大學(xué)物理：第5章波動學(xué)基礎(chǔ)

第5章波動學(xué)基礎(chǔ)1第5章波動學(xué)基礎(chǔ)聲波、水波、電磁波都是物理學(xué)中常見的波，它對應(yīng)一種物質(zhì)波。波即可以是運動狀態(tài)的傳遞而非物質(zhì)的自身運動，也可以是物質(zhì)本身的運動結(jié)果，甚至把波直接看作一種粒子。各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時可以直接把它看作粒子—光子的運動。機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機械波。下面以機械波為例介紹波的一些物理概念。但它們都有類似的波動方程。2§5-1機械波的產(chǎn)生和傳播類型彈性介質(zhì)是指由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)。波源——波源處質(zhì)點的振動通過彈性介質(zhì)中的彈性力，將振動傳播開去，從而形成機械波。波動（或行波)是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質(zhì)點的傳播。彈性力：有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力；液體和氣體彈性介質(zhì)中只有正彈性力而沒有切彈性力。1.彈性介質(zhì)和波源

（機械波產(chǎn)生的條件）3t=00481620

············12······

··

·

········t=T/4·····················t=T/2·······

·························t=3T/4·······················t=T····················4結(jié)論：(1)

質(zhì)元并未“隨波逐流”波的傳播不是媒質(zhì)質(zhì)元的傳播(2)“上游”的質(zhì)元依次帶動“下游”的質(zhì)元振動

(4)同相點----質(zhì)元的振動狀態(tài)相同波長相位差2相鄰2.波是相位的傳播沿波的傳播方向上,各質(zhì)元的相位依次落后。(3)某時刻某質(zhì)元的振動狀態(tài)將在較晚時刻于“下游”某處出現(xiàn)波是振動狀態(tài)的傳播5

·

·abxxu傳播方向圖中b點比a點的相位落后3.波形曲線(波形圖)oxut不同時刻對應(yīng)有不同的波形曲線(后面再講）y61)縱波和橫波：橫波——振動方向與傳播方向垂直，如電磁波2)波線、波面、波前波線（或波射線)—波的傳播方向稱之為波射線或波線。波面（或相面、波陣面）—某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位相同的點組成的面稱為波面。任一波例如，水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進行研究。波前—某時刻處在最前面的波面。7波線波面波面波線3)波的周期性和波速

波長、波速和頻率：波長——振動相位相同的兩個相鄰波面之間的距離是一個波長。或振動在一個周期中傳播的距離，稱為波長，用表示。在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直.４.平面波球面波柱面波8波速—單位時間某種一定的振動狀態(tài)(或振動相位)所傳播的距離稱為波速，也稱之相速。頻率—單位時間內(nèi)質(zhì)點振動的次數(shù)波動的頻率，等于介質(zhì)中質(zhì)點的振動頻率。——表示波在空間的周期性——表示波在時間上的周期性通過波速聯(lián)系起來波的周期T：波傳過一個波長的時間，或一個完整的波通過波線上某一點所需要的時間叫做波的周期T。9顯然，這里波長遠大于媒質(zhì)分子間距離，即假設(shè)彈性媒質(zhì)是連續(xù)的，媒質(zhì)中一個波長的距離內(nèi)有無數(shù)分子在陸續(xù)振動，宏觀上看來媒質(zhì)就象連續(xù)的一樣。如果波長小到等于或小于分子間距離時，相距約為一波長的兩個分子之間，不再存在其它分子，我們就不能認(rèn)為媒質(zhì)是連續(xù)的了，這時媒質(zhì)就再也不能傳播彈性波了。因此有一個頻率上限存在。高度真空中分子間距離極大，不能傳播聲波，就是由于這原因。101.惠更斯原理媒質(zhì)中波傳到的各點,都可看作開始發(fā)射子波的子波源(點波源)。在以后的任一時刻,這些子波面的包絡(luò)面就是實際的波在該時刻的波前。2.應(yīng)用:t時刻波面

