2023年廣東省江門市普通高中高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.2.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,3.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)在處取得極大值,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.5.若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.240 B.264 C.274 D.2826.若sin(α+3π2A.-12 B.-137.已知,則()A. B. C. D.8.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.9.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.210.已知拋物線:,點(diǎn)為上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),又知點(diǎn),則的最小值為()A. B. C.3 D.511.已知復(fù)數(shù)滿足,且,則()A.3 B. C. D.12.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線相切于點(diǎn),是上一點(diǎn)(不與重合),若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離的最小值是__________.14.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為________.15.已知,,且,則的最小值是______.16.已知函數(shù),則________;滿足的的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線的傾斜角).(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角α的大?。?8.(12分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,并且.(1)已知_______________,計(jì)算的面積;請(qǐng)①,②,③這三個(gè)條件中任選兩個(gè),將問題(1)補(bǔ)充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計(jì)分.(2)求的最大值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且軸,直線交軸于點(diǎn),,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線交橢圓于兩點(diǎn),且滿足,求的面積.20.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).(1)求,的值:(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求△的面積.21.(12分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對(duì)任意的有.22.(10分)已知滿足,且,求的值及的面積.(從①,②,③這三個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充到上面問題中,并完成解答.)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.2.B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.3.C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.4.B【解析】

由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)在處取得極大值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.時(shí),,時(shí),,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選:【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值,判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù),由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項(xiàng),是判斷圖像問題常見方法,有一定難度.5.B【解析】

將三視圖還原成幾何體,然后分別求出各個(gè)面的面積,得到答案.【詳解】由三視圖可得,該幾何體的直觀圖如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn),其中,,,所以表面積.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體,求組合體的表面積,屬于中檔題6.B【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式,靈活掌握公式是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.8.A【解析】

由題意求得c與的值,結(jié)合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】

由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線時(shí)和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.11.C【解析】

設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因?yàn)?則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.12.B【解析】

設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解,涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)拋物線,不妨設(shè),取,通過求導(dǎo)得,,再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則,得到,兩式聯(lián)立,求得點(diǎn)N的軌跡,再求解最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€,不妨設(shè),取,所以,即,所以,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過,所以,所以,所以,由,解得,所以點(diǎn)在直線上,所以當(dāng)時(shí),最小,最小值為.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.14.2【解析】

由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題.15.1【解析】

先將前兩項(xiàng)利用基本不等式去掉,,再處理只含的算式即可.【詳解】解:,因?yàn)?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號(hào)成立,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,但是由于有3個(gè)變量,導(dǎo)致該題不易找到思路,屬于中檔題.16.【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到,分和兩種情況討論可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,∵,∴?dāng)時(shí),滿足題意,∴;當(dāng)時(shí),由,解得.綜合可知:滿足的的取值范圍為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)當(dāng)時(shí),直線l方程為x=-1;當(dāng)時(shí),直線l方程為y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】

(1)對(duì)直線l的傾斜角分類討論,消去參數(shù)即可求出其普通方程;由,即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)條件Δ=0,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),直線l的普通方程為x=-1;當(dāng)時(shí),消去參數(shù)得直線l的普通方程為y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程,考查直線與曲線的關(guān)系,屬于中檔題.18.(1)見解析(2)1【解析】

(1)選②,③.可得,結(jié)合,求得.即可;若選①,②.由可得由,求得.即可;若選①,③,可得,又,可得,即可;(2)化簡(jiǎn),根據(jù)角的范圍求最值即可.【詳解】(1)若選②,③.,,,,又,.的面積.若選①,②.由可得,,,又,.的面積.若選①,③,,又,,可得,的面積.(2),當(dāng)時(shí),有最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理,三角三角恒等變形,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.19.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)離心率以及,即可列方程求得,則問題得解;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的,即可求得參數(shù),則三角形面積得解.【詳解】(1)設(shè),由題意可得.因?yàn)槭堑闹形痪€,且,所以,即,因?yàn)檫M(jìn)而得,所以橢圓方程為(2)由已知得兩邊平方整理可得.當(dāng)直線斜率為時(shí),顯然不成立.直線斜率不為時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立消去,得,所以,由得將代入整理得,展開得,整理得,所以.即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的方程,以及橢圓三角形面積的求解,屬綜合中檔題.20.(1);(2).【解析】

(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡(jiǎn),由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點(diǎn)為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設(shè)直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因?yàn)椋裕?,解得聯(lián)立,得,△=8>0設(shè),則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時(shí)考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21.(1)答案見解析.(2)答案見解析【解析】

(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.(2)首先證,令,求導(dǎo)可得單調(diào)遞增,由即可證出;再令,再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增,由即可證出.【詳解】(1)顯然時(shí),,故在單調(diào)遞減.(2)首先證,令,則單調(diào)遞增,且,所以再令,所以單調(diào)遞增

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