談談題目的組織與編制

談談題目的組織與編制一．題目的選擇與組織1．考試題的命制（1）難度的控制（2）重現(xiàn)與創(chuàng)新（3）讓誰考高分2．訓練題的組織（1）難易的比例（2）重復與強化（3）題量的控制二．談談題目的編制例.（05年數(shù)學通訊12期）（北京市海淀區(qū)2007屆高三上學期期末）已知函數(shù)fx的定義域為[0,1]，且滿足下列條件：①對于任意[0,1]，總有，且；②若則有（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求證：fx；（Ⅲ）當時，試證明：.解.（Ⅰ）解：令，由①對于任意[0,1]，總有，∴1分又由②得即2分∴3分（Ⅱ）任取且設則因為，所以，即∴.5分∴當[0,1]時，.6分（Ⅲ）證明：先用數(shù)學歸納法證明：當n=1時，，不等式成立；7分假設當n=k時，由得即所以，當n=k+1時，不等式成立；10分由（1）、（2）可知，不等式對一切正整數(shù)都成立.11分于是，當時，，所以，13分（一）．成題的挖掘與推廣例1（2006年全國一）設集合.選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有A．B．C．D．推廣．已知集合，選擇兩個非空子集A和B構(gòu)成有序子集對（A，B）.（1）要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，這樣的子集對（A，B）有多少個？（2）要使B中最小的數(shù)小于A中最大的數(shù)，這樣的子集對（A，B）有多少個？解：（1）解法1考慮集合A與B的并集元素個數(shù)，當=2時，這樣的子集對為個，即較大的元素在B中，較小的元素在A中；當時，這樣的子集對為個；；當時，這樣的子集對為個.故所有滿足條件的子集對（A，B）有個.解法2B的最小元素不可能是1，當B中最小元素是時，則集合A有種可能，集合B有種可能，于是這樣的子集對有（2）解法1所有的非空子集對共有個首先考慮B中最小的數(shù)等于A中最大數(shù)的情況，若A中最大數(shù)為，則B中最小數(shù)為，于是集合A有種可能，集合B有種可能，于是這樣的子集對有個，故B中最大數(shù)等于A中最小數(shù)的子集對有個，再由第（1）問知滿足B中最小的數(shù)大于A中最大數(shù)的子集對個數(shù)為.所以滿足條件的子集對個數(shù)為解法2B中的最小元素不可能是n,當B中最小元素為時，集合B有種可能，集合A有種可能，此時有子集對個.于是共有子集對個.例2（2006中學數(shù)學第11期新題征展）已知拋物線及定點，過M作兩互相垂直的直線與拋物線交于A、B、C、D四點，四邊形ADBC的面積是否有最大值和最小值？若有，何時取得最值？（2007安徽文科）：設是拋物線的焦點，為拋物線上異于原點的兩點，且滿足，延長，分別交拋物線于點，求四邊形面積的最小值．進一步推廣：已知拋物線及定點，過M作兩直線與拋物線交于A、B、C、D四點，使其斜率之積為，求四邊形ADBC的面積有最小值（09全國2）.已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為。例3：一質(zhì)點由原點出發(fā)作如下運動：先向第一象限任意方向運動，運動距離為，再沿軸正方向運動，運動距離為，（其中），則質(zhì)點所有可能達到的位置形成的區(qū)域面積為____________改編：一質(zhì)點由原點出發(fā)作如下運動：先向第一象限任意方向運動，運動距離為，再沿向量方向運動，運動距離為，（其中），則質(zhì)點所有可能達到的位置形成的區(qū)域面積為____________再改編：空間內(nèi)一質(zhì)點由原點出發(fā)作如下運動：先向面上方任意方向運動，運動距離為，再沿軸正方向運動，運動距離為，（其中），則質(zhì)點所有可能達到的位置形成的區(qū)域體積為___________例4．已知正實數(shù)及函數(shù)滿足且,求的最小值.（中學數(shù)學）改編1：已知正實數(shù)及函數(shù)滿足(為大于零的常數(shù))，且,求的最小值.（中學數(shù)學）改編2：已知函數(shù)，且(均大于)，求的最小值.（二）結(jié)論的類比例：（1）等差數(shù)列中，，則（2）等差數(shù)列的前項和為，若，則（3）等差數(shù)列的前項和為，，則（中學數(shù)學2005年第4期）類比（1）：等比數(shù)列，則類比（2）：等比數(shù)列的前項積為，若，則類比（3）：等比數(shù)列的前項積為，，則（三）．以圓錐曲線的性質(zhì)為背景xyABPOM（中學數(shù)學2006年xyABPOM(1)直線AB斜率為何值時，∠APB最??？(2)直線AB斜率為何值時，最小？（06年全國2）已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。 （I）證明為定值； （II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。