2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(遼寧卷)理

遼寧理科1.(2012遼寧,理1)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},則(?UA)∩(?UB)=().A.{5,8} B.{7,9}C.{0,1,3} D.{2,4,6}B由已知條件可得?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},所以(?UA)∩(?UB)={7,9},故選B.2.(2012遼寧,理2)復(fù)數(shù)=().A.-i B.+iC.1-i D.1+iA===-i,故選A.3.(2012遼寧,理3)已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是().A.a∥b B.a⊥bC.|a|=|b| D.a+b=a-bB|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2,因?yàn)閨a+b|=|a-b|,所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即2a·b=-2a·b,所以a·b=0,a⊥b.故選B.4.(2012遼寧,理4)已知命題p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,則p是().A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0C命題p是一個(gè)全稱命題,其否定為存在性命題,p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,故選C.5.(2012遼寧,理5)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為().A.3×3! B.3×(3!)3C.(3!)4 D.9!C完成這件事可以分為兩步,第一步排列三個(gè)家庭的相對位置,有種排法;第二步排列每個(gè)家庭中的三個(gè)成員,共有種排法.由乘法原理可得不同的坐法種數(shù)有,故選C.6.(2012遼寧,理6)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=().A.58 B.88 C.143 D.176B因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,所以S11=,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),若p+q=m+n,則ap+aq=am+an得,a1+a11=a4+a8=16,所以S11==88,故選B.7.(2012遼寧,理7)已知sinα-cosα=,α∈(0,π),則tanα=().A.-1 B.- C. D.1A將sinα-cosα=兩邊平方得sin2α-2sinαcosα+cos2α=2,即sinαcosα=-,則==-,整理得2tanα+tan2α+1=0,即(tanα+1)2=0,所以tanα=-1.故選A.8.(2012遼寧,理8)設(shè)變量x,y滿足則2x+3y的最大值為().A.20 B.35 C.45 D.55D不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,則2x+3y在A(5,15)處取得最大值,故選D.9.(2012遼寧,理9)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的S值是().A.-1 B.C. D.4D當(dāng)i=1時(shí),S==-1;i=2時(shí),S==;i=3時(shí),S==;i=4時(shí),S==4;i=5時(shí),S==-1;i=6時(shí),S=;i=7時(shí),S=;i=8時(shí),S=4;i=9時(shí),輸出S,故選D.10.(2012遼寧,理10)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C,現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm2的概率為().A. B. C. D.C設(shè)AC=xcm(0<x<12),則CB=12-x(cm),則矩形面積S=x(12-x)=12x-x2<32,即(x-8)(x-4)>0,解得0<x<4或8<x<12,在數(shù)軸上表示為由幾何概型概率公式得,概率為=,故選C.11.(2012遼寧,理11)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos(πx)|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().A.5 B.6 C.7 D.8B由f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x)可知,f(x)是偶函數(shù),且關(guān)于直線x=1對稱,又由f(2-x)=f(x)=f(-x)可知,f(x)是以2為周期的周期函數(shù).在同一坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)在上的圖象如圖,可知f(x)與g(x)的圖象在上有6個(gè)交點(diǎn),即h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.12.(2012遼寧,理12)若x∈[0,+∞),則下列不等式恒成立的是().A.ex≤1+x+x2 B.≤1-x+x2C.cosx≥1-x2 D.ln(1+x)≥x-x2C對于ex與1+x+x2,當(dāng)x=5時(shí),ex>32,而1+x+x2=31,所以A選項(xiàng)不正確;對于與1-x+x2,當(dāng)x=時(shí),=,1-x+x2=<,所以B選項(xiàng)不正確;令f(x)=cosx+x2-1,則f'(x)=x-sinx≥0對x∈[0,+∞)恒成立,f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),所以f(x)的最小值為f(0)=0,所以f(x)≥0,cosx≥1-x2,故C正確;令g(x)=ln(1+x)-x+x2,則g'(x)=+x-1,令g'(x)=0,得x=0或x=3.當(dāng)x∈(0,3)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在x=3時(shí)取得最小值g(3)=ln4-3+<0,所以D不正確.13.(2012遼寧,理13)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為.

38由三視圖可以看出該幾何體為一個(gè)長方體從中間挖掉了一個(gè)圓柱,長方體表面積為2×(4×3+3×1+4×1)=38,圓柱的側(cè)面積為2π,上下兩個(gè)底面積和為2π,所以該幾何體的表面積為38+2π-2π=38.14.(2012遼寧,理14)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.2n設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則·q8=a1·q9,a1=q,由2(an+an+2)=5an+1,得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列,所以q=2,a1=2,an=2n.15.(2012遼寧,理15)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.

-4由已知可設(shè)P(4,y1),Q(-2,y2),∵點(diǎn)P,Q在拋物線x2=2y上,∴∴∴P(4,8),Q(-2,2).又∵拋物線可化為y=x2,∴y'=x,∴過點(diǎn)P的切線斜率為y'=4.∴過點(diǎn)P的切線為:y-8=4(x-4),即y=4x-8.又∵過點(diǎn)Q的切線斜率為y'=-2,∴過點(diǎn)Q的切線為y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.聯(lián)立得x=1,y=-4,∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4.16.(2012遼寧,理16)已知正三棱錐P-ABC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為的球面上,若PA,PB,PC兩兩相互垂直,則球心到截面ABC的距離為.

