信號(hào)與系統(tǒng)-連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性課件

一．系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定定義為任何有界的輸入將引起有界的輸出，簡(jiǎn)稱BIBO穩(wěn)定（BoundedInputBoundedOutput）連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充要條件為連續(xù)時(shí)間、因果LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)絕對(duì)可積，即系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的特性，與輸入信號(hào)無關(guān)。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題和系統(tǒng)因果性是密切相關(guān)的，這里只考慮因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一．系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定定義為任何有界的輸入將引起有界的1（1）當(dāng)H(s)的所有極點(diǎn)全部位于平面的左半平面，不在虛軸上，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)H(s)在平面虛軸上有一階極點(diǎn)，其余所有極點(diǎn)全部位于平面的左半平面，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。（3）當(dāng)H(s)含有右半平面的極點(diǎn)或虛軸上有二階或二階以上的極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布可以判斷連續(xù)時(shí)間、因果LTI系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷H(s)的假分式時(shí)，不穩(wěn)定。H(s)的真分式，有可能穩(wěn)定。由系統(tǒng)函數(shù)判斷連續(xù)時(shí)間、因果LTI系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性（1）當(dāng)H(s)的所有極點(diǎn)全部位于平面的左半平面，不在虛2二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)都是給定具體數(shù)值時(shí)，當(dāng)然可以應(yīng)用上面討論的方法，計(jì)算出系統(tǒng)函數(shù)的每一個(gè)極點(diǎn)，然后根據(jù)極點(diǎn)位置來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但在系統(tǒng)有參數(shù)是未定，或需要判斷系統(tǒng)參數(shù)滿足什么條件下系統(tǒng)是否穩(wěn)定一類問題時(shí)，應(yīng)用上面的方法就很不方便了。必須借助于其他穩(wěn)定性的判別方法勞斯（Rooth)判據(jù)霍爾維茨(Horwitz)判據(jù)簡(jiǎn)單詳細(xì)介紹這兩個(gè)判據(jù)，然后介紹由這兩個(gè)判據(jù)得到的適用3階或3階以下系統(tǒng)穩(wěn)定的簡(jiǎn)化的判別方法。二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)都是給定具體數(shù)值時(shí)，當(dāng)然可以3霍爾維茨（Hurwitz）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為其中，，與均為實(shí)常數(shù)。的各項(xiàng)系數(shù)都不等于零，并且全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：霍爾維茨多項(xiàng)式：

霍爾維茨（Hurwitz）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系4【例5-7-5】已知系統(tǒng)函數(shù)如下，試判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

；解：（1）分母多項(xiàng)式即有正系數(shù)有負(fù)系數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；（2）分母多項(xiàng)式中缺項(xiàng)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；【例5-7-5】已知系統(tǒng)函數(shù)如下，試判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？；5（3）分母多項(xiàng)式滿足穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件，但是否穩(wěn)定還需進(jìn)一步分解檢驗(yàn)。對(duì)進(jìn)行因式分解，得

可見，有一對(duì)正實(shí)部的共軛復(fù)根，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）分母多項(xiàng)式滿足穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件，但是否穩(wěn)定還需進(jìn)一步6羅斯（Routh）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為其中，，與均為實(shí)常數(shù)。

的分母多項(xiàng)式為將各項(xiàng)系數(shù)排成羅斯表，即羅斯陣列前兩行由多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成。

第三行以后的系數(shù)由遞推式計(jì)算。羅斯（Routh）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為7依此類推，將羅斯表列出。如果是階系統(tǒng)，行。

羅斯表就有依此類推，將羅斯表列出。如果是階系統(tǒng)，行。羅斯表就有8羅斯準(zhǔn)則為：（1）陣列中首列元素同號(hào)時(shí)，其根全位于左半平面，則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；右半平面根，右半平面根的個(gè)數(shù)（2）陣列中首列元素有變號(hào)時(shí)，則含有為變號(hào)次數(shù)，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。通常聯(lián)合使用羅斯—霍爾維茨準(zhǔn)則：（簡(jiǎn)化判別過程）(1)使用霍爾維茨準(zhǔn)則剔除不穩(wěn)定的系統(tǒng)。(2)滿足霍爾維茨準(zhǔn)則的，還不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定的性?？梢粤_斯準(zhǔn)則最終確定其穩(wěn)定性。羅斯準(zhǔn)則為：（1）陣列中首列元素同號(hào)時(shí)，其根全位于左半平面，9則有即羅斯陣列為【例5-7-6】已知某因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，應(yīng)該滿足什么條件？為使系統(tǒng)穩(wěn)定，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，有的系數(shù)必須全部大于解：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則故則有即羅斯陣列為【例5-7-6】已知某因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為10，【例5-7-7】對(duì)于三階系統(tǒng)，分母多項(xiàng)式為應(yīng)該滿足什么條件？為使系統(tǒng)穩(wěn)定，解：若，不難得出