t+t時刻波面波的傳播方向惠更斯原理11平面波t+t時刻波面·····ut波傳播方向t時刻波面球面波············

··tt+t3.波的衍射(繞射)1.)現(xiàn)象波傳播過程中當(dāng)遇到障礙物時,能繞過障礙物的邊緣而傳播的現(xiàn)象。

不足:只能解決波的傳播方向,不知道波的強度分布.122.)作圖可用惠更斯原理作圖···a·比較兩圖★如你家在大山后,聽廣播和看電視哪個更容易?(若廣播臺、電視臺都在山前側(cè))13§5-2平面簡諧波運動學(xué)方程以橫波為例說明平面簡諧波的波函數(shù)。下面要用數(shù)學(xué)表達式描述波線上每一質(zhì)點在每一時刻的位移，這樣的函數(shù)稱為行波的波函數(shù)。已知o點振動表達式：y表示各質(zhì)點在Y方向上的位移，A是振幅，是角頻率或叫圓頻率，為o點在零時刻的相位。o點振動傳到p點需用1.平面行波(波動方程)14相位落后，所以

p點的運動方程：定義為角波數(shù)因此下述幾式等價：也即p點的相位落后于o點相位：

。這就是右行波的波方程。15因此下述幾式等價：16左行波的波函數(shù)：也即p點的相位超前于o點相位：所以p點的運動方程，也就是左行波的波方程：

p點運動傳到o點需用時間：17（1）x一定時,為該處質(zhì)點的振動方程,對應(yīng)曲線為該處質(zhì)點振動曲線；（2）t一定時為該時刻各質(zhì)點位移分布,對應(yīng)曲線為該時刻波形圖；（3）t、x都變化時，表示波線上所有質(zhì)點在各個時刻的位移情況行波。若:(可作圖說明)2.一維簡諧波表達式的物理意義：18若這兩處相位相同，則有：可見波速就是相位傳播的速度19即就是波形向前傳播的速度。時刻的波形完全相同。波動方程描述了波形的傳播故為行波方程例已知：u=20m/s,t=0的波形如圖所示:求：振幅，波長，波的周期、波函數(shù)及質(zhì)元振動速度表達式

解：由圖知：3.描述簡諧波的物理量20處由旋轉(zhuǎn)矢量法得：0點的初相位:u=20m/s,設(shè)o點振動方程為:21因為：所以22例一平面簡諧波沿X軸正方向傳播,其振幅為A,頻率為,波速為u。設(shè)t＝t’時刻的波形典線如圖所示,求:(1)x=0處質(zhì)點的振動方程;(2)該波的波動方程A0解：設(shè)(2)波方程23機械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)的彈性性質(zhì)和慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)的質(zhì)量密度,亦即決定于這種波在媒質(zhì)中傳播的機構(gòu)。5.2.2機械波的速度(P170--172本節(jié)只了解下面概念.u的公式不要求)24體變l0l0+l

FF長變在液體和氣體只能傳播縱波，其波速為：B為媒質(zhì)的體變彈性模量;為質(zhì)量密度正彈力F切切變F切切彈力25可以證明：對于柔軟的繩索和弦線中橫波波速為

T為繩索或弦線中張力;為質(zhì)量線密度細長的棒狀媒質(zhì)中縱波波速為Y

為媒質(zhì)的楊氏彈性模量;為質(zhì)量密度各向同性均勻固體媒質(zhì)橫波波速G為媒質(zhì)的切變彈性模量;為質(zhì)量密度在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些。量綱!*震中26平面波動的動力學(xué)方程見書P173式(5.3.6)和(5.3.12)5.3平面波的動力學(xué)方程p172—177(不要求)27有一行波：質(zhì)元的振動速度:質(zhì)量為的媒質(zhì)其動能為：以棒內(nèi)傳播縱波為例討論彈性勢能：1.波的能量§5-4波的能量和能流

