九年級數(shù)學(xué)專題-實(shí)際問題中的二次函數(shù)關(guān)系華東師大版知識精講

初三數(shù)學(xué)寒假專題—實(shí)際問題中的二次函數(shù)關(guān)系華東師大版【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：寒假專題——實(shí)際問題中的二次函數(shù)關(guān)系［中考課標(biāo)要求］理解并掌握“通過對實(shí)際問題的分析確定二次函數(shù)表達(dá)式”。［中考能力要求］（1）會構(gòu)建二次函數(shù)模型解決一類與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用性問題；（2）會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來解決有關(guān)的函數(shù)綜合性問題?！镜湫屠}】例1.如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，在BC邊上取一點(diǎn)P（不與B、C重合），在CD邊上取一點(diǎn)Q，使∠APQ＝90°，設(shè)BP＝xcm，CQ＝y(tǒng)cm。（1）試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)P在什么位置時(shí)，CQ有最大值，最大值是多少？分析：在背景圖形中，能很容易地確定兩個(gè)相似的三角形：△ABP∽△PCQ，兩三角形相似，就可得出對應(yīng)邊成比例。也就建立了x與y之間的關(guān)系，進(jìn)而可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。解：在矩形ABCD中，∠APQ＝90°則∠B＝∠C＝90°∠APB＋∠QPC＝90°∠QPC＋∠PQC＝90°故∠APB＝∠PQC又因∠B＝∠C所以△ABP∽△PCQ故有而AB＝6，BC＝8所以故，即y與x間為二次函數(shù)關(guān)系因此二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為故：當(dāng)時(shí)，y有最大值為即當(dāng)點(diǎn)P在BC中點(diǎn)處時(shí)，CQ有最大值例2.如圖，改革開放以后，不少農(nóng)村用上了自動(dòng)噴灌設(shè)備，設(shè)水管AB高出地面，點(diǎn)B處有一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭，一瞬間噴出的水呈拋物線形狀，噴頭B與水流最高點(diǎn)C的連線呈45°角，水流的最高點(diǎn)C比噴頭B高出2m，在所建的坐標(biāo)系中，求水流的落點(diǎn)D到A的距離是多少m？分析：由題目描述結(jié)合圖象，可將拋物線上的點(diǎn)B和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)求出來，（在求C點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，注意解直角三角形△BCF）由B、C坐標(biāo)可以確定出拋物線的解析式，進(jìn)而可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后求出D到A的距離。解：由題意得：故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，）過C點(diǎn)作CE⊥x軸，垂足為E，過B作BF⊥CE，垂足為F，連結(jié)CB則CF＝2，∠CBF＝45°所以BF＝CF＝2又因EF＝OB＝，則EC＝2＋＝∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，）故可設(shè)拋物線解析式為又∵過點(diǎn)B（0，）則拋物線解析式為：令，則解得：則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）即例3.一個(gè)涵洞成拋物線形（如圖），現(xiàn)測得，當(dāng)水面寬AB＝時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為，此時(shí)，離水面處，涵洞寬ED是多少？是否為超過1m？分析：由已知，建立如圖坐標(biāo)系，要想求出ED，只須求出FD，即只要求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)即可，而由已知，可確定出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，故若先求出拋物線解析式，就可借此進(jìn)一步求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)。解：∵AB＝，CO＝∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，）又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）∴可設(shè)解析式為，因又過點(diǎn)A（，）則∴拋物線解析式為：因，則故點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，）故則，則，則即離水面時(shí)，涵洞寬m，并未超過1m。例4.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程。下面的二次函數(shù)圖像（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤總和s與t之間的關(guān)系）。根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：（1）由已知圖像上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤s（萬元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)到30萬元；（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤是多少萬元？分析：此題主要是識圖，從圖中可確定拋物線上四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：（1，），（2，-2），（0，0）及（5，），可由其中三點(diǎn)的坐標(biāo)求出拋物線的解析式，第二問則應(yīng)理解為當(dāng)時(shí)，？第三問則應(yīng)理解為。解：（1）設(shè)，由圖可得拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，0），（1，）和（2，-2），則有：解得：（2）當(dāng)S＝30時(shí)，解得：（不合題意，舍去）∴截止到10月末，公司利潤累積達(dá)到30萬元（3）當(dāng)t＝7時(shí)，前7個(gè)月利潤總額為第t＝8時(shí)，前8個(gè)月利潤總額為∴第8個(gè)月公司利潤為：（萬元）例5.某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000kg，購進(jìn)價(jià)格為每千克30元。物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價(jià)定為70元時(shí)，日均銷售60kg；單價(jià)每降低1元，日均多售出2kg。