，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為列寫由羅斯陣列使系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)羅斯判據(jù)即，【例5-7-7】對(duì)于三階系統(tǒng)，分母多項(xiàng)式為應(yīng)該滿足什么條件11二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（1）一階系統(tǒng)，顯然只要參數(shù)滿足即為穩(wěn)定。為臨界穩(wěn)定。（3）三階系統(tǒng)必須滿足條件且系統(tǒng)才是穩(wěn)定的（2）二階系統(tǒng)只要參數(shù)滿足即為穩(wěn)定。或?qū)儆跒榕R界穩(wěn)定。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的最高項(xiàng)系數(shù)為1三階以下系統(tǒng)穩(wěn)定的判定的充要條件二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（1）一階系統(tǒng)12二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖所示，求（1）系統(tǒng)函數(shù)H(s)（2）系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)K滿足的條件解：由Mason公式可以很容易求得系統(tǒng)函數(shù)為二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖所示，求解：由Ma13二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷由系統(tǒng)函數(shù)可知，系統(tǒng)屬于3階，所以系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足的條件為并且即二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷由系統(tǒng)函數(shù)可知，系統(tǒng)屬于3階，所14二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)運(yùn)放是理想的，求電路系統(tǒng)的：（1）系統(tǒng)函數(shù)（2）為使電路系統(tǒng)穩(wěn)定，求K值范圍（3）欲使電路臨界穩(wěn)定，求K值以及此時(shí)電路的沖激響應(yīng)h(t)

二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)運(yùn)放是理想的，求電路系統(tǒng)的：15二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷解：（1）對(duì)節(jié)點(diǎn)U3列寫節(jié)點(diǎn)方程同時(shí)有由上述兩方程容易求得二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷解：（1）對(duì)節(jié)點(diǎn)U3列寫節(jié)點(diǎn)方程同時(shí)有由16二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（2）顯然，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為（3）臨界穩(wěn)定時(shí)，，這時(shí)所以系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（2）（3）臨界穩(wěn)定時(shí)，17精品課件！精品課件！18精品課件！精品課件！19作業(yè)2013-6-20P1835-15，5-17作業(yè)2013-6-20P1835-15，5-120一．系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定定義為任何有界的輸入將引起有界的輸出，簡(jiǎn)稱BIBO穩(wěn)定（BoundedInputBoundedOutput）連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充要條件為連續(xù)時(shí)間、因果LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)絕對(duì)可積，即系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的特性，與輸入信號(hào)無關(guān)。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題和系統(tǒng)因果性是密切相關(guān)的，這里只考慮因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一．系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定定義為任何有界的輸入將引起有界的21（1）當(dāng)H(s)的所有極點(diǎn)全部位于平面的左半平面，不在虛軸上，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)H(s)在平面虛軸上有一階極點(diǎn)，其余所有極點(diǎn)全部位于平面的左半平面，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。（3）當(dāng)H(s)含有右半平面的極點(diǎn)或虛軸上有二階或二階以上的極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布可以判斷連續(xù)時(shí)間、因果LTI系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷H(s)的假分式時(shí)，不穩(wěn)定。H(s)的真分式，有可能穩(wěn)定。由系統(tǒng)函數(shù)判斷連續(xù)時(shí)間、因果LTI系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性（1）當(dāng)H(s)的所有極點(diǎn)全部位于平面的左半平面，不在虛22二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)都是給定具體數(shù)值時(shí)，當(dāng)然可以應(yīng)用上面討論的方法，計(jì)算出系統(tǒng)函數(shù)的每一個(gè)極點(diǎn)，然后根據(jù)極點(diǎn)位置來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但在系統(tǒng)有參數(shù)是未定，或需要判斷系統(tǒng)參數(shù)滿足什么條件下系統(tǒng)是否穩(wěn)定一類問題時(shí)，應(yīng)用上面的方法就很不方便了。必須借助于其他穩(wěn)定性的判別方法勞斯（Rooth)判據(jù)霍爾維茨(Horwitz)判據(jù)簡(jiǎn)單詳細(xì)介紹這兩個(gè)判據(jù)，然后介紹由這兩個(gè)判據(jù)得到的適用3階或3階以下系統(tǒng)穩(wěn)定的簡(jiǎn)化的判別方法。二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)都是給定具體數(shù)值時(shí)，當(dāng)然可以23霍爾維茨（Hurwitz）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為其中，，與均為實(shí)常數(shù)。的各項(xiàng)系數(shù)都不等于零，并且全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：霍爾維茨多項(xiàng)式：

