2017中考數(shù)學(xué)圓的最值問(wèn)題(含答案)

-.z.數(shù)學(xué)組卷圓的最值問(wèn)題一．選擇題〔共7小題〕1．〔2014春?興化市月考〕在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔3，0〕，點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2，設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是〔〕A．m≥0 B． C． D．2．〔2013?武漢模擬〕如圖∠BAC=60°，半徑長(zhǎng)1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為〔〕A．3 B．6 C． D．3．〔2014?武漢模擬〕如圖，P為⊙O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、AO分別與⊙O交于B、C兩點(diǎn)．假設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為3，OP=，則弦BC的最大值為〔〕A．2 B．3 C． D．34．〔2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬〕如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A和D重合〕，PQ⊥OD于Q，點(diǎn)I為△OPQ的內(nèi)心，過(guò)O，I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r．則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足〔〕A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 D．r=35．〔2010?〕如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔2，0〕、〔0，2〕，⊙C的圓心坐標(biāo)為〔﹣1，0〕，半徑為1．假設(shè)D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是〔〕A．2 B．1 C． D．6．〔2013?市中區(qū)模擬〕如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔8，0〕、〔0，﹣6〕，⊙C的圓心坐標(biāo)為〔0，7〕，半徑為5．假設(shè)P是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB與*軸交于點(diǎn)D，則△ABD面積的最大值是〔〕A．63 B．31 C．32 D．307．〔2013?棗莊〕如圖，線段OA交⊙O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠OAP的最大值是〔〕A．90° B．60° C．45° D．30°二．填空題〔共12小題〕8．〔2013?〕如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是．9．〔2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是．10．〔2012?〕如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為．11．〔2015?峨眉山市一?！橙鐖D，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=10，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．假設(shè)⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則半徑r的取值范圍是：．12．〔2013?長(zhǎng)春模擬〕如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則PQ長(zhǎng)的最小值為．13．〔2013?〕如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)．假設(shè)⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為．14．〔2013?〕如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ〔點(diǎn)Q為切點(diǎn)〕，則切線PQ的最小值為．15．〔2013?內(nèi)江〕在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A〔13，0〕，直線y=k*﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為．16．〔2011?蘇州校級(jí)一?！橙鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)⊙O，P是⊙O是一動(dòng)點(diǎn)且P在第一象限內(nèi)，過(guò)P作⊙O切線與*軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．則線段AB的最小值是．17．〔2015秋?江陰市校級(jí)期中〕如圖，⊙O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，且DE與⊙O相切于E點(diǎn)．假設(shè)正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，且DE=4，則sin∠ODE=．18．〔2014春?興化市校級(jí)月考〕如下圖，A〔1，y1〕，B〔2，y2〕為反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P〔*，0〕在*軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差到達(dá)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．19．〔2015?泰興市二?！橙鐖D，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(dòng)〔點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合〕，M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，假設(shè)CD=3，AB=8，PM=l，則l的最大值是．三．解答題〔共5小題〕20．〔2013?武漢模擬〕如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=a，AC=b．〔1〕求證：AE=b+a；〔2〕求a+b的最大值；〔3〕假設(shè)m是關(guān)于*的方程：*2+a*=b2+ab的一個(gè)根，求m的取值范圍．21．〔2014春?泰興市校級(jí)期中〕如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于H．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，解決以下問(wèn)題：〔1〕求證：BE⊥AG；〔2〕求線段DH的長(zhǎng)度的最小值．22．：如圖，AB是⊙O的直徑，在AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AB=5，AC=3．點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)P不與A，B重合〕，CP交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．〔1〕求∠P的正切值；〔2〕當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．23．〔2013?日照〕問(wèn)題背景：如圖〔a〕，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．〔1〕實(shí)踐運(yùn)用：如圖〔b〕，，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為．〔2〕知識(shí)拓展：如圖〔c〕，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過(guò)程．24．〔2012?〕如圖，半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為*〔2＜*＜4〕．