正三棱錐P-ABC可看作由正方體PADC-BEFG截得,如圖所示,PF為三棱錐P-ABC的外接球的直徑,且PF⊥平面ABC.設(shè)正方體棱長為a,則3a2=12,a=2,AB=AC=BC=2.S△ABC=×2×2×=2.由VP-ABC=VB-PAC,得·h·S△ABC=××2×2×2,所以h=,因此球心到平面ABC的距離為.17.(2012遼寧,理17)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列.(1)求cosB的值;(2)邊a,b,c成等比數(shù)列,求sinAsinC的值.解:(1)由已知2B=A+C,A+B+C=180°,解得B=60°,所以cosB=.(2)解法一:由已知b2=ac,及cosB=,根據(jù)正弦定理得sin2B=sinAsinC,所以sinAsinC=1-cos2B=.解法二:由已知b2=ac,及cosB=,根據(jù)余弦定理得cosB=,解得a=c,所以A=C=B=60°,故sinAsinC=.18.(2012遼寧,理18)如圖,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',點(diǎn)M,N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn).(1)證明:MN∥平面A'ACC';(2)若二面角A'-MN-C為直二面角,求λ的值.解:(1)證法一:連結(jié)AB',AC',由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'為直三棱柱,所以M為AB'中點(diǎn).又因?yàn)镹為B'C'的中點(diǎn),所以MN∥AC'.又MN?平面A'ACC',AC'?平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.證法二:取A'B'中點(diǎn)P,連結(jié)MP,NP,而M,N分別為AB'與B'C'的中點(diǎn),所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A'ACC'.而MN?平面MPN,因此MN∥平面A'ACC'.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線AB,AC,AA'為x軸,y軸,z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示.設(shè)AA'=1,則AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),所以M,N.設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的法向量,由得可取m=(1,-1,λ).設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,由得可取n=(-3,-1,λ).因?yàn)锳'-MN-C為直二面角,所以m·n=0,即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=.19.(2012遼寧,理19)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:χ2=,P(χ2≥k)0.050.01k3.8416.635解:(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而2×2列聯(lián)表如下:非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得χ2===≈3.030.因?yàn)?.030<3.841,所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意X~B,從而X的分布列為X0123P E(X)=np=3×=,D(X)=np(1-p)=3××=.20.(2012遼寧,理20)如圖,橢圓C0:+=1(a>b>0,a,b為常數(shù)),動圓C1:x2+y2=,b<t1<a.點(diǎn)A1,A2分別為C0的左,右頂點(diǎn),C1與C0相交于A,B,C,D四點(diǎn).(1)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程;(2)設(shè)動圓C2:x2+y2=與C0相交于A',B',C',D'四點(diǎn),其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,證明:+為定值.(1)解:設(shè)A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),則直線A1A的方程為y=(x+a),①直線A2B的方程為y=(x-a).②由①②得y2=(x2-a2).③由點(diǎn)A(x1,y1)在橢圓C0上,故+=1.從而=b2,代入③得-=1(x<-a,y<0).(2)證明:設(shè)A'(x2,y2),由矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,得4|x1||y1|=4|x2||y2|,故=.因?yàn)辄c(diǎn)A,A'均在橢圓上,所以b2=b2.由t1≠t2,知x1≠x2,所以+=a2.從而+=b2,因此+=a2+b2為定值.21.(2012遼寧,理21)設(shè)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=x在(0,0)點(diǎn)相切.(1)求a,b的值;(2)證明:當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)<.(1)解:由y=f(x)過(0,0)點(diǎn),得b=-1.由y=f(x)在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為,又y'|x=0=|x=0=+a,得a=0.(2)證法一:由均值不等式,當(dāng)x>0時(shí),2<x+1+1=x+2,故<+1.記h(x)=f(x)-,則h'(x)=+-=-<-=.令g(x)=(x+6)3-216(x+1),則當(dāng)0<x<2時(shí),g'(x)=3(x+6)2-216<0.因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又由g(0)=0,得g(x)<0,所以h'(x)<0.因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又h(0)=0,得h(x)<0.于是當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)<.證法二:由(1)知f(x)=ln(x+1)+-1.由均值不等式,當(dāng)x>0時(shí),2<x+1+1=x+2,故<+1.①令k(x)=ln(x+1)-x,則k(0)=0,k'(x)=-1=<0,故k(x)<0,即ln(x+1)<x.②由①②得,當(dāng)x>0時(shí),f(x)<x.記h(x)=(x+6)f(x)-9x,則當(dāng)0<x<2時(shí),h'(x)=f(x)+(x+6)f'(x)-9<x+(x+6)-9=[3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)]<=(7x-18)<0.因此h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,又h(0)=0,所以h(x)<0,即f(x)<.22.(2012遼寧,理22)選修4-1:幾何證明選講如圖,☉O和☉O'相交于A,B兩點(diǎn),過A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn),連結(jié)DB并延長交☉O于點(diǎn)E.證明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.證明:(1)由AC與☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