2023年全國高考新課標3卷文科數學試題(解析版)

高考真題高三數學第5頁共5頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課標3卷文科數學考前須知：1．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上。2．答復選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。答復非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。學@科網一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，那么A∩B=()A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}解析：選C2．(1+i)(2-i)=()A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i解析：選D3．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出局部叫棒頭，凹進局部叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是棒頭．假設如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，那么咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()解析：選A4．假設sinα=eq\f(1,3)，那么cos2α=()A．eq\f(8,9) B．eq\f(7,9) C．-eq\f(7,9) D．-eq\f(8,9)解析：選Bcos2α=1-2sin2α=1-eq\f(1,9)=eq\f(8,9)5．假設某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，那么不用現金支付的概率為()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7解析：選B不用現金支付的概率P=1-(0.45+0.15)=0.46．函數f(x)=eq\f(tanx,1+tan2x)的最小正周期為()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2) C．π D．2π解析：選Cf(x)=eq\f(tanx,1+tan2x)=eq\f(1,2)sin2x7．以下函數中，其圖像與函數y=lnx的圖像關于直線x=1對稱的是()A．y=ln(1-x) B．y=ln(2-x) C．y=ln(1+x) D．y=ln(2+x)解析：選BM(x,y)在y=lnx圖象上，那么N(2-x,y)在y=lnx關于x=1對稱的函數圖象上。8．直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點，點P在圓(x-2)2+y2=2上，那么ΔABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8] C．[eq\r(2),3eq\r(2)] D．[2eq\r(2),3eq\r(2)]解析：選A，線心距d=2eq\r(2),P到直線的最大距離為3eq\r(2)，最小距離為eq\r(2)，|AB|=2eq\r(2),Smin=2,Smax=69．函數y=-x4+x2+2的圖像大致為()解析：選D原函數為偶函數，設t=x2，t≥0，f(t)=-t2+t+2,應選D10．雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(2)，那么點(4,0)到C的漸近線的距離為()A．eq\r(2) B．2 C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：選Dc2=2a2,那么b=a，漸近線方程為x+y=0,由點到直線距離公式得d=2eq\r(2)11．ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設ΔABC的面積為eq\f(a2+b2-c2,4)，那么C=()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3) C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)解析：選Ca2+b2-c2=2abcosC,S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(a2+b2-c2,4)=eq\f(1,2)abcosCtanC=112．設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ΔABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，那么三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3) C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)解析：選B，ΔABC的邊長為a=6,ΔABC的高為3eq\r(3)，球心O到ΔABC的距離=eq\r(42-(2eq\r(3))2)=2,當D到ΔABC的距離為R+2=6時，D-ABC體積的最大，最大值=eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6=18eq\r(3)二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分．13．向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)．假設c//(2a+b)，那么λ=________．解析：2a+b=(4,2),c//(2a+b)那么4λ=2，λ=eq\f(1,2)14．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其效勞的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，那么最適宜的抽樣方法是________．解析：分層抽樣15．假設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\al\co2(2x+y+3≥0,,x-2y+4≥0,,x-2≤0,)),那么z=x+eq\f(1,3)y的最大值是________．解析：316．函數f(x)=ln(eq\r(1-x2)-x)+1，f(a)=4，那么f(-a)=________．解析：設g(x)=ln(eq\r(1-x2)-x),g(x)為奇函數，f(a)=g(a)+1,f(-a)=g(-a)+1,相加可得f(-a)=-2三、解答題：共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答．學科&網〔一〕必考題：共60分．17．〔12分〕等比數列{an}中，a1=1，a5=4a3．〔1〕求{an}的通項公式；〔2〕記Sn為{an}的前n項和．假設Sm=63，求m．解：〔1〕設{an}的公比為q，由得q4=4q2，解得q=0〔舍去〕，q=-2或q=2．故an=(-2)n-1或an=2n-1．〔2〕假設an=(-2)n-1，那么Sm=eq\f(1-(-2)m,3)．由Sm=63得(-2)m=-188，此方程沒有正整數解．假設an=2n-1，那么Sm=2n-1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．