第五章常微分方程的級(jí)數(shù)解和特殊函數(shù)課件

若1.p(z),q(z)均在圓盤內(nèi)解析;(常點(diǎn))定理5.1(解唯一性定理)對(duì)二階線性齊次常微分方程：第五章常微分方程的級(jí)數(shù)解和特殊函數(shù)§5.1常點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解勒讓德多項(xiàng)式和厄米多項(xiàng)式則方程有唯一的解,且在圓盤內(nèi)單值解析。(*)一.常點(diǎn)鄰域方程級(jí)數(shù)解的理論基礎(chǔ)2.方程的解滿足“初始”條件：若1.p(z),q(z)均在圓盤第一步設(shè)其解形式為代入方程，可得系數(shù)之間的遞推關(guān)系。且該遞推關(guān)系應(yīng)為比例關(guān)系(因方程齊次)。常點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解的求解思路(略)在z0點(diǎn)鄰域求解方程，第二步

結(jié)合“初始”條件，確定待定系數(shù)，給出方程的解。Tips:常微分方程的階數(shù)決定了所需初始條件的個(gè)數(shù)。第一步設(shè)其解形式為常點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解的求二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方程：解：令則二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方上式恒成立,則的系數(shù)恒為0代入勒讓德方程，并比較的系數(shù)，因?yàn)閤為

0的鄰域內(nèi)的

任意點(diǎn)，得展開系數(shù)的比例遞推公式：特別的，上式恒成立,則的系數(shù)恒為0代入勒讓德方程，并若給定a0和a1(初始條件)

，則利用遞推公式，則可得各階系數(shù)：因此，方程的通解為：若給定a0和a1(初始條件)，則利用遞推公式，則可其中收斂半徑：收斂區(qū)域：其中收斂半徑：收斂區(qū)域：三.勒讓德多項(xiàng)式考慮邊界點(diǎn),為使得有限l為奇數(shù)2n+1時(shí),y1(x)被截?cái)?函數(shù)為多項(xiàng)式形式。同樣,l為偶數(shù)2n時(shí),y0(x)變?yōu)槎囗?xiàng)式。取a1=0再取“初始”條件a0=0,則與l奇偶性不同的項(xiàng)均為0：三.勒讓德多項(xiàng)式考慮邊界點(diǎn),總之,l為整數(shù)時(shí),方程在[-1,1]存在有界非零解.解中最高冪次為l,且只有與l奇偶性相同的冪次。若給定l次冪的系數(shù)al為則由遞推公式反向遞推得到各階系數(shù)。(“初始”條件)稱整數(shù)l,是勒讓德方程滿足條件“y|x=±1值有限”

的

本征值,相應(yīng)的解稱為勒讓德方程的本征解。總之,l為整數(shù)時(shí),方程在[-1,1]存在有界由數(shù)學(xué)歸納法可證：由此，得勒讓德多項(xiàng)式：由數(shù)學(xué)歸納法可證：由此，得勒讓德多項(xiàng)式：比例遞推公式：常點(diǎn)鄰域常微分方程的級(jí)數(shù)解“初始”條件a0,a1

各階系數(shù)ak級(jí)數(shù)解：比例遞推公式：邊界條件:值有限①本征值:

l為整數(shù),

②“初始”條件,使

“初始”條件:本征解:勒讓德方程求解流程圖邊界條件:值有限①本征值:l為0~4階勒讓德多項(xiàng)式0~4階勒讓德多項(xiàng)式1.由圖中可見：l階的勒讓德多項(xiàng)式,最高冪次為l,共有l(wèi)個(gè)零點(diǎn).四.勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)2.勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布Pl'(x)共l-1個(gè)零點(diǎn),且與Pl(x)的零點(diǎn)交錯(cuò)分布.1.由圖中可見：l階的勒讓德多項(xiàng)式,最高冪次為l,x的冪、多項(xiàng)式可用勒讓德多項(xiàng)式來表示：勒讓德多項(xiàng)式為定義在[-1,1]上的正交多項(xiàng)式See：第9章x的冪、多項(xiàng)式可用勒讓德多項(xiàng)式來表示：勒讓德多項(xiàng)式為勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)表達(dá)式：勒讓德多項(xiàng)式的微分表達(dá)式(Rodrigues)：勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式(Schl?fli)：其中c為包圍點(diǎn)z=x的任一圍線。勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)表達(dá)式：勒讓德多項(xiàng)式的微分表達(dá)式(Rodri令積分式中，得Laplace表達(dá)式：令x=cosθ，令積分式中，得Laplace表達(dá)式：令x=cosθ若z0是p(z)不高于一階的極點(diǎn),且z0是q(z)不高于二階的極點(diǎn)(稱z0為正則奇點(diǎn))，則方程在z0的去心鄰域內(nèi)，至少存在一個(gè)形如的廣義冪級(jí)數(shù)解。其中s為某個(gè)常數(shù)，a0≠0。定理5.2(解存在性定理)二階線性齊次常微分方程：§5.2正則奇點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解貝塞爾、諾依曼函數(shù)一.正則奇點(diǎn)鄰域方程級(jí)數(shù)解的理論基礎(chǔ)(*)若z0是p(z)不高于一階的極點(diǎn),且z0是q二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞爾方程：解：令則代入方程，并比較同次冪的系數(shù)：(a0