霍爾維茨（Hurwitz）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系24【例5-7-5】已知系統(tǒng)函數(shù)如下，試判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

；解：（1）分母多項(xiàng)式即有正系數(shù)有負(fù)系數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；（2）分母多項(xiàng)式中缺項(xiàng)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；【例5-7-5】已知系統(tǒng)函數(shù)如下，試判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？；25（3）分母多項(xiàng)式滿足穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件，但是否穩(wěn)定還需進(jìn)一步分解檢驗(yàn)。對(duì)進(jìn)行因式分解，得

可見，有一對(duì)正實(shí)部的共軛復(fù)根，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）分母多項(xiàng)式滿足穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件，但是否穩(wěn)定還需進(jìn)一步26羅斯（Routh）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為其中，，與均為實(shí)常數(shù)。

的分母多項(xiàng)式為將各項(xiàng)系數(shù)排成羅斯表，即羅斯陣列前兩行由多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成。

第三行以后的系數(shù)由遞推式計(jì)算。羅斯（Routh）判斷法設(shè)階連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為27依此類推，將羅斯表列出。如果是階系統(tǒng)，行。

羅斯表就有依此類推，將羅斯表列出。如果是階系統(tǒng)，行。羅斯表就有28羅斯準(zhǔn)則為：（1）陣列中首列元素同號(hào)時(shí)，其根全位于左半平面，則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；右半平面根，右半平面根的個(gè)數(shù)（2）陣列中首列元素有變號(hào)時(shí)，則含有為變號(hào)次數(shù)，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。通常聯(lián)合使用羅斯—霍爾維茨準(zhǔn)則：（簡(jiǎn)化判別過程）(1)使用霍爾維茨準(zhǔn)則剔除不穩(wěn)定的系統(tǒng)。(2)滿足霍爾維茨準(zhǔn)則的，還不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定的性。可以羅斯準(zhǔn)則最終確定其穩(wěn)定性。羅斯準(zhǔn)則為：（1）陣列中首列元素同號(hào)時(shí)，其根全位于左半平面，29則有即羅斯陣列為【例5-7-6】已知某因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，應(yīng)該滿足什么條件？為使系統(tǒng)穩(wěn)定，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，有的系數(shù)必須全部大于解：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則故則有即羅斯陣列為【例5-7-6】已知某因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為30，【例5-7-7】對(duì)于三階系統(tǒng)，分母多項(xiàng)式為應(yīng)該滿足什么條件？為使系統(tǒng)穩(wěn)定，解：若，不難得出

，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為列寫由羅斯陣列使系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)羅斯判據(jù)即，【例5-7-7】對(duì)于三階系統(tǒng)，分母多項(xiàng)式為應(yīng)該滿足什么條件31二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（1）一階系統(tǒng)，顯然只要參數(shù)滿足即為穩(wěn)定。為臨界穩(wěn)定。（3）三階系統(tǒng)必須滿足條件且系統(tǒng)才是穩(wěn)定的（2）二階系統(tǒng)只要參數(shù)滿足即為穩(wěn)定。或?qū)儆跒榕R界穩(wěn)定。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的最高項(xiàng)系數(shù)為1三階以下系統(tǒng)穩(wěn)定的判定的充要條件二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（1）一階系統(tǒng)32二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖所示，求（1）系統(tǒng)函數(shù)H(s)（2）系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)K滿足的條件解：由Mason公式可以很容易求得系統(tǒng)函數(shù)為二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖所示，求解：由Ma33二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷由系統(tǒng)函數(shù)可知，系統(tǒng)屬于3階，所以系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足的條件為并且即二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷由系統(tǒng)函數(shù)可知，系統(tǒng)屬于3階，所34二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)運(yùn)放是理想的，求電路系統(tǒng)的：（1）系統(tǒng)函數(shù)（2）為使電路系統(tǒng)穩(wěn)定，求K值范圍（3）欲使電路臨界穩(wěn)定，求K值以及此時(shí)電路的沖激響應(yīng)h(t)

二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)運(yùn)放是理想的，