3點線面投影(改)課件

第3章點、直線、平面的投影3.1點的投影3.2直線的投影3.3平面的投影3.4直線與平面及兩平面的

相對位置本章小結(jié)結(jié)束放映第3章點、直線、平面的投影3.1點的投影3.21

Pb●●AP采用多面投影。

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a●3.1點的投影解決辦法？Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投2HWV二、點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個投影面互相垂直YHWV二、點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正◆水平投影面3WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影a點A的水平投影a點A的側(cè)面投影注意：空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a●a●a●

A●WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影4●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開WVHaa●x●●azZaayayaXY

YO

●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不5●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=

aax=aay=xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸=y=Aa（A到V面的距離）aaz=x=Aa（A到W面的距離）aay=z=Aa（A到H面的距離）aaz●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa63。點線面投影(改)課件73。點線面投影(改)課件8()a

cc

空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點?！瘛瘛瘛瘛馻ac被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？A、C為H面的重影點重影點：()acc空間兩點在某一投影面上的投影重合9結(jié)束？繼續(xù)？結(jié)束？繼續(xù)？10aa

abbb●●●●●●

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈

直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=AB.cos●●AB●●abAMB●a≡b≡m●●●3.2直線的投影aaabbb●●●●●●兩點確定一條直線，11⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面12⑴投影面平行線γβXZ″baaabbOYY′′″水平線實長①在其平行的那個投影面

上的投影反映實長，并

反映直線與另兩投影面

傾角的實大。②另兩個投影面上的投影

平行于相應(yīng)的投影軸，

其到相應(yīng)投影軸距離反

映直線與它所平行的投

影面之間的距離。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″⑴投影面平行線γβXZ″baaabbOYY′′″水平線實長13判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實長β實長γbaababbaabba直線與投影面夾角的表示法：判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角:14反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②

另外兩個投影，①

在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●aba(b)ab●c(d)cddc●efefe(f)反映15⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb

三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。投影特性HaβγaAbVBbWab⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb三個投16cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。

◆點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBa17例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●ab18例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：（應(yīng)用第三投影）解法二：（應(yīng)用定比定理）●aabbkab●k●k●aabbk●●k●例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：解法二：19三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：⒈兩直線平行20例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd例：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要21⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。交點是兩直線的共有點acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd

bacdkk⒉兩直線相交若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，22●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bbac●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面23例2：判斷直線AB、CD的相對位置?！鋍′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？

交點不符合空間一個點的投影特性。判斷方法？⒈應(yīng)用定比定理⒉利用側(cè)面投影例2：判斷直線AB、CD的相對位置?！鋍′′a′bdabcd24⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！

交點不符合一個點的投影規(guī)律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！交點不符25accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！铩敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′26結(jié)束？繼續(xù)？結(jié)束？繼續(xù)？27一、平面的表示法不在同一直線上的三個點直線及線外一點abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線平面圖形c●●●abcab●●●c●●●●●●ababcb●●●●●●acabc3.3平面的投影一、平面的表示法不在同一直線上的三個點直線及線外一點abca28二、平面的投影特性垂直傾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把實形現(xiàn)★平面垂直投影面——投影積聚成直線★平面傾斜投影面——投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈

平面對一個投影面的投影特性平行二、平面的投影特性垂直傾斜投影特性★平面平行投影面——29⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫姊财矫嬖谌队懊骟w系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分30cc⑴投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？abcabba類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。cc⑴投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？abca31abcabcabc⑵投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。abcabcabc⑵投影面平行面積聚性積聚性實32abcacbabc⑶一般位置平面三個投影都類似。投影特性：abcacbabc⑶一般位置平面三個投影都類似33acbca●abcb例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個解？45°acbca●abcb例：正垂面ABC與H面的夾角34三、平面上的直線和點位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：⒈

平面上取任意直線●●MNAB●M若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。若一直線過平面上的一點且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。三、平面上的直線和點位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：⒈平面上35abcbca

dd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在

平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無數(shù)解！n●m●n●m●abcbcaabcbcadd例1：已知平面由直線AB、AC所確36例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到nmnm10c37⒉

平面上取點

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。bacakb●①c面上取點的方法：dd利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線k●②●abcabkck●⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為38bckadadbckb例2：已知AC為正平線，補全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcbckadadbckb例2：已知AC為正平線，補全39dede1010m●m●例3：在△ABC內(nèi)取一點M，并使其到H面V面的距離均為10mm。bcXbcaaOdede1010m●m●例3：在△ABC內(nèi)取一點M，并40結(jié)束？繼續(xù)？結(jié)束？繼續(xù)？413.4直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行包括⒈

直線與平面平行

若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。3.4直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和42n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？ddn●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行43正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面

ABC。唯一解c●●bamabcmnndd正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面唯一解c●●b44⒉

兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上45acebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MHacebbaddfcfekhkhOXmm由46

