參考橢球體中心與地球質(zhì)心不重合參考橢球面與區(qū)域大地水準面差距的平方和最小橢球定向橢球短軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合橢球短軸與地球自轉(zhuǎn)軸平行適用范圍全球測圖區(qū)域（國家）測圖實例WGS84坐標系、2000國家大地坐標系,天文地理坐標系1954年北京坐標系、1980西安坐標系2、中國的大地坐標系統(tǒng)1）80西安坐標系

80西安坐標系選用1975年國際大地測量協(xié)會推薦的參考橢球：ICA-75橢球參數(shù)

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572）2000國家大地坐標系（地心）

2008年3月，由國土資源部正式上報國務(wù)院《關(guān)于中國采用2000國家大地坐標系的請示》，并于2008年4月獲得國務(wù)院批準。自2008年7月1日起，中國將全面啟用2000國家大地坐標系

采用的地球橢球參數(shù)如下：

長半軸a＝6378137m扁率f＝1/298.257222101地心引力常數(shù)GM＝3.986004418×1014m3s-2自轉(zhuǎn)角速度ω＝7.292l15×10-5rads-1

二、高程系中國56年黃海高程系高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準原點，其他各控制點的絕對高程均是據(jù)此推

算，稱為56年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準》取代《黃海平均海水面》命名為85高程基準，高程原點也是青島觀象山設(shè)立的水準原點。

青島觀象山水準原點三、大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng)

:按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標的地面點組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。

由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點遍布全國各地。等級邊長分布密度分布方向一等三角鎖20~25km鎖與鎖間距200km沿經(jīng)緯線分布二等三角網(wǎng)13km150km2有一控制點（1：10萬，1：5萬》3點）在一等加密三等三角網(wǎng)8km50km2有一控制點（1：5萬2~3點）在二等加密四等三角網(wǎng)4km20km2有一控制點（1：1萬~2點）在三等加密

高程控制網(wǎng)

:

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點組成，以水準測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。2.1.3地球橢球體的基本公式一、子午面曲率半徑，卯酉圈曲率半徑，平均曲率半徑和緯圈半徑

過橢球表面上任一A點作法線AL通過法線的平面所截成的截面叫做法截面。

過A點的法線AL同時又通過橢球體旋轉(zhuǎn)軸PP的法截面稱子午圈截面。

子午圈曲率半徑M（所有截面曲率半徑最小值） M=a（1-e2）/（1-e2

sin2φ）3/2

垂直于子午面胡截面稱卯酉面，卯酉圈曲率半徑N（所有截面曲率半徑最大值）N=a/（1-e2

sin2φ）1/2

緯度圈半徑rr=Ncosφ=acosφ/（1-e2

sin2φ）1/2二、地球的球體半徑

等面積球體半徑R=6371116m

等體積球體半徑R=6371110m三、子午線弧長和緯線弧長

緯線弧長：令φA=0，φB=φ則可得到赤道到緯度為φ的緯線間子午線弧長S：其中:如圖有無窮小梯形ABCD，其邊長是子午圈和平行圈的弧長：AB=CD=M

dφBC≈AD=rdλ四、地球橢球體表面上的梯形面積計算§2.2地圖投影的概述2.2.1、地圖投影的科學概念

1、地圖投影的基本概念指使地圖上各種地理要素與相應(yīng)的地面景物之間保持一定對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學基礎(chǔ)。包括：經(jīng)緯網(wǎng)、坐標網(wǎng)、大地控制點、比例尺等。解決兩個矛盾：

球面與平面之間的矛盾

大與小的矛盾

沿經(jīng)線直接展開?沿緯線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?

可見,地球橢球面是不可展開的面.無論如何展開都會產(chǎn)生褶皺,拉伸或斷裂等無規(guī)律變形,無法繪制科學,準確的地圖.因此解決球面與平面之間的矛盾——

將地球橢球面上的點轉(zhuǎn)換成平面上的點。大與小的矛盾——地圖投影比例尺地圖投影定義：研究解決把地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按照一定的數(shù)學法則轉(zhuǎn)繪到平面上的方法及其變形的科學問題。2、投影方式

1）平行投影平行投影

2）透視投影

透視投影3）廣義投影廣義投影3、地圖投影實質(zhì)

建立平面上的點（用平面直角坐標或極坐標表示）和地球表面上的點（用緯度和經(jīng)度表示）之間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學式表達這種關(guān)系，就是：

