2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y=xcosx－sinx的導(dǎo)數(shù)為A、xsinx

B、－xsinx

C、xcosx

D、－xcosx參考答案：B略2.設(shè)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.（本小題滿分10分）已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).

（1）求的最大值；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

(3）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)．參考答案：（1），上單調(diào)遞減，在[-1，1]上恒成立，，故的最大值為（2）由題意（其中），恒成立，令，若，則有恒成立，

若，則，恒成立，綜上，

（3）由 令當(dāng)

上為增函數(shù)；Ks5u當(dāng)時(shí)，

為減函數(shù)；當(dāng)而 方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；Ks5u當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根.4.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）與圓C2：x2+y2=b2，若在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】作出簡(jiǎn)圖，則＞，則e=．【解答】解：由題意，如圖若在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，則e=，故選A．5.已知=（2，﹣3，1），=（4，﹣6，x），若⊥，則x等于（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣26參考答案：D【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【分析】由?=0，得到8+18+x=0，解出即可．【解答】解：∵⊥，則?=0，即8+18+x=0，解得：x=﹣26，故選：D．6.已知橢圓的方程為，則該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A、（0，1）

B、（0，）

C、（1，0）

D、（，0）參考答案：A略7.曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸及直線=1所圍成的三角形的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知z1=1﹣3i，z2=3+i，其中i是虛數(shù)單位，則的虛部為（）A．﹣1 B． C．﹣i D．參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：===的虛部為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.a是一個(gè)平面，是一條直線，則a內(nèi)至少有一條直線與 A．垂直

B．相交

C．異面 D．平行參考答案：A10.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列，若=1，則=(

)A.

7

B.

8

C.

15

D.

16參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長(zhǎng)等于____________.參考答案：12.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線DE與D1C所成角的余弦值為_____．參考答案：【分析】過(guò)E作EF，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在三角形DEF中，計(jì)算可得cos.【詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，則EF，∴即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，則在△DEF中，DE=,,∴在等腰三角形DEF中，可得cos,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直角所成角的定義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13.若兩點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的取值范圍是_________.參考答案：[1，5]略14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以的Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱。若，則等于________.參考答案：【分析】由角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，得，再代入的2倍角展開式，進(jìn)行求值?！驹斀狻恳?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，因?yàn)??！军c(diǎn)睛】根據(jù)角與角的終邊的對(duì)稱，利用三角函數(shù)線可快速得到兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。15.已知，則函數(shù)f（x）的解析式為．參考答案：f（x）=x2﹣1，（x≥1）【考點(diǎn)】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】換元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化簡(jiǎn)可得f（t），進(jìn)而可得f（x）【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1，代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1），化簡(jiǎn)可得f（t）=t2﹣1，t≥1故可得所求函數(shù)的解析式為：f（x）=x2﹣1，（x≥1）故答案為：f（x）=x2﹣1，（x≥1）16.．在平面四邊形中，若，則的值為

．參考答案：5略17.曲線和所圍成的封閉圖形的面積是_______.參考答案：【分析】本題首先可以繪出曲線和的圖像，并找出兩曲線圖像圍成的區(qū)域，然后通過(guò)微積分以及定積分的基本定理即可解出答案?！驹斀狻咳鐖D所示，曲線和所圍成的封閉圖形的面積為：，故答案為?！军c(diǎn)睛】本題考查幾何中面積的求法，考查利用微積分以及定積分的相關(guān)性質(zhì)求解面積，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求．參考答案：解：（1）∵，∴

①

②由①－②得：，，∵∴，又∵，∴∴當(dāng)時(shí)，，符合題意．（2）∵

∴則略19.已知f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增．（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）討論函數(shù)g（x）=在（﹣，+∞）上的單調(diào)性，并證之．參考答案：【考點(diǎn)】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；4U：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】（1）由f（x）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增，列出方程組，能求出f（x）的表達(dá)式．（2）推導(dǎo)出g（x）=x++3，利用定義法和分類討論思想能求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵f（x）=（a2﹣a﹣1）xa（a是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增．∴由題意得：，解得a=2，∴f（x）=x2．（2）g（x）===x++3，任取x1，x2∈（﹣），且x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（+3）=（x1﹣x2）+（）=，①當(dāng)﹣＜0時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（﹣，0）上單調(diào)遞減．②當(dāng)0＜時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減．③當(dāng)時(shí)，x1x2﹣2＜0，x1﹣x2＜0，x1x2＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），∴g（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增．20.(本小題滿分12分)若不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明結(jié)論．參考答案：略21.如圖，四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，且平面．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若平面與平面的夾角為，試求線段的長(zhǎng)．參考答案：（Ⅰ）證明：平面，

四邊形是菱形，又，

所以平面，又平面，所以平面平面．

（6分）（Ⅱ）取的中點(diǎn)，由題易證，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)．所以．

…………（7分）設(shè)平面的法向量為,根據(jù)，得，令，則．

…………（