y28單位體積媒質(zhì)中彈性勢能等于彈性模量與應(yīng)變平方乘積的一半。應(yīng)變=代入上式得在體積內(nèi)其勢能為：動能為：29總機械能為：對于橫波，推導(dǎo)過程中只需用切變模量代替楊氏模量，其結(jié)果相同。能量密度隨時間周期性變化,不守恒。定義：能量密度＝單位體積內(nèi)的總機械能定義：平均能量密度（對時間平均)其中30*任意時刻，體元中動能與勢能相等，同相位的隨時間變化。即動能與勢能同時達到最大或極小。這不同于孤立振動系統(tǒng)。*能量密度隨時間周期性變化，其周期為波動周期的一半。討論：*能量密度與振幅平方、頻率平方和質(zhì)量密度均成正比。因為波是能量傳播的一種形式，下面討論。31波動的能量與振動能量是有區(qū)別的。振動孤立的振動系統(tǒng)的質(zhì)元動能最大時，勢能最小，總機械能守恒，不向外傳播能量;而對于波動來說，由于媒質(zhì)中各部分由彈性力彼此相聯(lián)，使得振動在其中傳播。任一質(zhì)元總機械能隨時間周期性的變化，動能最大時，勢能也最大，動能為零時，勢能也為零；

波是能量傳播的一種形式32wk、w

p均隨t周期性變化(1)固定x

物理意義wk=wp

(2)固定twk、w

p隨x周期分布y=0wkwp最大y最大

wkwp為0(1/4)2A2oyTtwkwpx=x0(1/4)2A2xowkwpt=t0uy33對于某一體元，它的能量從零達到最大，這是能量的輸入過程，然后又從最大減到零，這是能量輸出的過程，周而復(fù)始。平均講來，該體元的能量密度保持不變，即媒質(zhì)中并不積累能量。因而它是一個能量傳遞的過程，或者說波是能量傳播的一種形式；波動的能量沿波速方向傳播。34能流—單位時間內(nèi)垂直通過某一截面的能量稱為波通過該截面的能流，或叫能通量。為截面所在位置的能量密度所以，能流為：顯然能流是隨時間周期性變化的。但它總為正值2.能流，能流密度設(shè)波速為u，平面波在時間內(nèi)通過垂直于波速截面的能量:35在一個周期內(nèi)能流的平均值稱為平均能流通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能流稱為平均能流密度，通常稱為能流密度或波的強度。換句話說，能流密度是單位時間內(nèi)通過垂直于波速方向的單位截面的平均能量。聲學(xué)中聲強就是上述定義之一例

平均能流其方向與波速方向相同。能流密度是矢量36借助于上式和能量守恒可討論波傳播時振幅的變化：在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進方向上振幅不變。平面波和球面波的振幅證明：因為在一個周期內(nèi)通過和面的能量應(yīng)該相等所以,平面波振幅相等：37所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為球面波由于振動的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系，與平面波類似，球面簡諧波的波函數(shù)：§5.5

聲波、超聲波和次聲波

(p183-187)不要求381.波的疊加原理（獨立性原理）若

、分別是它的解，則也是它的解,即上述波動方程遵從疊加原理。上式就是波動方程。它是各種平面波所必須滿足的線性偏微分方程。若有幾列波同時在介質(zhì)中傳播，則它們各自將以原有的振幅、頻率和波長獨立傳播；在幾列波相遇處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。這種波動傳播過程中出現(xiàn)的各分振動獨立地參與疊加的事實稱為波的疊加原理?！?-6波的疊加原理波的干涉駐波392.波的干涉穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質(zhì)中某些位置的點振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強弱介乎二者之間，保持不變，稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉現(xiàn)象。爆炸產(chǎn)生的沖擊波就不滿足線性方程，所以疊加原理不適用。疊加原理不成立能分辨不同的聲音正是這個原因；疊加原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合40波的干涉之模擬演示圖41波的干涉之模擬演示圖42相干條件：設(shè)有兩個頻率相同的波源和其振動表達式為：滿足相干條件的波源稱為相干波源。具有恒定的相位差振動方向相同（或稱為具有相同的偏振面)兩波源的波振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯。兩波源具有相同的頻率43其振動表達式為：傳播到P點引起的振動為：在P

點的振動為同方向同頻率振動的合成。44下面討論干涉現(xiàn)象中的強度分布在P

點的合成振動為：其中：由于波的強度正比于振幅的平方，所以合振動的強度為：對空間不同的位置，都有恒定的，因而合強度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。45干涉相長的條件：干涉相消的條件：當(dāng)兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為：稱為波程差相長干涉相消干涉46例:

作業(yè)

波動（三）如圖所示，兩列相干波在P點相遇。一列`波在B點引起的振動是另一列波引起C點引起的振動是（SI）（SI）若振幅保持不變，求P點的合振動方程。BP=0.45mCP=0.30m兩列波的速度

u=0.20m/sPBC47解：B點發(fā)出的波在P點的初相48（SI）所以：P點合振動方程為49駐波是干涉的特例。當(dāng)頻率與繩長調(diào)整適當(dāng)，繩上分段振動，某些點振幅特大，某些點幾乎不動，稱為駐波。駐波的特點不是振動的傳播，而是媒質(zhì)中各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動。分別沿X軸正、負方向傳播的同頻率、同振幅同初相位的兩列相干波，其合成波就是典型的駐波3.駐波產(chǎn)生駐波的演示實驗弦線長度等于半波長的整數(shù)倍時才能形成駐波?！v波條件50設(shè)有兩列相干波，分別沿X軸正、負方向傳播，選初相位均為零的表達式為：駐波的表達式其合成波稱為駐波其表達式：51

駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時疊加而成的。OACEFGHBD虛線向右實線向左X52利用三角函數(shù)關(guān)系求出駐波的表達式：簡諧振動簡諧振動的振幅但是這一函數(shù)不滿足所以它不是行波。它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不同而不同。53振幅最大的點稱為波腹，對應(yīng)于的各點；因此波腹的位置為：波節(jié)的位置為：駐波的振幅駐波的特點不是振動的傳播，而是媒質(zhì)中各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動振幅為零的點稱為波節(jié)，對應(yīng)于的各點。即即XY054從上式得相鄰波腹間的距離為：可得相鄰波節(jié)間的距離也為波腹與波節(jié)間的距離為因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。應(yīng)用駐波的相位時間部分提供的相位對于所有的x是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。55*

兩個相鄰波節(jié)之間的點其振動相位相同。同時達到最大或同時達到最小。速度方向相同。相位為相位為相位不傳播——“駐”。相鄰兩波節(jié)之間相位相同,同一波節(jié)兩邊半波長范圍相位相反。XY056波形不傳播；能量不傳播——“駐”。OFHBD57

討論駐波的能量由上式可知：各質(zhì)點位移達到最大時,動能為零，勢能為零。在波節(jié)處相對形變最大，勢能最大；在波腹處相對形變最小，勢能最小。勢能集中在波節(jié)。當(dāng)各質(zhì)點回到平衡位置時，全部勢能為零；動能最大。動能集中在波腹。能量從波腹傳到波節(jié)，又從波節(jié)傳到波腹，往復(fù)循環(huán)，能量不被傳播。這可從能流密度證明：因為能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波與右行波能流密度之和為零。所以駐波不傳播能量，它是媒質(zhì)的一種特殊的運動狀態(tài)，穩(wěn)定態(tài)。討論：XY058當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密媒質(zhì)界面上反射時，有半波損失，形成的駐波在界面處是波節(jié)。反之，當(dāng)波從波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時，無半波損失，界面處出現(xiàn)波腹。半波損失：入射波在反射時發(fā)生反相的現(xiàn)象稱為半波損失。折射率較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì)；折射率較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì).有半波損失某一時刻無半波損失59——無半波損失——有半波損失相位突變稱為半波損失。4.簡正模弦上的一些可能的振動方式稱為簡正模式最低的頻率稱為基頻其他為二次，三次諧頻。L602）入射波在反射點的振動方程由于反射處固定，反射波有相位突變。故反射波在反射點的振動方程為：所以反射波的波動方程為：解：1）已知例:

一沿彈性繩的簡諧波的波動方程為x=Acos2(10t-y/2)，波在y=11m處的固定端反射，設(shè)傳播中無能量損失，反射是完全的，試求：1）該簡諧波的波長和波速。2）反射波的波動方程；3）駐波方程，并確定波節(jié)的位置。61波節(jié)的位置滿足：，即所以：3）駐波方程注意：此反射波是沿y

軸負方向傳播的。62例：波源位于O點處，振動方程為：，在處的Q點有一反射墻壁。求：(1).沿x軸正向、負向傳播的波動方程(2).反射的波動方程(3).OQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程(4).x>0區(qū)域內(nèi)的合成波動方程xQyO解：(1).沿x軸正向傳播的波動方程沿x軸負向傳播的波動方程(2).反射的波動方程:入射到Q點的振動方程為考慮到墻壁引起的相位突變，Q點的振動方程為63故QO區(qū)域內(nèi)反射波的方程為在x>0區(qū)域內(nèi)反射波的方程為即，反射波波動方程可以統(tǒng)一表示為(3).OQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程xQyO64(4).x>0區(qū)域內(nèi)的合成波動方程例：長為l的繩兩端固定，線密度為

，張力為T求：此弦中的振動頻率（固有振動的本征頻率）解：弦兩端固定，端點應(yīng)為節(jié)點。而駐波相鄰兩點的距離為/2的整數(shù)倍。于是其中于是基頻為，基頻取決于繩子的長度、密度、張力65表示波源相對于媒質(zhì)的運動速度。表示觀察者相對于媒質(zhì)的運動速度。波源的頻率

是單位時間內(nèi)波源振動的次數(shù)或發(fā)出的“完整波”的個數(shù).觀察者接受到的頻率有賴于波源或觀察者運動的現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)。當(dāng)鳴笛的火車開向站臺，站臺上的觀察者聽到的笛聲變尖，即頻率升高；相反，當(dāng)火車離開站臺，聽到的笛聲頻率降低?！?-7多普勒效應(yīng)定義例如約定66觀察者接受到的頻率

是觀察者在單位時間內(nèi)接受到的振動數(shù)或完整的波數(shù)；波的頻率是媒質(zhì)質(zhì)元在單位時間內(nèi)振動的次數(shù)或單位時間內(nèi)通過媒質(zhì)質(zhì)元某點的完整波的個數(shù)。波速為，單位時間內(nèi)相位傳播的距離。波源的頻率

是單位時間內(nèi)波源振動的次數(shù)或發(fā)出的‘完整波’的個數(shù)；1.相對于媒質(zhì)，波源和觀察者都不動的情況所以波源相對于媒質(zhì)靜止時波長是，

:單位時間波在媒質(zhì)中傳播距離。是波的頻率67若觀察者以速度離開波源運動，同理可得觀察者接受到的頻率：頻率降低。頻率升高因為此時波源的頻率就是波的頻率(波源不動)2.相對于媒質(zhì)，波源不動，觀察者以速度向著波源運動。68因為波源所發(fā)出的相鄰的兩個同相振動狀態(tài)是在不同地點發(fā)出的，這兩個地點相隔的距離為。3.相對于媒質(zhì)觀察者不動，波源以速度向著觀察者運動式中為波源的周期。如果波源是向著觀察者運動的，這后一地點到前方最近的同相點之間的距離是現(xiàn)在媒質(zhì)中的波長69若波源靜止時媒質(zhì)中的波長為波源運動，在媒質(zhì)中的波長：此時波的頻率為：由于觀察者靜止，所以他接受到的頻率就是波的頻率：頻率升高70當(dāng)波源以速度遠離觀察者運動時，可得觀察者接受到的頻率：頻率降低相對于媒質(zhì)波源和觀察者同時運動綜上所述，可得當(dāng)波源和觀察者相向運動時，觀察者接受到的頻率為：當(dāng)波源和觀察者彼此離開時，觀察者接受到的頻率為：注：以上討論限于成立71對于彈性波，不存在橫向多普勒效應(yīng)。因此，如果波源和觀察者的運動不是沿它們連線方向（縱向〕，則以上公式中應(yīng)理解為波源和觀察者在它們連線方向上的速度分量(即縱向分量