≠0)二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞指標(biāo)方程：…因此，2m為整數(shù)時(shí)，可能有k±2m=0。將代入遞推公式:遞推公式化為a1

==0?指標(biāo)方程：…因此，2m為整數(shù)時(shí)，可能有k±2m=01.若2m非整數(shù),對(duì)正整數(shù)k,有k±2m≠0

由向上遞推比例關(guān)系1.若2m非整數(shù),對(duì)正整數(shù)k,有k±2m取“初始”條件又取“初始”條件又得兩個(gè)線性無關(guān)的解：m階第一類貝塞爾函數(shù)－m

階第一類貝塞爾函數(shù)2.若為奇數(shù),則因此，同樣可得非零解s=m時(shí)得兩個(gè)線性無關(guān)的解：m階第一類貝塞爾函數(shù)－m階第一類貝當(dāng)時(shí),由此時(shí)若再取“初始”條件ap=0

,則有ap+2n=0(n>0)s=－m時(shí)，由因此，同樣可得非零解由1.(2m為非整數(shù))和2.(2m為奇數(shù)p)知，

m不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：當(dāng)時(shí),由此時(shí)若2.若2m為偶數(shù),即m為非負(fù)整數(shù),則∵x=0或非負(fù)整數(shù)時(shí)，發(fā)散，此時(shí)J-m與Jm線性相關(guān)。(令n=m+k)2.若2m為偶數(shù),即m為非負(fù)整數(shù),則∵x為求另一線性無關(guān)的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另一線性無關(guān)的解:Nm(x)稱為m階第二類貝塞爾函數(shù),或諾依曼函數(shù)為求另一線性無關(guān)的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另Jm(x)和Nm(x)恒可構(gòu)成貝塞爾方程的兩個(gè)線性無關(guān)解；貝塞爾方程的通解均可記為：m為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：諾依曼函數(shù)還可寫為：(m為整數(shù))即，J-m(x)可由Nm(x)和Jm(x)線性表示.Jm(x)和Nm(x)恒可構(gòu)成貝塞爾方程2m＝偶數(shù)Jm(x),Nm(x)指標(biāo)方程：?ak

==02m≠整數(shù)Jm(x),J-m(x)2m＝奇數(shù)p

Jm(x),J-m(x)(取ap=0)

?a1

==0

貝塞爾方程求解流程圖s=m2m＝偶數(shù)Jm(x),Nm(x貝塞爾方程的求解結(jié)論m不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞爾方程的通解總是可記為：m階和–m階貝塞爾函數(shù)v階諾依曼函數(shù)貝塞爾方程的求解結(jié)論m不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞三.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)由遞推公式不含負(fù)冪項(xiàng)，x→0時(shí),Jm(x)收斂.含負(fù)冪項(xiàng),x→0時(shí)，J—m(x)→∞,發(fā)散.由定義,x→0,Nm(x)→∞,也發(fā)散.2.貝塞爾方程在x=0的鄰域的有界解為Jm(x)1.收斂半徑：R=∞三.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)由遞推公式不含負(fù)冪項(xiàng)，含負(fù)冪項(xiàng),x→J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非負(fù)整數(shù)時(shí),3.貝塞爾函數(shù)是衰減振蕩的函數(shù)4.貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)：無窮多個(gè)零點(diǎn),交錯(cuò)分布.J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非例.半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球貝塞爾函數(shù)半奇數(shù)階Bessel方程其線性無關(guān)解為：半奇數(shù)階Bessel函數(shù)，可以用初等函數(shù)表示：Tips:例.半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球貝塞爾函數(shù)半奇數(shù)階Bessel方球貝塞爾函數(shù)定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)和j0(x)