2.2.2變形橢圓

一、投影變形的概念

1、投影變形產(chǎn)生原因——地球的形狀圖4-82、投影變形的概念

地圖投影不能保持平面與球面之間在長度（距離）、角度（形狀）、面積等方面完全不變。地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格和地圖上比較:

幾種不同投影的經(jīng)緯線形狀球面經(jīng)緯網(wǎng)經(jīng)過投影之后，其幾何特征受到扭曲——地圖投影變形：長度（距離）、角度（形狀）、面積。二、變形橢圓

取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比為緯線長度比代入：X2+Y2=1，得微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即

以O(shè)'為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標軸的橢圓方程式。主方向（底索定律）：無論采用何種轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點至少有一對正交方向線，在投影平面上仍然保持其正交關(guān)系”。在投影后仍保持正交的一對線的方向成為主方向。取主方向為作為微分橢圓的坐標

長軸方向（極大值）a

短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m

；緯線方向n據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b主方向特殊方向通過變形橢圓形狀顯示變形特征結(jié)論：微分橢圓長、短半軸的大小，等于該點主方向的長度比。也就是說，如果一點上主方向的長度比（極值長度比）已經(jīng)確定，則微分橢圓的大小和形狀即可確定。通過變形橢圓顯示變形特征2.2.3投影變形的性質(zhì)和大小

1、長度比和長度變形：

投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。

m表示長度比，Vm表示長度變形

長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小2、面積比和面積變形

投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(=90)（主方向和經(jīng)向緯向一致）

P=m

·

n

·sin(

≠90)（阿波隆尼定理）

面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小

3、角度變形

投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。

最大角度變形可用極值長度比a,b表示長度變形是各種變形的基礎(chǔ)！2.2.3投影的分類

一、按地圖投影的變形性質(zhì)分類

1、等角投影:

投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

微分圓——正圓a=b不同點上長度比大小不同a=b=m=nP=ab=mn等角投影面積變形大，角度不變。適用于交通圖，洋流圖，風向圖等

2.2.3投影的分類

2、等積投影:

投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。面狀地物輪廓投影后面積不變。

ab=1長軸越長——短軸越短

在等積投影上以破壞圖形的相似性來保持面積上的相等。因此，角度變形最大。

適用于面積精度較高的自然地圖和社會經(jīng)濟地圖。Aitoffequalareamapprojection愛托夫等積投影Equal-AreaCylindricalProjection等積圓柱投影

3、任意投影:

投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。

適用于對面積精度和角度精度沒有什么特殊要求的，或?qū)γ娣e變形和角度變形都不希望太大的用戶，一般用于參考圖和中小學教學用圖。EquidistantAzimuthalProjection等距方位投影

二、

按地圖投影的構(gòu)成方法分類

1、幾何投影

源于透視幾何學原理，以幾何特征為依據(jù)，將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。1)方位投影:

以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。

根據(jù)球面與投影面的相對部位不同，分為正軸投影，橫軸投影，斜軸投影:

正軸方位投影，投影面與地軸相垂直；橫軸方位投影，投影面與地軸相平行；斜軸方位投影，投影面與地軸斜交。正軸方位投影正軸方位投影變形特點：①等變形線與緯圈一致；②在切方位投影中，切點上無變形，隨著遠離切點，變形增大；③在割方位投影中，在所割小圓上，角度變形與“切”的情況一樣，其他變形（長度變形與面積變形）則自所割小圓向內(nèi)與向外增大。

2）圓柱投影:

以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。

正軸：圓柱軸與地軸重合；橫軸：圓柱軸與地軸垂直；斜軸：圓柱軸與地軸斜交；

正軸圓柱投影TransverseMercatorProjection通用墨卡托橫軸圓柱投影正軸圓柱投影變形特點：

①變形隨緯度變化，與經(jīng)差無關(guān)；

②在切圓柱投影中，赤道無變形，變形自赤道向兩側(cè)隨緯度的增加而增大；

③在割圓柱投影中，在兩條標準緯線上無變形，變形自標準緯線向內(nèi)和向外增大。

適宜于低緯度沿緯線伸展的地區(qū)。

3）圓錐投影:

以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。

正軸：圓錐軸與地軸重合；橫軸：圓錐軸與地軸垂直；斜軸：圓錐軸與地軸斜交；圓錐投影正軸圓錐投影變形特點: