分析力學(xué)基礎(chǔ)-機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件

在空間：一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)位置需要3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即自由質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度。

在平面：需要2個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即質(zhì)點(diǎn)有2個(gè)自由度。受到運(yùn)動(dòng)約束：質(zhì)點(diǎn)自由度數(shù)將減少。完整約束：約束方程中不含速度項(xiàng)；穩(wěn)定（定常）約束：約束方程中不顯含時(shí)間t若具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，有s個(gè)完整約束方程：§1自由度和廣義坐標(biāo)則：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系總自由度數(shù)為：描述質(zhì)點(diǎn)系在空間位置的獨(dú)立參數(shù)，稱廣義坐標(biāo)；完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目等于自由度數(shù)目?！猎诳臻g：一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)位置需要3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即自由質(zhì)1由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平面質(zhì)點(diǎn)系，自由度為2，有1個(gè)約束方程：用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)ψ表示。若質(zhì)點(diǎn)限定在半球面上運(yùn)動(dòng)，球半徑為R，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的空間質(zhì)點(diǎn)系，自由度數(shù)為3，有1個(gè)約束方程：自由度數(shù)為：通常用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)ψ和θ表示自由度數(shù)為：×由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，是具有1個(gè)2用q1、q2、…qN表示質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)：對(duì)完整約束質(zhì)點(diǎn)系，各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。進(jìn)行變分計(jì)算：設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束×用q1、q2、…qN表示質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)：進(jìn)行變分計(jì)算：設(shè)n個(gè)3為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標(biāo)表示。同理：×為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標(biāo)表示。同理：×4在虛位移原理中，以質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo)的變分表示虛位移。這些虛位移通常不獨(dú)立，需要建立虛位移之間的關(guān)系。若直接用廣義坐標(biāo)變分來表示虛位移，廣義虛位移之間相互獨(dú)立，虛位移原理可表示為簡(jiǎn)潔形式?！?以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件×在虛位移原理中，以質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo)的變分表示虛位移?！?設(shè)：則：它的量綱由對(duì)應(yīng)的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義力δk為線位移，Qk

量綱是力的量綱；δk為角位移，Qk量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標(biāo)都是獨(dú)立的，廣義虛位移是任意的。上式成立必須滿足：質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是所有的廣義力都等于零×設(shè)：則：它的量綱由對(duì)應(yīng)的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義6質(zhì)點(diǎn)系具有N個(gè)自由度，有N個(gè)廣義力，則有N個(gè)平衡方程是互相獨(dú)立的，可聯(lián)立求解質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題。大多數(shù)工程機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，這只需要列出一個(gè)廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：法1.給質(zhì)點(diǎn)系一個(gè)廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個(gè)廣義虛位移等于零。法2.×質(zhì)點(diǎn)系具有N個(gè)自由度，有N個(gè)廣義力，則有N個(gè)平衡7質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都為有勢(shì)力，則勢(shì)能應(yīng)為各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，總勢(shì)能為V表示為：虛功為：虛位移原理表達(dá)為：在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能在平衡位置處的一階變分為零。×質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都為有勢(shì)力，則勢(shì)能應(yīng)為各質(zhì)8用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置。在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能可表示為廣義坐標(biāo)函數(shù)，總勢(shì)能為V為：廣義力為：在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢(shì)能對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。平衡條件為：法3:×用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置。在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能可表示為廣義9例1復(fù)合擺機(jī)構(gòu)，A、B點(diǎn)位置作用力F1,F2，F(xiàn).。用廣義坐標(biāo)表示A、B點(diǎn)位置，求平衡時(shí)作用力F1,F2，F(xiàn)與ψ1，ψ2關(guān)系。解：方法1：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，A,B2個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有4個(gè)自由度。兩個(gè)約束方程：該質(zhì)點(diǎn)系自由度數(shù)為：4-2=2,可以用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)。表示2）用廣義坐標(biāo)表示A,B×例1復(fù)合擺機(jī)構(gòu)，A、B點(diǎn)位置作用力F1,F2，F(xiàn).10××11××12（4）虛位移原理：直接計(jì)算：×（4）虛位移原理：直接計(jì)算：×13××14方法2：不變，給虛位移×方法2：不變，給虛位移×15不變，給虛位移選題×不變，給虛位移選題×16

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.如果假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力FIi=-miai，由達(dá)朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構(gòu)成平衡力系。整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束.應(yīng)用虛位移原理，得到：§3動(dòng)力學(xué)普遍方程×

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)17在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)所受的主動(dòng)力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬18例1圖示滑輪系統(tǒng)，動(dòng)滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質(zhì)量m2重物，滑輪和繩子重量以及輪軸摩擦忽略不計(jì)，求m2重物下降的加速度。

解：（1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，（2）受力分析系統(tǒng)的主動(dòng)力為：m1g、m2g

2）給系統(tǒng)虛位移s1和s2慣性力為：

×設(shè)m2重物下降的加速度為a2，設(shè)m1重物下降的加速度為a1。例1圖示滑輪系統(tǒng)，動(dòng)滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定19代入加速度和虛位移關(guān)系得到：3）動(dòng)力學(xué)普遍方程：

選題×代入加速度和虛位移關(guān)系得到：3）動(dòng)力學(xué)普遍方程：選題×20o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪Ⅰ可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二輪相連繩鉛直時(shí)，輪Ⅱ中心C的加速度。解：（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）力分析：作用的主動(dòng)力mg（3）設(shè)輪Ⅰ的角加速度為α1 輪Ⅱ的角加速度為α2輪Ⅰ慣性力偶：MIⅠ=J1α1輪ⅠI慣性力偶：MIⅡ=J2α2 慣性力：FI=maC×o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪Ⅰ可繞O214)加虛位移：輪Ⅰ：δψⅠ輪ⅠI：δψⅡI輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)II輪平面運(yùn)動(dòng)取B為基點(diǎn)×4)加虛位移：I輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)II輪平面運(yùn)動(dòng)×225)動(dòng)力學(xué)普遍方程：×5)動(dòng)力學(xué)普遍方程：×23由虛位移的任意性：

解得：選題×由虛位移的任意性：解得：選題×24§4第一類拉格朗日方程設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束設(shè)：由動(dòng)力學(xué)普遍定理：第一類拉格朗日方程ק4第一類拉格朗日方程設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束25例3-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。解：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2、y2。2）運(yùn)動(dòng)分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個(gè)約束方程?！晾?-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M126××27約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×28當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。動(dòng)力學(xué)普遍方程用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，系統(tǒng)具有s個(gè)完整理想約束，具有N=3n-s個(gè)自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：§5第二類拉格朗日方程×當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)29由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：

上式第一項(xiàng)又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。×由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：上式第一項(xiàng)又可以表示為：注意：這里不是30

代入上式第二項(xiàng)得:×代入上式第二項(xiàng)得:×31對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。所以廣義坐標(biāo)的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個(gè)方程的方程組，其中第二項(xiàng)與廣義力對(duì)應(yīng)，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達(dá)朗伯原理的廣義坐標(biāo)表示。 對(duì)廣義力做如下變換×對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。321.證明：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)

其中

是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)其中是33對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)

將

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證

×對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)將對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證34××35其中

上式稱為拉格朗日方程×其中

為系統(tǒng)的動(dòng)能其中

為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能其中

為系統(tǒng)的散逸函數(shù)其中

其中上式稱為拉格朗日方程×其中為系統(tǒng)的動(dòng)能其中為質(zhì)點(diǎn)系36列出系統(tǒng)的勢(shì)能、動(dòng)能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可得到n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程×是n×n矩陣是n×1向量方程是由n個(gè)二階常微分方程組成的方程組列出系統(tǒng)的勢(shì)能、動(dòng)能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可×是n×n37解：1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象此系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。以物塊平衡位置為原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)如圖。2）以平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在任意位置x處的勢(shì)能為例6如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為m1的物塊C以細(xì)繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點(diǎn)。A、B二輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m2。彈簧剛度為k，質(zhì)量不記。當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。0為平衡位置彈簧伸長(zhǎng)量?！两猓豪?如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平382）運(yùn)動(dòng)分析；B輪角速度為A輪質(zhì)心速度為A輪角速度為物塊速度為此系統(tǒng)的動(dòng)能為：×2）運(yùn)動(dòng)分析；B輪角速度為A輪質(zhì)心速度為A輪角速度為物393）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為得注意系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為：選題×3）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為得注意系統(tǒng)的動(dòng)40例7如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。解：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2、y2。2）運(yùn)動(dòng)分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，所以具有兩個(gè)自由度?！晾?如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)413）拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。系統(tǒng)的動(dòng)能為：選x1和為廣義坐標(biāo)，則有：其中：×選x1和為廣義坐標(biāo)，則有：其中：×42選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)能為：×選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)43××44代入拉格朗日方程×代入拉格朗日方程×45如果M2擺動(dòng)很小，則可近似地認(rèn)為且可忽略高階小量，上式可改寫為×如果M2擺動(dòng)很小，則可近似地認(rèn)為且可忽略高階小量，上式可改46解為：圓頻率為：

擺動(dòng)周期如果m1遠(yuǎn)大于m2，則M1的位移x1將很小，M2的擺動(dòng)周期將趨近于普通單擺的周期：選題×解為：圓頻率為：

擺動(dòng)周期如果m1遠(yuǎn)大于m2，則M1的位47§6拉格朗日方程的初積分對(duì)于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。1.能量積分若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，則式（3－4）中不顯含時(shí)間t，從而（3－27）§6拉格朗日方程的初積分對(duì)于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以48為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義質(zhì)量，容易證明（3－28）上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，注意勢(shì)能V不含項(xiàng)，從而為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義49將式（3－26b）對(duì)k求和（3－29）積分上式，有2T-L=T+V=常數(shù)（3－30）這就是保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律。也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。將式（3－26b）對(duì)k求和（3－29）積分上式，有2T-L=502.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)，則稱該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)，此時(shí)從而有常數(shù)（3－31）上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。如果引入廣義動(dòng)量則有常數(shù)（3－31a）式（3－31a）也稱為廣義動(dòng)量守恒2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)51例3-9：圖表示一個(gè)均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱表面上刻有一傾角為θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自靜止開始沿槽下滑，同時(shí)使圓柱體繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)小球質(zhì)量為，圓柱體的質(zhì)量為，半徑為R，不計(jì)摩擦。求：當(dāng)小球下降的高度為h時(shí)，小球相對(duì)于圓柱體的速度以及圓柱體的角速度。例3-9：圖表示一個(gè)均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，52解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，因?yàn)橄到y(tǒng)所受的主動(dòng)力是重力，所以是保守系統(tǒng)。取圓柱體的轉(zhuǎn)角，和沿螺旋槽方向的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)。取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，圓柱體為動(dòng)系，利用點(diǎn)的速度合成公式，則小球的動(dòng)能為圓柱體的動(dòng)能為解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定53系統(tǒng)的動(dòng)能為可見此時(shí)動(dòng)能T是廣義速度和的二次齊次函數(shù)。若選擇小球起點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。則系統(tǒng)勢(shì)能V可表示為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：由于L中不顯含時(shí)間t和廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)有能量積分和循環(huán)積分，于是我們有兩個(gè)一次積分式系統(tǒng)的動(dòng)能為可見此時(shí)動(dòng)能T是廣義速度和的二次齊54將動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時(shí)，代入上式得，由此，從式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得將動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時(shí)，55由此得小球相對(duì)于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為由此得小球相對(duì)于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)56平面機(jī)構(gòu)自由度分析及應(yīng)用舉例一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束二、平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式三、機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)條件及機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn) 動(dòng)條件四、計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度應(yīng)注意的問題平面機(jī)構(gòu)自由度分析及應(yīng)用舉例一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束57一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束運(yùn)動(dòng)副對(duì)該兩構(gòu)件獨(dú)立運(yùn)動(dòng)所加的限制稱為約束。約束數(shù)目等于被其限制的自由度數(shù)。

圖1.1.17平面構(gòu)件未組成運(yùn)動(dòng)副前三個(gè)自由度一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束運(yùn)動(dòng)副對(duì)該兩58圖1.1.18組成運(yùn)動(dòng)副后構(gòu)件2相對(duì)運(yùn)動(dòng)自由度（一）轉(zhuǎn)動(dòng)副：只能繞垂直于xoy平面的軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)

（二）移動(dòng)副：使其只能沿x軸方向移動(dòng)。

（三）高副：可沿t-t方向獨(dú)立移動(dòng)和繞過k點(diǎn)垂直于運(yùn)動(dòng)平面的軸的獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)

圖1.1.18組成運(yùn)動(dòng)副后構(gòu)件2相對(duì)運(yùn)動(dòng)自由度（一）轉(zhuǎn)動(dòng)副59二、平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式式中F——平面機(jī)構(gòu)的自由度；n——該機(jī)構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)(包括機(jī)架),(n-1) 則為機(jī)構(gòu)的活動(dòng)構(gòu)件數(shù)；PL——該機(jī)構(gòu)中的低副（轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副）數(shù)；PH——該機(jī)構(gòu)中的高副數(shù)。二、平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式式中F——平面機(jī)構(gòu)的自由度；60結(jié)論（一）機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)的條件為：機(jī)構(gòu)自由度數(shù)大于等于1。（二）機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)的條件為：機(jī)構(gòu)輸入的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)數(shù)目等于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)。三、機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)條件及機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)條件圖1.1.19機(jī)構(gòu)自由度與確定運(yùn)動(dòng)結(jié)論（一）機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)的條件為：機(jī)構(gòu)自由度數(shù)大于等于161（一）復(fù)合鉸鏈

四、計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)注意的問題兩個(gè)以上構(gòu)件同在一處以轉(zhuǎn)動(dòng)副相聯(lián)接即構(gòu)成復(fù)合鉸鏈。m個(gè)構(gòu)件以復(fù)合鉸鏈聯(lián)接所構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)副數(shù)為(m-1)個(gè)注意：復(fù)合鉸鏈只存在于轉(zhuǎn)動(dòng)副中。

圖1.1.20復(fù)合鉸鏈（一）復(fù)合鉸鏈四、計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)注意的問題62機(jī)構(gòu)的自由度與確定運(yùn)動(dòng)條件

圖1.1.21局部自由度（二）局部自由度機(jī)構(gòu)中有些構(gòu)件所具有的自由度只與該構(gòu)件自身的局部運(yùn)動(dòng)有關(guān)，不影響其它構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)，即對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)輸出無關(guān)，則稱這種自由度為局部自由度。機(jī)構(gòu)的自由度與確定運(yùn)動(dòng)條件

圖1.1.21局部自由度（二63在機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)，還需注意，在某些特定的幾何條件或結(jié)構(gòu)條件下，某些運(yùn)動(dòng)副所引入的約束可能與其它運(yùn)動(dòng)副引入的約束是重復(fù)的，這種不起獨(dú)立約束作用的重復(fù)約束稱為虛約束。在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，應(yīng)將虛約束除去不計(jì)。常見的虛約束發(fā)生在以下場(chǎng)合：

（三）虛約束在機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)，還需注意，在某些特定的幾何條件或結(jié)構(gòu)條件64圖1.1.22兩構(gòu)件或多個(gè)運(yùn)動(dòng)副滿足特定幾何條件時(shí)形成虛約束兩構(gòu)件組成若干個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，但其軸線互相重合；兩構(gòu)件組成移動(dòng)副，其導(dǎo)路互相平行或重合;1．兩構(gòu)件間構(gòu)成多個(gè)運(yùn)動(dòng)副圖1.1.22兩構(gòu)件或多個(gè)運(yùn)動(dòng)副滿足特定幾何條件時(shí)形成虛約652．聯(lián)接構(gòu)件與被聯(lián)接構(gòu)件上聯(lián)接點(diǎn)的軌跡重合;

圖1.1.23軌跡重合形成虛約束 圖1.1.24兩構(gòu)件上某兩點(diǎn)距離不變形成虛約束3．在機(jī)構(gòu)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，兩構(gòu)件上某兩點(diǎn)之間的距離始終不變。2．聯(lián)接構(gòu)件與被聯(lián)接構(gòu)件上聯(lián)接點(diǎn)的軌跡重合;

圖1.1.266機(jī)構(gòu)的自由度與確定運(yùn)動(dòng)條件圖1.1.25對(duì)運(yùn)動(dòng)不起作用的對(duì)稱部分形成虛約束4．機(jī)構(gòu)中對(duì)運(yùn)動(dòng)不起作用的對(duì)稱部分機(jī)構(gòu)的自由度與確定運(yùn)動(dòng)條件圖1.1.25對(duì)運(yùn)動(dòng)不起作用的67例題1.1.3試計(jì)算如圖所示大篩機(jī)構(gòu)的自由度。分析：該機(jī)構(gòu)具有5個(gè)活動(dòng)構(gòu)件，有7個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，即低副，沒有高副。于是機(jī)構(gòu)自由度為例題1.1.3試計(jì)算如圖所示大篩機(jī)構(gòu)的自由度。分析：68第四章多自由度機(jī)械動(dòng)力學(xué)利用拉格朗日方程分析問題思路：選定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列出系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力表達(dá)式代入拉格朗日方程列出運(yùn)動(dòng)微分方程求解微分方程第四章多自由度機(jī)械動(dòng)力學(xué)利用拉格朗日方程分析問題思路：選69二自由度系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)設(shè)為q1、q2選定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)若不考慮重力，且無其它有勢(shì)力的作用，二自由度系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)設(shè)為q1、q2選定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)若不考70動(dòng)能列出系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力表達(dá)式動(dòng)能列出系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力表達(dá)式71廣義力代入拉格朗日方程列出運(yùn)動(dòng)微分方程如系統(tǒng)能直接寫出主動(dòng)力功率與廣義速度的關(guān)系式廣義力代入拉格朗日方程列出運(yùn)動(dòng)微分方程如72降階處理求解微分方程（二階非線性微分方程）四階龍格—庫塔法降階處理求解微分方程（二階非線性微分方程）四階龍格—庫塔法73分析力學(xué)基礎(chǔ)--機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件74四元一階微分方程組。應(yīng)用龍格—庫塔法四元一階微分方程組。應(yīng)用龍格—庫塔法75由初始條件和四階龍格—庫塔法的遞推公式可求得廣義坐標(biāo)值和廣義速度值由初始條件和四階龍格—庫塔法的遞推公式可求得廣義坐標(biāo)值和廣義76已知各輪齒數(shù)以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，固聯(lián)的行星輪2.3齒輪組的質(zhì)量為m23，設(shè)作用在輪1、4和系桿H上的力矩分別為M1、M4、MH，試求差動(dòng)輪系在力矩下的運(yùn)動(dòng)為分方程。已知各輪齒數(shù)以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，固聯(lián)的行星77二自由度機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)問題二自由度機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)問題78廣義位移θ1，θ2廣義位移θ1，θ279分析力學(xué)基礎(chǔ)--機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件80分析力學(xué)基礎(chǔ)--機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件81分析力學(xué)基礎(chǔ)--機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件82兩臂轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)保證加速度連續(xù)兩臂轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)保證加速度連續(xù)83第五章含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題考慮運(yùn)動(dòng)副間隙影響的連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題凸輪機(jī)構(gòu)和間歇機(jī)構(gòu)中的橫越?jīng)_擊現(xiàn)象第五章含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題考慮運(yùn)動(dòng)副間隙影響的連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力845.1考慮運(yùn)動(dòng)副間隙影響的連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題含間隙剛體機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析方法5.1考慮運(yùn)動(dòng)副間隙影響的連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題含間隙剛體機(jī)構(gòu)動(dòng)851、三狀態(tài)運(yùn)動(dòng)模型拉格朗日方程1、三狀態(tài)運(yùn)動(dòng)模型拉格朗日方程86分析力學(xué)基礎(chǔ)--機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件87接觸狀態(tài)接觸狀態(tài)88自由狀態(tài)自由狀態(tài)89碰撞過程碰撞過程902、二狀態(tài)運(yùn)動(dòng)模型推到機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程牛頓力學(xué)2、二狀態(tài)運(yùn)動(dòng)模型推到機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程牛頓力學(xué)91分析力學(xué)基礎(chǔ)--機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件92牛頓力學(xué)建立各構(gòu)件的力平衡方程牛頓力學(xué)建立各構(gòu)件的力平衡方程933、連續(xù)接觸模型推到機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程將間隙視為一個(gè)無質(zhì)量剛性桿，稱為間隙桿3、連續(xù)接觸模型推到機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程將間隙視為一個(gè)無質(zhì)量剛性桿945.2凸輪機(jī)構(gòu)和間隙機(jī)構(gòu)中的橫越?jīng)_擊現(xiàn)象5.2凸輪機(jī)構(gòu)和間隙機(jī)構(gòu)中的橫越?jīng)_擊現(xiàn)象95分析力學(xué)基礎(chǔ)--機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件96在空間：一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)位置需要3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即自由質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度。

在平面：需要2個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即質(zhì)點(diǎn)有2個(gè)自由度。受到運(yùn)動(dòng)約束：質(zhì)點(diǎn)自由度數(shù)將減少。完整約束：約束方程中不含速度項(xiàng)；穩(wěn)定（定常）約束：約束方程中不顯含時(shí)間t若具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，有s個(gè)完整約束方程：§1自由度和廣義坐標(biāo)則：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系總自由度數(shù)為：描述質(zhì)點(diǎn)系在空間位置的獨(dú)立參數(shù)，稱廣義坐標(biāo)；完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目等于自由度數(shù)目。×在空間：一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)位置需要3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即自由質(zhì)97由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平面質(zhì)點(diǎn)系，自由度為2，有1個(gè)約束方程：用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)ψ表示。若質(zhì)點(diǎn)限定在半球面上運(yùn)動(dòng)，球半徑為R，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的空間質(zhì)點(diǎn)系，自由度數(shù)為3，有1個(gè)約束方程：自由度數(shù)為：通常用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)ψ和θ表示自由度數(shù)為：×由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，是具有1個(gè)98用q1、q2、…qN表示質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)：對(duì)完整約束質(zhì)點(diǎn)系，各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。進(jìn)行變分計(jì)算：設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束×用q1、q2、…qN表示質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)：進(jìn)行變分計(jì)算：設(shè)n個(gè)99為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標(biāo)表示。同理：×為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標(biāo)表示。同理：×100在虛位移原理中，以質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo)的變分表示虛位移。這些虛位移通常不獨(dú)立，需要建立虛位移之間的關(guān)系。若直接用廣義坐標(biāo)變分來表示虛位移，廣義虛位移之間相互獨(dú)立，虛位移原理可表示為簡(jiǎn)潔形式?！?以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件×在虛位移原理中，以質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo)的變分表示虛位移?！?01設(shè)：則：它的量綱由對(duì)應(yīng)的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義力δk為線位移，Qk

量綱是力的量綱；δk為角位移，Qk量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標(biāo)都是獨(dú)立的，廣義虛位移是任意的。上式成立必須滿足：質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是所有的廣義力都等于零×設(shè)：則：它的量綱由對(duì)應(yīng)的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義102質(zhì)點(diǎn)系具有N個(gè)自由度，有N個(gè)廣義力，則有N個(gè)平衡方程是互相獨(dú)立的，可聯(lián)立求解質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題。大多數(shù)工程機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，這只需要列出一個(gè)廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：法1.給質(zhì)點(diǎn)系一個(gè)廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個(gè)廣義虛位移等于零。法2.×質(zhì)點(diǎn)系具有N個(gè)自由度，有N個(gè)廣義力，則有N個(gè)平衡103質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都為有勢(shì)力，則勢(shì)能應(yīng)為各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，總勢(shì)能為V表示為：虛功為：虛位移原理表達(dá)為：在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能在平衡位置處的一階變分為零?！临|(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都為有勢(shì)力，則勢(shì)能應(yīng)為各質(zhì)104用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置。在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能可表示為廣義坐標(biāo)函數(shù)，總勢(shì)能為V為：廣義力為：在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢(shì)能對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。平衡條件為：法3:×用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置。在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能可表示為廣義105例1復(fù)合擺機(jī)構(gòu)，A、B點(diǎn)位置作用力F1,F2，F(xiàn).。用廣義坐標(biāo)表示A、B點(diǎn)位置，求平衡時(shí)作用力F1,F2，F(xiàn)與ψ1，ψ2關(guān)系。解：方法1：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，A,B2個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有4個(gè)自由度。兩個(gè)約束方程：該質(zhì)點(diǎn)系自由度數(shù)為：4-2=2,可以用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)。表示2）用廣義坐標(biāo)表示A,B×例1復(fù)合擺機(jī)構(gòu)，A、B點(diǎn)位置作用力F1,F2，F(xiàn).106××107××108（4）虛位移原理：直接計(jì)算：×（4）虛位移原理：直接計(jì)算：×109××110方法2：不變，給虛位移×方法2：不變，給虛位移×111不變，給虛位移選題×不變，給虛位移選題×112

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.如果假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力FIi=-miai，由達(dá)朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構(gòu)成平衡力系。整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束.應(yīng)用虛位移原理，得到：§3動(dòng)力學(xué)普遍方程×

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)113在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)所受的主動(dòng)力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬114例1圖示滑輪系統(tǒng)，動(dòng)滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質(zhì)量m2重物，滑輪和繩子重量以及輪軸摩擦忽略不計(jì)，求m2重物下降的加速度。

解：（1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，（2）受力分析系統(tǒng)的主動(dòng)力為：m1g、m2g

2）給系統(tǒng)虛位移s1和s2慣性力為：

×設(shè)m2重物下降的加速度為a2，設(shè)m1重物下降的加速度為a1。例1圖示滑輪系統(tǒng)，動(dòng)滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定115代入加速度和虛位移關(guān)系得到：3）動(dòng)力學(xué)普遍方程：

選題×代入加速度和虛位移關(guān)系得到：3）動(dòng)力學(xué)普遍方程：選題×116o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪Ⅰ可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二輪相連繩鉛直時(shí)，輪Ⅱ中心C的加速度。解：（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）力分析：作用的主動(dòng)力mg（3）設(shè)輪Ⅰ的角加速度為α1 輪Ⅱ的角加速度為α2輪Ⅰ慣性力偶：MIⅠ=J1α1輪ⅠI慣性力偶：MIⅡ=J2α2 慣性力：FI=maC×o例3-5如圖二相同圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪Ⅰ可繞O1174)加虛位移：輪Ⅰ：δψⅠ輪ⅠI：δψⅡI輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)II輪平面運(yùn)動(dòng)取B為基點(diǎn)×4)加虛位移：I輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)II輪平面運(yùn)動(dòng)×1185)動(dòng)力學(xué)普遍方程：×5)動(dòng)力學(xué)普遍方程：×119由虛位移的任意性：

解得：選題×由虛位移的任意性：解得：選題×120§4第一類拉格朗日方程設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束設(shè)：由動(dòng)力學(xué)普遍定理：第一類拉格朗日方程ק4第一類拉格朗日方程設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束121例3-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。解：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2、y2。2）運(yùn)動(dòng)分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個(gè)約束方程?！晾?-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1122××123約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×124當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。動(dòng)力學(xué)普遍方程用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，系統(tǒng)具有s個(gè)完整理想約束，具有N=3n-s個(gè)自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：§5第二類拉格朗日方程×當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)125由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：

上式第一項(xiàng)又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。×由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：上式第一項(xiàng)又可以表示為：注意：這里不是126

代入上式第二項(xiàng)得:×代入上式第二項(xiàng)得:×127對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。所以廣義坐標(biāo)的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個(gè)方程的方程組，其中第二項(xiàng)與廣義力對(duì)應(yīng)，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達(dá)朗伯原理的廣義坐標(biāo)表示。 對(duì)廣義力做如下變換×對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。1281.證明：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)

其中

是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)其中是129對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)

將

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證

×對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)將對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證130××131其中

上式稱為拉格朗日方程×其中

為系統(tǒng)的動(dòng)能其中

為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能其中

為系統(tǒng)的散逸函數(shù)其中

其中上式稱為拉格朗日方程×其中為系統(tǒng)的動(dòng)能其中為質(zhì)點(diǎn)系132列出系統(tǒng)的勢(shì)能、動(dòng)能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可得到n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程×是n×n矩陣是n×1向量方程是由n個(gè)二階常微分方程組成的方程組列出系統(tǒng)的勢(shì)能、動(dòng)能和散逸函數(shù)后，由拉格朗日方程可×是n×n133解：1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象此系統(tǒng)具有一個(gè)自由度。以物塊平衡位置為原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)如圖。2）以平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在任意位置x處的勢(shì)能為例6如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為m1的物塊C以細(xì)繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點(diǎn)。A、B二輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m2。彈簧剛度為k，質(zhì)量不記。當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。0為平衡位置彈簧伸長(zhǎng)量?！两猓豪?如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平1342）運(yùn)動(dòng)分析；B輪角速度為A輪質(zhì)心速度為A輪角速度為物塊速度為此系統(tǒng)的動(dòng)能為：×2）運(yùn)動(dòng)分析；B輪角速度為A輪質(zhì)心速度為A輪角速度為物1353）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為得注意系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為：選題×3）代入拉格朗日方程4）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為得注意系統(tǒng)的動(dòng)136例7如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。解：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2、y2。2）運(yùn)動(dòng)分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，所以具有兩個(gè)自由度。×例7如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)1373）拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。系統(tǒng)的動(dòng)能為：選x1和為廣義坐標(biāo)，則有：其中：×選x1和為廣義坐標(biāo)，則有：其中：×138選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)能為：×選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)139××140代入拉格朗日方程×代入拉格朗日方程×141如果M2擺動(dòng)很小，則可近似地認(rèn)為且可忽略高階小量，上式可改寫為×如果M2擺動(dòng)很小，則可近似地認(rèn)為且可忽略高階小量，上式可改142解為：圓頻率為：

擺動(dòng)周期如果m1遠(yuǎn)大于m2，則M1的位移x1將很小，M2的擺動(dòng)周期將趨近于普通單擺的周期：選題×解為：圓頻率為：

擺動(dòng)周期如果m1遠(yuǎn)大于m2，則M1的位143§6拉格朗日方程的初積分對(duì)于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。1.能量積分若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，則式（3－4）中不顯含時(shí)間t，從而（3－27）§6拉格朗日方程的初積分對(duì)于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以144為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義質(zhì)量，容易證明（3－28）上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，注意勢(shì)能V不含項(xiàng)，從而為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義145將式（3－26b）對(duì)k求和（3－29）積分上式，有2T-L=T+V=常數(shù)（3－30）這就是保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律。也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。將式（3－26b）對(duì)k求和（3－29）積分上式，有2T-L=1462.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)，則稱該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)，此時(shí)從而有常數(shù)（3－31）上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。如果引入廣義動(dòng)量則有常數(shù)（3－31a）式（3－31a）也稱為廣義動(dòng)量守恒2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)147例3-9：圖表示一個(gè)均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱表面上刻有一傾角為θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自靜止開始沿槽下滑，同時(shí)使圓柱體繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)小球質(zhì)量為，圓柱體的質(zhì)量為，半徑為R，不計(jì)摩擦。求：當(dāng)小球下降的高度為h時(shí)，小球相對(duì)于圓柱體的速度以及圓柱體的角速度。例3-9：圖表示一個(gè)均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，148解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，因?yàn)橄到y(tǒng)所受的主動(dòng)力是重力，所以是保守系統(tǒng)。取圓柱體的轉(zhuǎn)角，和沿螺旋槽方向的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)。取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，圓柱體為動(dòng)系，利用點(diǎn)的速度合成公式，則小球的動(dòng)能為圓柱體的動(dòng)能為解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定149系統(tǒng)的動(dòng)能為可見此時(shí)動(dòng)能T是廣義速度和的二次齊次函數(shù)。若選擇小球起點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。則系統(tǒng)勢(shì)能V可表示為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：由于L中不顯含時(shí)間t和廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)有能量積分和循環(huán)積分，于是我們有兩個(gè)一次積分式系統(tǒng)的動(dòng)能為可見此時(shí)動(dòng)能T是廣義速度和的二次齊150將動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時(shí)，代入上式得，由此，從式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得將動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時(shí)，151由此得小球相對(duì)于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為由此得小球相對(duì)于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)152平面機(jī)構(gòu)自由度分析及應(yīng)用舉例一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束二、平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式三、機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)條件及機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn) 動(dòng)條件四、計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度應(yīng)注意的問題平面機(jī)構(gòu)自由度分析及應(yīng)用舉例一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束153一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束運(yùn)動(dòng)副對(duì)該兩構(gòu)件獨(dú)立運(yùn)動(dòng)所加的限制稱為約束。約束數(shù)目等于被其限制的自由度數(shù)。

圖1.1.17平面構(gòu)件未組成運(yùn)動(dòng)副前三個(gè)自由度一、運(yùn)動(dòng)副的自由度和約束運(yùn)動(dòng)副對(duì)該兩154圖1.1.18組成運(yùn)動(dòng)副后構(gòu)件2相對(duì)運(yùn)動(dòng)自由度（一）轉(zhuǎn)動(dòng)副：只能繞垂直于xoy平面的軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)

（二）移動(dòng)副：使其只能沿x軸方向移動(dòng)。

（三）高副：可沿t-t方向獨(dú)立移動(dòng)和繞過k點(diǎn)垂直于運(yùn)動(dòng)平面的軸的獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)

圖1.1.18組成運(yùn)動(dòng)副后構(gòu)件2相對(duì)運(yùn)動(dòng)自由度（一）轉(zhuǎn)動(dòng)副155二、平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式式中F——平面機(jī)構(gòu)的自由度；n——該機(jī)構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)(包括機(jī)架),(n-1) 則為機(jī)構(gòu)的活動(dòng)構(gòu)件數(shù)；PL——該機(jī)構(gòu)中的低副（轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副）數(shù)；PH——該機(jī)構(gòu)中的高副數(shù)。二、平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式式中F——平面機(jī)構(gòu)的自由度；156結(jié)論（一）機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)的條件為：機(jī)構(gòu)自由度數(shù)大于等于1。（二）機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)的條件為：機(jī)構(gòu)輸入的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)數(shù)目等于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)。三、機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)條件及機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)條件圖1.1.19機(jī)構(gòu)自由度與確定運(yùn)動(dòng)結(jié)論（一）機(jī)構(gòu)可能運(yùn)動(dòng)的條件為：機(jī)構(gòu)自由度數(shù)大于等于1157（一）復(fù)合鉸鏈

四、計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)注意的問題兩個(gè)以上構(gòu)件同在一處以轉(zhuǎn)動(dòng)副相聯(lián)接即構(gòu)成復(fù)合鉸鏈。m個(gè)構(gòu)件以復(fù)合鉸鏈聯(lián)接所構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)副數(shù)為(m-1)個(gè)注意：復(fù)合鉸鏈只存在于轉(zhuǎn)動(dòng)副中。

圖1.1.20復(fù)合鉸鏈（一）復(fù)合鉸鏈四、計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)注意的問題158機(jī)構(gòu)的自由度與確定運(yùn)動(dòng)條件

圖1.1.21局部自由度（二）局部自由度機(jī)構(gòu)中有些構(gòu)件所具有的自由度只與該構(gòu)件自身的局部運(yùn)動(dòng)有關(guān)，不影響其它構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)，即對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)輸出無關(guān)，則稱這種自由度為局部自由度。機(jī)構(gòu)的自由度與確定運(yùn)動(dòng)條件

圖1.1.21局部自由度（二159在機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)，還需注意，在某些特定的幾何條件或結(jié)構(gòu)條件下，某些運(yùn)動(dòng)副所引入的約束可能與其它運(yùn)動(dòng)副引入的約束是重復(fù)的，這種不起獨(dú)立約束作用的重復(fù)約束稱為虛約束