高中數(shù)學(xué)北師大版1第一章直線多邊形圓 省獲獎(jiǎng)

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二)平行線分線段成比例定理(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.如圖1-1-43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，BC＝100，那么EF的值是()圖1-1-43 【解析】因?yàn)锳B∥EF∥CD，所以eq\f(EF,AB)＝eq\f(CF,BC)，eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BC)，故eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(CF,BC)＋eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC,BC)＝1，即eq\f(EF,20)＋eq\f(EF,80)＝1，EF＝16.【答案】C2.如圖1-1-44，AD是△ABC的中線，E是CA邊的三等分點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，則AF∶FD為()圖1-1-44∶1 ∶1∶1 ∶1【解析】過(guò)D作DG∥AC交BE于G，如圖，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以DG＝eq\f(1,2)EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶eq\f(1,2)EC＝4∶1.【答案】C3.如圖1-1-45所示，梯形ABCD中，E是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交BD于G，交BC于F，下列結(jié)論：圖1-1-45①eq\f(EC,CD)＝eq\f(EF,AF)；②eq\f(FG,AG)＝eq\f(BG,GD)；③eq\f(AE,AG)＝eq\f(BD,DG)；④eq\f(AF,CD)＝eq\f(AE,DE)，其中正確的個(gè)數(shù)是()個(gè) 個(gè)個(gè) 個(gè)【解析】∵BC∥AD，∴eq\f(EC,CD)＝eq\f(EF,AF)，eq\f(FG,AG)＝eq\f(BG,GD)，∴①，②正確.由BC∥AD得eq\f(AF,EF)＝eq\f(CD,CE)，∴eq\f(AF,AF＋EF)＝eq\f(CD,CD＋CE).即eq\f(AF,AE)＝eq\f(CD,DE)，即eq\f(AF,CD)＝eq\f(AE,DE)，∴④正確.【答案】C4.如圖1-1-46，已知DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，BC＝20cm，則BF＝()圖1-1-46cm cmcm cm【解析】∵DE∥BC，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC).又∵EF∥AB，∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(AE,EC)，∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(AD,DB)＝eq\f(2,3).設(shè)BF＝2x，則FC＝3x，∴5x＝20，x＝4，∴BF＝2x＝8(cm).【答案】C5.如圖1-1-47，已知P，Q分別在BC和AC上，eq\f(BP,CP)＝eq\f(2,5)，eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，則eq\f(AR,RP)＝()圖1-1-47∶14 ∶3∶3 ∶14【解析】過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC，交BQ于M，則eq\f(AR,RP)＝eq\f(AQ,PM).∵PM∥AC且eq\f(BP,CP)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(QC,PM)＝eq\f(BC,BP)＝eq\f(7,2).又∵eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(AQ,PM)＝eq\f(QC,PM)·eq\f(AQ,QC)＝eq\f(7,2)×eq\f(4,3)＝eq\f(14,3).即eq\f(AR,RP)＝eq\f(14,3).【答案】B二、填空題6.如圖1-1-48：已知D為△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于G，交BC的延長(zhǎng)線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，則AE＝__________.圖1-1-48【解析】作DH∥BC交AB于H，則H為AB中點(diǎn)，∵AG∶BG＝1∶3，∴AG∶GH＝1∶1，∴G為AH的中點(diǎn)，又∵HD∥AE，∴AE＝HD＝eq\f(1,2)BC＝4.【答案】47.如圖1-1-49所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，已知AB，BD，DC的長(zhǎng)度分別是3,2,4，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________.圖1-1-49【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交AC于E.則eq\f(BD,DC)＝eq\f(AE,EC).又∵AD為∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠DAE.∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(DE,EC)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC).∴AC＝eq\f(AB·DC,BD)＝eq\f(3×4,2)＝6.