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。直線與平面相交平面與平面相交⒈

直線與平面相交要討論的問題：●

求直線與平面的交點。

●

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可

見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況?！瘛穸⑾嘟粏栴}直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。直線與平47例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①

求交點②

判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點判別可見性。作圖用線上取點法⑴

平面為特殊位置abcmncnbamk●k●1(2)2●1●●例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。空間及投影分481(2)km(n)b●mncbaac⑵

直線為特殊位置空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①

求交點②

判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。k●2●1●作圖用面上取點法●1(2)km(n)b●mncbaac⑵直線為49⒉

兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。②

判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的50可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。①

求交線②

判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能!如何判別？例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴能否不用重影點判別？可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbe51abcdefcfdbeam(n)●例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴空間及投影分析①

求交線②

判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。abcdefcfdbeam(n)●例：求兩平52a′a

bd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n

即為兩個共有點的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點Ⅰ在MC上，點Ⅱ在FH上，點Ⅰ在前，點Ⅱ在后，故mc可見。作圖⑵2●1●m′●m●n●●n′●a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(253abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●n′●m′●空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n

即為兩個共有點的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點Ⅰ在MC上，點Ⅱ在FH上，點Ⅰ在前，點Ⅱ在后，故mc可見。作圖abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●n′54cdefababcdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef

的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。

n●n●m●k●m●k●互交cdefababcdef⑶投影分析N點的55cdefababcdef⑶投影分析

N點的水平投影n位于Δdef

的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。

所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK?；ソ籱●k●k●m●cdefababcdef⑶投影分析N點的56結(jié)束？繼續(xù)？結(jié)束？繼續(xù)？57abcabc①

直線為一般位置時②

直線為特殊位置時babkak●●小結(jié)★點、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直線

與平面的投影特性。重點掌握：★點、直線、平面的相對位置的判斷方法及投影特性。一、直線上的點⒈

點的投影在直線的同名投影上。⒉

點的投影必分線段的投影成定比——定比定理。⒊判斷方法:

abcabc①直線為一般位置時②直線為特殊位置時b58二、兩直線的相對位置⒈

平行同名投影互相平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。abcdcabd①

對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。cbddbac②a二、兩直線的相對位置⒈平行同名投影互相平行。對于一59⒉

相交⒊

交叉（異面）

同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。

同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！敖稽c”是兩直線上一對重影點的投影。cabbacdkkd①c′′a′bd′abcd②⒉相交⒊交叉（異面）同名投影相交，交點是兩直線的60三、點與平面的相對位置面上取點的方法:bacakb●①c利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解②●abcabkc三、點與平面的相對位置面上取點的方法:bacakb●①61四、直線與平面的相對位置⒈

直線與平面平行

直線平行于平面內(nèi)的一條直線。⒉

直線與平面相交⑵

投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法求解。⑴

一般位置直線與特殊位置

平面求交點，利用交點的

共有性和平面的積聚性，

采用直線上取點的方法求

解。abcmncnbamm(n)b●mncbaac四、直線與平面的相對位置⒈直線與平面平行⒉直線與平面相交62五、兩平面的相對位置⒈

兩平面平行⑴若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。⑵若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde五、兩平面的相對位置⒈兩平面平行⑴若一平面上的兩相交⑵63⒉兩平面相交⑴兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時可找出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線的投影特性畫出交線的投影。

⑵一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共有點，求出交線。a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′abcdefcfdbea⒉兩平面相交⑴兩特殊位置平面相交，分⑵一般位置平面與特64ENDEND65第3章點、直線、平面的投影3.1點的投影3.2直線的投影3.3平面的投影3.4直線與平面及兩平面的

相對位置本章小結(jié)結(jié)束放映第3章點、直線、平面的投影3.1點的投影3.266

Pb●●AP采用多面投影。

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a●3.1點的投影解決辦法？Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投67HWV二、點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個投影面互相垂直YHWV二、點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正◆水平投影面68WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影a點A的水平投影a點A的側(cè)面投影注意：空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a●a●a●

A●WHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影69●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開WVHaa●x●●azZaayayaXY

YO

●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不70●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=

aax=aay=xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸=y=Aa（A到V面的距離）aaz=x=Aa（A到W面的距離）aay=z=Aa（A到H面的距離）aaz●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規(guī)律:①aa713。點線面投影(改)課件723。點線面投影(改)課件73()a

cc

空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點?！瘛瘛瘛瘛馻ac被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？A、C為H面的重影點重影點：()acc空間兩點在某一投影面上的投影重合74結(jié)束？繼續(xù)？結(jié)束？繼續(xù)？75aa

abbb●●●●●●

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈

直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=AB.cos●●AB●●abAMB●a≡b≡m●●●3.2直線的投影aaabbb●●●●●●兩點確定一條直線，76⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面77⑴投影面平行線γβXZ″baaabbOYY′′″水平線實長①在其平行的那個投影面