在銷售過程中，每天還要支出其他費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí)，按整天計(jì)算）。設(shè)銷售單價(jià)為x元，日均獲利y元。（1）求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；（2）將（1）中所求出的二次函數(shù)關(guān)系式配方成的形式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出草圖；觀察圖象，指出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲利最多，是多少？（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和單價(jià)最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利最多，多多少？分析：（1）由銷售單價(jià)為x元，得每千克降低了元，日均多銷售，日均銷售量是，則日均獲利y＝日均銷售量×每千克獲利－每天支出費(fèi)用500。（2）將何時(shí)取得最大利潤與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)聯(lián)系起來，在單價(jià)定為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，日獲利最多即是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。（3）分別算出日均獲利最多時(shí)的利潤及單價(jià)最高時(shí)的利潤，然后進(jìn)行比較即可。解：（1）若銷售單價(jià)為x元，則每千克降低了元，則日均多銷售出，此時(shí)，日均銷售量為千克，每千克獲利元。由題意得：即（2）∴拋物線頂點(diǎn)為（65，1950），且過點(diǎn)和（70，1500）由圖可知：當(dāng)單價(jià)定為65元時(shí)，日均獲利最多，為1950元。（3）當(dāng)日獲利最多時(shí)，單價(jià)為65元，日均銷售量為則此時(shí)總獲利＝元當(dāng)銷售價(jià)最高為70元，日均銷售量為60kg，要銷售天則此時(shí)總獲利＝元故第二種即以單價(jià)最高這種方式獲利多，多出26500元。例6.如圖一單杠高，兩立柱之間距離為，將一根繩子的兩端拴于立柱與鐵杠結(jié)合處，繩子自然下垂呈拋物線狀。（1）一個(gè)身高的小孩站在立柱處，其頭部剛好觸上繩子，求繩子最低點(diǎn)到地面的距離；（2）為供孩子們打秋千，把繩子剪斷后，中間系一塊長為的木板，除掉系木板用去的繩子后，兩邊的繩長正好各為2m，木板與地面平行，求木板到地面的距離。（供選用的數(shù)據(jù)：）分析：（1）建立好適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，可由條件推出拋物線上A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得到拋物線解析式，故可得到拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，頂點(diǎn)即最低點(diǎn)，進(jìn)而得到繩子最低點(diǎn)到地面的距離。（2）作出等腰梯形的兩條高后，通過解直角三角形求出梯形的高，就可得到木板到地面的距離。解：（1）由已知可知：AB＝，BE＝點(diǎn)D到x軸距離為，到y(tǒng)軸距離為（）故得B（，），D（，）由圖設(shè)拋物線解析式為：則有解得：∴此拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，）則繩子最低點(diǎn)即C點(diǎn)到地面的距離為米（2）作EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB由題知：，AE＝BF＝2四邊形AEFB為等腰梯形則則在Rt△AGE中，AE＝2，AG＝即木板到地面的距離為【模擬試題】1.已知：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，0），且對稱軸為直線，與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，求二次函數(shù)的解析式。2.已知：二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，在y軸上截距是-3，且圖象在x軸上截得的線段長為6，求二次函數(shù)解析式。3.拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（如圖），若∠ACB＝90°，求：m的值。4.已知：△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，DE⊥AC，DF⊥BC，設(shè)。（1）AE用含y的代數(shù)式表示為：AE＝____________；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；（3）設(shè)四邊形DECF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。5.某商場購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為獲得更高的利潤，決定提高售價(jià)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若每件20元，每月能夠賣360件，若每件25元，每月賣210件，假定每月銷售件數(shù)y（件）是價(jià)格x（元/件）的一次函數(shù)。（1）試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在商品不積壓且不考慮其它因素條件下，問售價(jià)定多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤？每月獲得最大利潤是多少？6.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的注意力逐步加強(qiáng)，中間有一段時(shí)間保持較為理想的狀態(tài)，隨后注意力開始分散，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析，學(xué)生的注意力y隨時(shí)間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系式：（1）講課開始后第五分鐘時(shí)與講課開始后第25分鐘時(shí)比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？（2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多久？（3）一數(shù)學(xué)題，需講解24分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力最低達(dá)到180，那么經(jīng)過老師的適當(dāng)安排，能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題？7.如圖，邊長為4的正方形ABCD