球貝塞爾函數(shù)定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)虛宗量貝塞爾函數(shù)稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量貝塞爾函數(shù)Im(x)和I－m(x)虛宗量貝塞爾函數(shù)稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量特殊函數(shù)的應(yīng)用：2.球坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關(guān)于角向坐標(biāo)θ的方程為(締合)勒讓德方程;3.柱坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關(guān)于坐標(biāo)ρ的方程為(虛宗量)貝塞爾方程.4.一維諧振子波函數(shù)的薛定諤方程可化為厄密方程.氫原子徑向波函數(shù)滿足(締合)拉蓋爾方程.1.圓孔衍射的光強(qiáng)分布可由J1(x)表示.關(guān)于徑向坐標(biāo)r

的方程為球貝塞爾方程.特殊函數(shù)的應(yīng)用：2.球坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程分離變量后，1.常微分方程的常點(diǎn),及常點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解3.了解勒讓德多項(xiàng)式的不同表達(dá)式6.熟悉貝塞爾方程的求解過程本章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2.熟悉勒讓德方程的求解過程6.熟悉第一類、第二類貝塞爾函數(shù)遞推公式、收斂半徑、邊界條件、l的本征值、“初始”條件、級(jí)數(shù)解.級(jí)數(shù)表達(dá)式、微分表達(dá)式、復(fù)積分表達(dá)式4.熟悉勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)P0(x)、P1(x)、Pl(1)、取值范圍、奇偶性，零點(diǎn)等1.常微分方程的常點(diǎn),及常點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解3.了解勒讓5.正則奇點(diǎn)，及其去心鄰域的廣義冪級(jí)數(shù)解.6.了解貝塞爾方程的求解過程指標(biāo)方程、遞推公式、“初始”條件、線性無關(guān)解7.了解不同類型的貝塞爾函數(shù)8.熟悉貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)收斂半徑、x=0處的有界解、奇偶性(m為整數(shù))、衰減振蕩、零點(diǎn)分布9.了解特殊函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用.求解常微分方程、數(shù)值計(jì)算等5.正則奇點(diǎn)，及其去心鄰域的廣義冪級(jí)數(shù)解.6.了解貝塞Page77習(xí)題5.1第4題解：①l=0時(shí)，②l=2(n+1)時(shí),由微分表達(dá)式得(1)Page77習(xí)題5.1第4題解：①l=0時(shí)，②當(dāng),即時(shí),為0次冪項(xiàng)因此，I=0.③l=2n+1時(shí),仍由微分表達(dá)式計(jì)算，但是：當(dāng),即(2)解：由微分表達(dá)式，分部積分得：(2)解：由微分表達(dá)式，分部積分得：②l=2n時(shí),由微分表達(dá)式①l=2n+1時(shí),與1類似，得I=0當(dāng),即時(shí),為0次冪項(xiàng)②l=2n時(shí),由微分表達(dá)式①l=2n+1時(shí)(3)解：①n<l時(shí),由微分表達(dá)式，分部積分得：(分部積分n次)(3)解：①n<l時(shí),由微分表達(dá)式，分部積分得：(②n－l為奇數(shù)時(shí),xn與Pl(x)奇偶性相反故被積函數(shù)為奇函數(shù).因此，I=0.③n－l為偶數(shù)時(shí),設(shè)n－l=2m,m為正整數(shù)其中：(分部積分l次)②n－l為奇數(shù)時(shí),xn與Pl(x)奇偶性相反其中：(分部積分m次)其中：(分部積分m次)(分部積分l+m次)(分部積分l+m次)第五章常微分方程的級(jí)數(shù)解和特殊函數(shù)課件第五章常微分方程的級(jí)數(shù)解和特殊函數(shù)課件若1.p(z),q(z)均在圓盤內(nèi)解析;(常點(diǎn))定理5.1(解唯一性定理)對(duì)二階線性齊次常微分方程：第五章常微分方程的級(jí)數(shù)解和特殊函數(shù)§5.1常點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解勒讓德多項(xiàng)式和厄米多項(xiàng)式則方程有唯一的解,且在圓盤內(nèi)單值解析。(*)一.常點(diǎn)鄰域方程級(jí)數(shù)解的理論基礎(chǔ)2.方程的解滿足“初始”條件：若1.p(z),q(z)均在圓盤第一步設(shè)其解形式為代入方程，可得系數(shù)之間的遞推關(guān)系。且該遞推關(guān)系應(yīng)為比例關(guān)系(因方程齊次)。常點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解的求解思路(略)在z0點(diǎn)鄰域求解方程，第二步

結(jié)合“初始”條件，確定待定系數(shù)，給出方程的解。Tips:常微分方程的階數(shù)決定了所需初始條件的個(gè)數(shù)。第一步設(shè)其解形式為常點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解的求二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方程：解：令則二.勒讓德方程的求解在x=0的鄰域求解l階勒讓德方上式恒成立,則的系數(shù)恒為0代入勒讓德方程，并比較的系數(shù)，因?yàn)閤為