綜上，m=6．18．〔12分〕某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比擬兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間〔單位：min〕繪制了如下莖葉圖：〔1〕根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；〔2〕求40名工人完成生產任務所需時間的中位數，并將完成生產任務所需時間超過和不超過的工人數填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式〔3〕根據〔2〕中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d))，臨界值表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：〔1〕第二種生產方式的效率更高．理由如下：〔i〕由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘．因此第二種生產方式的效率更高．〔ii〕由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85．5分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73．5分鐘．因此第二種生產方式的效率更高．〔iii〕由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產方式的效率更高．〔iv〕由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少，因此第二種生產方式的效率更高．※以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．〔2〕由莖葉圖知m=eq\f(79+81,2)=80．列聯(lián)表如下：超過80不超過80第一種生產方式155第二種生產方式515〔3〕由于K2=eq\f(40(15×15-5×5)2,20×20×20×20)=10>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異．19．〔12分〕如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up6(?))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up6(?))上異于C，D的點．〔1〕證明：平面AMD⊥平面BMC；〔2〕在線段AM上是否存在點P，使得MC//平面PBD？說明理由．解：〔1〕由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．〔2〕當P為AM的中點時，MC∥平面PBD．證明如下：連結AC交BD于O．因為ABCD為矩形，所以O為AC中點．連結OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．20．〔12分〕斜率為k的直線l與橢圓C:eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1交于A，B兩點．線段AB的中點為M(1,m)(m>0)．〔1〕證明：k<-eq\f(1,2)；〔2〕設F為C的右焦點，P為C上一點，且eq\o(FP,\s\up5(→))+eq\o(FA,\s\up5(→))+eq\o(FB,\s\up5(→))=0．證明：2|eq\o(FP,\s\up5(→))|=|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|．解：〔1〕設A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么eq\f(x12,4)＋eq\f(y12,3)＝1，eq\f(x22,4)＋eq\f(y22,3)＝1．兩式相減，并由k=eq\f(y1-y2,x1-x2)得eq\f(x1+x2,4)+eq\f(y1+y2,3)k=0由題設知eq\f(x1+x2,2)=1，eq\f(y1+y2,2)=m，于是k=-eq\f(3,4m)．①由題設得0<m<eq\f(3,2)，故k<-eq\f(1,2)．〔2〕由題意得F(1,0)，設P(x3,y3)，那么(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)由〔1〕及題設得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m<0．又點P在C上，所以m=eq\f(3,4)，從而P(1,-eq\f(3,2))，|eq\o(FP,\s\up5(→))|=eq\f(3,2)．于是|eq\o(FA,\s\up5(→))|=eq\r((x1-1)2+y12)=eq\r((x1-1)2+3(1-\f(x12,4)))=2-eq\f(x1,2)同理|eq\o(FB,\s\up5(→))|=2-eq\f(x2,2)．所以|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|=3．故2|eq\o(FP,\s\up5(→))|=|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|，21．〔12分〕函數f(x)=eq\f(ax2+x-1,ex)．〔1〕求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程；〔2〕證明：當a≥1時，f(x)+e≥0．解：〔1〕f′(x)=eq\f(-ax2+(2a-1)x+2,ex)，f′(0)=2，．因此曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程是2x-y-1=0．〔2〕當a≥1時，f(x)+e=eq\f(ax2+x-1,ex)+e=eq\f(ax2+x-1+ex+1,ex)≥eq\f(x2+x-1+ex+1,ex)．令g(x)=x2+x-1+ex+1,，那么g′(x)=2x+1+ex+1．且，g′(-1)=0當x<-1時，g′(x)<0，g(x)單調遞減；當x>-1時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；所以g(x)≥g(-1)=0．因此f(x)+e≥0．〔二〕選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標系與參數方程]〔10分〕在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=cosθ,y=sinθ))〔θ為參數〕，過點(0,-eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點．〔1〕求α的取值范圍；〔2〕求AB中點P的軌跡的參數方程．解：〔1〕⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1．當α=eq\f(π,2)時，l與⊙O交于兩點．當α=eq\f(π,2)時，記tanα=k，那么l的方程為y=kx-eq\r(2)．l與⊙O交于兩點當且僅當|eq\f(\r(2),\r(1+k2))|<1，解得k<-1或k>1，即α∈(eq\f(π,4),eq\f(π,2))或α∈(eq\f(π,2),eq\f(3π,4))．綜上，α的取值范圍是(eq\f(π,4),eq\f(3π,4))．〔2〕l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4