上的投影反映實長，并

反映直線與另兩投影面

傾角的實大。②另兩個投影面上的投影

平行于相應(yīng)的投影軸，

其到相應(yīng)投影軸距離反

映直線與它所平行的投

影面之間的距離。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″⑴投影面平行線γβXZ″baaabbOYY′′″水平線實長78判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實長β實長γbaababbaabba直線與投影面夾角的表示法：判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角:79反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②

另外兩個投影，①

在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●aba(b)ab●c(d)cddc●efefe(f)反映80⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb

三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。投影特性HaβγaAbVBbWab⑶一般位置直線ZYaOXabbaYb三個投81cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。

◆點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBa82例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?例1：判斷點C是否在線段AB上。②cabcab●●ab83例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：（應(yīng)用第三投影）解法二：（應(yīng)用定比定理）●aabbkab●k●k●aabbk●●k●例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：解法二：84三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：⒈兩直線平行85例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd例：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要86⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。交點是兩直線的共有點acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd

bacdkk⒉兩直線相交若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，87●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bbac●cdkkd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面88例2：判斷直線AB、CD的相對位置?！鋍′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？

交點不符合空間一個點的投影特性。判斷方法？⒈應(yīng)用定比定理⒉利用側(cè)面投影例2：判斷直線AB、CD的相對位置。′c′′a′bdabcd89⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！

交點不符合一個點的投影規(guī)律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！交點不符90accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！铩敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′91結(jié)束？繼續(xù)？結(jié)束？繼續(xù)？92一、平面的表示法不在同一直線上的三個點直線及線外一點abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線平面圖形c●●●abcab●●●c●●●●●●ababcb●●●●●●acabc3.3平面的投影一、平面的表示法不在同一直線上的三個點直線及線外一點abca93二、平面的投影特性垂直傾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把實形現(xiàn)★平面垂直投影面——投影積聚成直線★平面傾斜投影面——投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈

平面對一個投影面的投影特性平行二、平面的投影特性垂直傾斜投影特性★平面平行投影面——94⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫姊财矫嬖谌队懊骟w系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分95cc⑴投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？abcabba類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。cc⑴投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？abca96abcabcabc⑵投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。abcabcabc⑵投影面平行面積聚性積聚性實97abcacbabc⑶一般位置平面三個投影都類似。投影特性：abcacbabc⑶一般位置平面三個投影都類似98acbca●abcb例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個解？45°acbca●abcb例：正垂面ABC與H面的夾角99三、平面上的直線和點位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：⒈

平面上取任意直線●●MNAB●M若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。若一直線過平面上的一點且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。三、平面上的直線和點位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：⒈平面上100abcbca

dd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在

平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無數(shù)解！n●m●n●m●abcbcaabcbcadd例1：已知平面由直線AB、AC所確101例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到nmnm10c102⒉

平面上取點

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。bacakb●①c面上取點的方法：dd利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線k●②●abcabkck●⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為103bckadadbckb例2：已知AC為正平線，補全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcbckadadbckb例2：已知AC為正平線，補全104dede1010m●m●例3：在△ABC內(nèi)取一點M，并使其到H面V面的距離均為10mm。bcXbcaaOdede1010m●m●例3：在△ABC內(nèi)取一點M，并105結(jié)束？繼續(xù)？結(jié)束？繼續(xù)？1063.4直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行包括⒈

直線與平面平行

若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。3.4直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和107n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？ddn●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行108正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面

ABC。唯一解c●●bamabcmnndd正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面唯一解c●●b109⒉

兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。cfbdeaabcdeffhabcdefhabcde⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上110acebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MHacebbaddfcfekhkhOXmm由111

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。直線與平面相交平面與平面相交⒈

直線與平面相交要討論的問題：●

求直線與平面的交點。

●

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可

見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況?！瘛穸?、相交問題直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。直線與平112例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①

求交點②

判別可見性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點判別可見性。作圖用線上取點法⑴

平面為特殊位置abcmncnbamk●k●1(2)2●1●●例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分1131(2)km(n)b●mncbaac⑵

直線為特殊位置空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①

求交點②

判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。k●2●1●作圖用面上取點法●1(2)km(n)b●mncbaac⑵直線為114⒉

兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①

求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。②

判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的115可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。①

求交線②

判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能!如何判別？例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴能否不用重影點判別？可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbe116abcdefcfdbeam(n)●例：求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴空間及投影分析①

求交線②

判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。m●n●

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。abcdefcfdbeam(n)●例：求兩平117a′a

bd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n

即為兩個共有點的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。①

求交線②

判別可見性

點Ⅰ在MC上，點Ⅱ在FH上，點Ⅰ在前，點Ⅱ在后，故mc可見。作圖⑵2●1●m′●m●n●●n′●a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2118abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●n′●m′●空間及投影分析

平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點m、n

即為兩個共有點的水平投影