0的鄰域內(nèi)的

任意點(diǎn)，得展開系數(shù)的比例遞推公式：特別的，上式恒成立,則的系數(shù)恒為0代入勒讓德方程，并若給定a0和a1(初始條件)

，則利用遞推公式，則可得各階系數(shù)：因此，方程的通解為：若給定a0和a1(初始條件)，則利用遞推公式，則可其中收斂半徑：收斂區(qū)域：其中收斂半徑：收斂區(qū)域：三.勒讓德多項(xiàng)式考慮邊界點(diǎn),為使得有限l為奇數(shù)2n+1時(shí),y1(x)被截?cái)?函數(shù)為多項(xiàng)式形式。同樣,l為偶數(shù)2n時(shí),y0(x)變?yōu)槎囗?xiàng)式。取a1=0再取“初始”條件a0=0,則與l奇偶性不同的項(xiàng)均為0：三.勒讓德多項(xiàng)式考慮邊界點(diǎn),總之,l為整數(shù)時(shí),方程在[-1,1]存在有界非零解.解中最高冪次為l,且只有與l奇偶性相同的冪次。若給定l次冪的系數(shù)al為則由遞推公式反向遞推得到各階系數(shù)。(“初始”條件)稱整數(shù)l,是勒讓德方程滿足條件“y|x=±1值有限”

的

本征值,相應(yīng)的解稱為勒讓德方程的本征解?？傊?l為整數(shù)時(shí),方程在[-1,1]存在有界由數(shù)學(xué)歸納法可證：由此，得勒讓德多項(xiàng)式：由數(shù)學(xué)歸納法可證：由此，得勒讓德多項(xiàng)式：比例遞推公式：常點(diǎn)鄰域常微分方程的級(jí)數(shù)解“初始”條件a0,a1

各階系數(shù)ak級(jí)數(shù)解：比例遞推公式：邊界條件:值有限①本征值:

l為整數(shù),

②“初始”條件,使

“初始”條件:本征解:勒讓德方程求解流程圖邊界條件:值有限①本征值:l為0~4階勒讓德多項(xiàng)式0~4階勒讓德多項(xiàng)式1.由圖中可見：l階的勒讓德多項(xiàng)式,最高冪次為l,共有l(wèi)個(gè)零點(diǎn).四.勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)2.勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布Pl'(x)共l-1個(gè)零點(diǎn),且與Pl(x)的零點(diǎn)交錯(cuò)分布.1.由圖中可見：l階的勒讓德多項(xiàng)式,最高冪次為l,x的冪、多項(xiàng)式可用勒讓德多項(xiàng)式來表示：勒讓德多項(xiàng)式為定義在[-1,1]上的正交多項(xiàng)式See：第9章x的冪、多項(xiàng)式可用勒讓德多項(xiàng)式來表示：勒讓德多項(xiàng)式為勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)表達(dá)式：勒讓德多項(xiàng)式的微分表達(dá)式(Rodrigues)：勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式(Schl?fli)：其中c為包圍點(diǎn)z=x的任一圍線。勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)表達(dá)式：勒讓德多項(xiàng)式的微分表達(dá)式(Rodri令積分式中，得Laplace表達(dá)式：令x=cosθ，令積分式中，得Laplace表達(dá)式：令x=cosθ若z0是p(z)不高于一階的極點(diǎn),且z0是q(z)不高于二階的極點(diǎn)(稱z0為正則奇點(diǎn))，則方程在z0的去心鄰域內(nèi)，至少存在一個(gè)形如的廣義冪級(jí)數(shù)解。其中s為某個(gè)常數(shù)，a0≠0。定理5.2(解存在性定理)二階線性齊次常微分方程：§5.2正則奇點(diǎn)鄰域方程的級(jí)數(shù)解貝塞爾、諾依曼函數(shù)一.正則奇點(diǎn)鄰域方程級(jí)數(shù)解的理論基礎(chǔ)(*)若z0是p(z)不高于一階的極點(diǎn),且z0是q二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞爾方程：解：令則代入方程，并比較同次冪的系數(shù)：(a0

≠0)二.貝塞爾方程的求解在x=0的去心鄰域求解m階貝塞指標(biāo)方程：…因此，2m為整數(shù)時(shí)，可能有k±2m=0。將代入遞推公式:遞推公式化為a1

==0?指標(biāo)方程：…因此，2m為整數(shù)時(shí)，可能有k±2m=01.若2m非整數(shù),對(duì)正整數(shù)k,有k±2m≠0