提示F點的坐標為(0,1)設A點的坐標為，B點的坐標為由可得因此過A點的切線方程為(1)過B點的切線方程為(2)解(1)(2)構(gòu)成的方程組可得點M的坐標,從而得到=0即為定值2.=0可得三角形面積xy所以xy當且僅當時取等號（數(shù)學通訊）例2．已知拋物線及點P，直線斜率為1且不過點P，與拋物線交于點A、B.(1)求直線截距b的取值范圍；（2）若AP、BP分別與拋物線交于另一點C、D，證明：AD，BC交于一定點M.解：（1）將直線的方程代入，得由△得，又斜率為1且經(jīng)過點P（2,2）的直線截距為0，于是直線截距b的范圍是（2）證明：設點A，B，C，D的坐標分別為，則直線AB的斜率，于是得.同理知直線AC，BD，AD，BC的斜率分別為，，，，于是由A，P，C三點共線知，化簡得，以替換得①同理由B，P，D三點共線可得②設AD與BC交點為M（）由A，D，M三點共線知，化簡得③同理由B，C，M三點共線得④將①，②兩式分別代入④，③兩式得，，易知，于是得.即AD與BC交于定點.例3（12年數(shù)學通訊第4期）已知橢圓，過點作直線與橢圓交于、兩點.若點平分線段，試求直線的方程；設與滿足（1）中條件的直線平行的直線與橢圓交于、兩點，與橢圓交于點，與橢圓交于點，求證：//.解：（1），，則有，.①②－②得，即，得故直線的方程為，即.(2)證明：設，且.則有，，即.將點、的坐標分別代入橢圓方程：①②②－①得易知，故約去得③同理有④由④－③得.由已知，斜率為，有，得即，即，所以//.（四）．運動規(guī)律的問題P6OP28xP21P15P10P3P1yP6OP28xP21P15P10P3P1y(1)若Pk的坐標為(20,20),求正整數(shù)k的值；(2)求點P2005的坐標．解（1），當質(zhì)點運動到Mn（）后，向下運動個單位，再向右運動個單位，再向上運動個單位，再向左運動個單位，到點Mn+1,易知Mn+1(),由此可知，當質(zhì)點運動秒后，其坐標為，若Pk的坐標為(20,20)，此時，故=780.(2)因，由63=知2016秒末質(zhì)點位于,于是的坐標為．（五）．以函數(shù)模型為背景例（數(shù)學通訊08年第5期）：已知定義在上的奇函數(shù)滿足：①②對任意的，均有③對任意的，均有（1）試求的值；（2）證明在上單調(diào)增；（3）是否存在實數(shù)，使得對任意的恒成立？若存在，請求出的范圍；若不存在，請說明理由解：（1）令，得故（2）任取，則有從而故在上單調(diào)增因是奇函數(shù)，且在上單調(diào)增，所以在上單調(diào)增令，得令得，即因是奇函數(shù)，于是的解集為，于是問題轉(zhuǎn)化為是否存在實數(shù)，使或恒成立，令，則，于是恒成立等價于恒成立即恒成立，當時，，故不存在使對任意的恒成立恒成立等價于，恒成立由恒成立，得求導可知在單調(diào)減，于是，故，于是存在使對任意的恒成立綜上可知，存在實數(shù)，使得對任意的恒成立（六）．以拉格朗日中值定理為背景例：已知函數(shù)(為非零常數(shù)).（=1\*ROMANI）當時，求函數(shù)的最小值；（=2\*ROMANII）若恒成立，求的值；（=3\*ROMANIII）對于增區(qū)間內(nèi)的三個實數(shù)(其中)，證明：.解：（=1\*ROMANI）由，得，……1分令，得.當，知在單調(diào)遞減；當，知在單調(diào)遞增；故的最小值為.………3分（=2\*ROMANII），當時，恒小于零，單調(diào)遞減.當時，，不符合題意.…………4分對于，由得當時，，∴在單調(diào)遞減；當時，，∴在單調(diào)遞增；于是的最小值為.………6分只需成立即可，構(gòu)造函數(shù).∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，僅當時取得最大值，故，即.………8分（=3\*ROMANIII）解法1：由已知得：，∴，先證，，.…9分設，∴在內(nèi)是減函數(shù)，∴，即.….11分同理可證，∴.……12分（=3\*ROMANIII）解法2：令得.下面證明.令，則恒成立，即為增函數(shù).……9分，構(gòu)造函數(shù)（），，，故時，，即得，同理可證.…………10分即，因為增函數(shù)，得，即在區(qū)間上存在使；同理，在區(qū)間上存在使，由為增函數(shù)得.……12分（七）．以琴生不等式為背景已知函數(shù)，其導函數(shù)為.求的最小值；證明：對任意的和實數(shù)且，總有；若滿足：且，求的最小值.解：（1），當時，，即在區(qū)間上為減函數(shù)；當時，，即在區(qū)間上為增函數(shù)；于是的最小值為.不妨設，構(gòu)造函數(shù)（）則有則由（1）知在區(qū)間上為增函數(shù)，于是即，于是即.先證對任意的和實數(shù)且，總有令，有當且時，有.（八）．以數(shù)列極限為背景（數(shù)學通訊）例.已知數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，其前n項和Sn滿足Sn+Sn2=2Sn1+()．(1)求數(shù)列{an}的通項an；(2)令，試求一個函數(shù)，使得對于任意正整數(shù)有，且對于任意的，均存在/