【答案】68.如圖1-1-50，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，則S△ADE∶S四邊形DEGF∶S四邊形BCGF＝__________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990007】圖1-1-50【解析】∵AD∶DF＝2∶3，∴AD∶AF＝2∶5.∴S△ADE∶S△AFG＝4∶25.∵AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，∴AD∶AB＝2∶9.∴S△ADE∶S△ABC＝4∶81，∴S△ADE∶S四邊形DEGF∶S四邊形BCGF＝4∶21∶56.【答案】4∶21∶56三、解答題9.如圖1-1-51所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O，且EF∥AD.圖1-1-51(1)求證：OE＝OF；(2)求eq\f(OE,AD)＋eq\f(OE,BC)的值；(3)求證：eq\f(1,AD)＋eq\f(1,BC)＝eq\f(2,EF).【解】(1)證明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(AE,AB)，eq\f(OF,BC)＝eq\f(DF,DC)，eq\f(AE,AB)＝eq\f(DF,DC)，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(OF,BC)，即OE＝OF.(2)∵OE∥AD，∴eq\f(OE,AD)＝eq\f(BE,AB).由(1)知，eq\f(OE,BC)＝eq\f(AE,AB)，∴eq\f(OE,AD)＋eq\f(OE,BC)＝eq\f(BE,AB)＋eq\f(AE,AB)＝eq\f(BE＋AE,AB)＝1.(3)證明：由(2)知，∵eq\f(OE,AD)＋eq\f(OE,BC)＝1，∴eq\f(2OE,AD)＋eq\f(2OE,BC)＝2.由(1)，知EF＝2OE，∴eq\f(EF,AD)＋eq\f(EF,BC)＝2，∴eq\f(1,AD)＋eq\f(1,BC)＝eq\f(2,EF).10.如圖1-1-52，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別為對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，求證：EF∥BC且EF＝eq\f(1,2)(BC－AD).圖1-1-52【證明】法一：如圖，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠GBE，DE＝BE，∠AED＝∠GEB，∴△ADE≌△GBE，∴AE＝GE，AD＝BG.又∵AF＝CF，∴EF為△ACG的中位線，∴EF∥CG，EF＝eq\f(1,2)CG，即EF＝eq\f(1,2)(BC－AD).法二：如圖，取DC的中點(diǎn)M，連接EM.∵E是BD的中點(diǎn)，∴EM是△BDC的中位線，∴EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)BC.又∵AD∥BC，∴EM∥AD，∴EM與AC的交點(diǎn)必為AC的中點(diǎn).∵F是AC的中點(diǎn)，∴F在EM上且MFeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)AD.∴EF＝EM－FM＝eq\f(1,2)(BC－AD).能力提升]1.如圖1-1-53所示，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，則BO的長(zhǎng)為()圖1-1-53\f(10,3)cm cm\f(5,2)cm cm【解析】∵CD∥EF，OD＝DF，∴C為OE中點(diǎn)，∴OC＝CE.∵AB∥CD，AO＝OD，∴O為BC中點(diǎn)，∴BO＝OC，∴OB＝eq\f(1,3)BE＝eq\f(10,3)cm.【答案】A2.如圖1-1-54所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b，中位線EF＝m，則圖中MN的長(zhǎng)是()圖1-1-54\f(ma＋b,b－a) \f(mb－a,a－b)\f(mb－a,2a＋b) \f(mb－a,a＋b)【解析】∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)(AD＋BC)，即AD＋BC＝2m.又∵EM∥AD，E為AB的中點(diǎn)，∴EM＝eq\f(1,2)AD.同理EN＝eq\f(1,2)BC，∴MN＝EN－EM＝eq\f(1,2)(BC－AD)＝eq\f(1,2)·eq\f(2mBC－AD,AD＋BC)＝eq\f(mb－a,a＋b).【答案】D3.如圖1-1-55所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝，F(xiàn)分別為AD，BC上點(diǎn)，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_(kāi)_________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：96990008】圖1-1-55【解析】如圖，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)O，作OH⊥AB于點(diǎn)H.∴eq\f(x,x＋h1)＝eq\f(2,3)，得x＝2h1，eq\f(x＋h1,x＋h1＋h2)＝eq\f(3,4)，得h1＝h2.∴S梯形ABFE＝eq\f(1,2)×(3＋4)×h2＝eq\f(7,2)h1，S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋3)×h1＝eq\f(5,2)h1，∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.【答案】7∶54.如圖1-1-56，已知梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC且交對(duì)角線BD于O，AD＝DO＝p，BC＝BO