由向上遞推比例關(guān)系1.若2m非整數(shù),對(duì)正整數(shù)k,有k±2m取“初始”條件又取“初始”條件又得兩個(gè)線性無關(guān)的解：m階第一類貝塞爾函數(shù)－m

階第一類貝塞爾函數(shù)2.若為奇數(shù),則因此，同樣可得非零解s=m時(shí)得兩個(gè)線性無關(guān)的解：m階第一類貝塞爾函數(shù)－m階第一類貝當(dāng)時(shí),由此時(shí)若再取“初始”條件ap=0

,則有ap+2n=0(n>0)s=－m時(shí)，由因此，同樣可得非零解由1.(2m為非整數(shù))和2.(2m為奇數(shù)p)知，

m不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：當(dāng)時(shí),由此時(shí)若2.若2m為偶數(shù),即m為非負(fù)整數(shù),則∵x=0或非負(fù)整數(shù)時(shí)，發(fā)散，此時(shí)J-m與Jm線性相關(guān)。(令n=m+k)2.若2m為偶數(shù),即m為非負(fù)整數(shù),則∵x為求另一線性無關(guān)的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另一線性無關(guān)的解:Nm(x)稱為m階第二類貝塞爾函數(shù),或諾依曼函數(shù)為求另一線性無關(guān)的解,由常微分方程理論，令代入方程，解得另Jm(x)和Nm(x)恒可構(gòu)成貝塞爾方程的兩個(gè)線性無關(guān)解；貝塞爾方程的通解均可記為：m為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：諾依曼函數(shù)還可寫為：(m為整數(shù))即，J-m(x)可由Nm(x)和Jm(x)線性表示.Jm(x)和Nm(x)恒可構(gòu)成貝塞爾方程2m＝偶數(shù)Jm(x),Nm(x)指標(biāo)方程：?ak

==02m≠整數(shù)Jm(x),J-m(x)2m＝奇數(shù)p

Jm(x),J-m(x)(取ap=0)

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貝塞爾方程求解流程圖s=m2m＝偶數(shù)Jm(x),Nm(x貝塞爾方程的求解結(jié)論m不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞爾方程的通解總是可記為：m階和–m階貝塞爾函數(shù)v階諾依曼函數(shù)貝塞爾方程的求解結(jié)論m不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解寫為：貝塞三.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)由遞推公式不含負(fù)冪項(xiàng)，x→0時(shí),Jm(x)收斂.含負(fù)冪項(xiàng),x→0時(shí)，J—m(x)→∞,發(fā)散.由定義,x→0,Nm(x)→∞,也發(fā)散.2.貝塞爾方程在x=0的鄰域的有界解為Jm(x)1.收斂半徑：R=∞三.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)由遞推公式不含負(fù)冪項(xiàng)，含負(fù)冪項(xiàng),x→J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非負(fù)整數(shù)時(shí),3.貝塞爾函數(shù)是衰減振蕩的函數(shù)4.貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)：無窮多個(gè)零點(diǎn),交錯(cuò)分布.J0(x)和J1(x)N0(x)和N1(x)5.m為非例.半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球貝塞爾函數(shù)半奇數(shù)階Bessel方程其線性無關(guān)解為：半奇數(shù)階Bessel函數(shù)，可以用初等函數(shù)表示：Tips:例.半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)和球貝塞爾函數(shù)半奇數(shù)階Bessel方球貝塞爾函數(shù)定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)和j0(x)

球貝塞爾函數(shù)定義為：n-1(x)和n0(x)j-1(x)虛宗量貝塞爾函數(shù)稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量貝塞爾函數(shù)Im(x)和I－m(x)虛宗量貝塞爾函數(shù)稱為虛宗量貝塞爾方程.取初始條件：可得虛宗量特殊函數(shù)的應(yīng)用：2.球坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關(guān)于角向坐標(biāo)θ的方程為(締合)勒讓德方程;3.柱坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程分離變量后，關(guān)于坐標(biāo)ρ的方程為(虛宗量)貝塞爾方程.4.一維諧振子波函數(shù)的薛定諤方程可化為厄密方程.氫原子徑向波函數(shù)滿足(締合)拉蓋爾方程.1.圓孔衍射的光強(qiáng)分布可由J1(x)表示.關(guān)于徑向坐標(biāo)r

的方程為球貝塞爾方程.特殊函數(shù)的應(yīng)用：2.球坐標(biāo)系下，亥姆霍茲方程分離變量后，1.常微分方程的常點(diǎn),及常點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解3.了解勒讓德多項(xiàng)式的不同表