〔1〕當(dāng)*=時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度；〔2〕當(dāng)*為何值時(shí)，PD?CD的值最大？最大值是多少？25、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合〕，過(guò)A、D、E三點(diǎn)作⊙O，⊙O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，線段EF長(zhǎng)度的最小值為．26、如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接于△CDE，則⊙O半徑的最小值為().A.4 B.C. D.227、如圖，直角△AOB中，直角頂點(diǎn)O在半徑為1的圓心上，斜邊與圓相切，延長(zhǎng)AO，BO分別與圓交于C，D．試求四邊形ABCD面積的最小值．初中數(shù)學(xué)組卷圓的最值問(wèn)題參考答案與試題解析一．選擇題〔共7小題〕1．〔2014春?興化市月考〕在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔3，0〕，點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2，設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是〔〕A．m≥0 B． C． D．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】C在以A為圓心，以2為半徑的圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切〔即到C點(diǎn)〕時(shí)，∠BOC最小，根據(jù)勾股定理求出此時(shí)的OC，求出∠BOC=∠CAO，根據(jù)解直角三角形求出此時(shí)的值，根據(jù)tan∠BOC的增減性，即可求出答案．【解答】解：C在以A為圓心，以2為半徑作圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切〔即到C點(diǎn)〕時(shí)，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，隨著C的移動(dòng)，∠BOC越來(lái)越大，∵C在第一象限，∴C不到*軸點(diǎn)，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，應(yīng)選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能確定∠BOC的變化范圍是解此題的關(guān)鍵，題型比擬好，但是有一定的難度．2．〔2013?武漢模擬〕如圖∠BAC=60°，半徑長(zhǎng)1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為〔〕A．3 B．6 C． D．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】連接AO并延長(zhǎng)，與圓O交于P點(diǎn)，當(dāng)AF垂直于ED時(shí)，線段DE長(zhǎng)最大，設(shè)圓O與AB相切于點(diǎn)M，連接OM，PD，由對(duì)稱性得到AF為角平分線，得到∠FAD為30度，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AO的長(zhǎng)，由AO+OP求出AP的長(zhǎng)，即為圓P的半徑，由三角形AED為等邊三角形，得到DP為角平分線，在直角三角形PFD中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出PF的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出FD的長(zhǎng)，由DE=2FD求出DE的長(zhǎng)，即為DE的最大值．【解答】解：連接AO并延長(zhǎng)，與ED交于F點(diǎn)，與圓O交于P點(diǎn)，此時(shí)線段ED最大，連接OM，PD，可得F為ED的中點(diǎn)，∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED為等邊三角形，∴AF為角平分線，即∠FAD=30°，在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根據(jù)勾股定理得：FD==，則DE=2FD=3．應(yīng)選D【點(diǎn)評(píng)】此題考察了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．3．〔2014?武漢模擬〕如圖，P為⊙O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、AO分別與⊙O交于B、C兩點(diǎn)．假設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為3，OP=，則弦BC的最大值為〔〕A．2 B．3 C． D．3【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理．【分析】當(dāng)OP⊥AB時(shí)，弦BC最長(zhǎng)，根據(jù)三角形相似可以確定答案．【解答】解：當(dāng)OP⊥AC時(shí)，弦BC最長(zhǎng)，又∵AC是直徑，∴∠CBA=90°，所以△APO∽△ABC，∴，又∵OP=，∴BC=2．故答案選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了直徑所對(duì)的圓周角是900這一性質(zhì)的應(yīng)用，以及如何取線段最值問(wèn)題的做法，用好三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．4．〔2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬〕如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A和D重合〕，PQ⊥OD于Q，點(diǎn)I為△OPQ的內(nèi)心，過(guò)O，I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r．則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足〔〕A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 D．r=3【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【分析】連OI，PI，DI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣〔∠HOP+∠OPH〕=135°，并且易證△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135°的一段劣弧上；過(guò)D、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)P′，連P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3．【解答】解：如圖，連OI，PI，DI，∵△OPH的內(nèi)心為I，∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣〔∠HOP+∠OPH〕，而PH⊥OD，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣〔∠HOP+∠OPH〕=180°﹣〔180°﹣90°〕=135°，在△OPI和△ODI中，，∴△OPI≌△ODI〔SAS〕，∴∠DIO=∠PIO=135°，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135°的一段劣弧上；過(guò)D、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧DO取點(diǎn)P′，連P′D，P′O，∵∠DIO=135°，∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，∴∠DO′O=90°，而OD=6，∴OO′=DO′=3，∴r的值為3．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．〔2010?〕如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔2，0〕、〔0，2〕，⊙C的圓心坐標(biāo)為〔﹣1，0〕，半徑為1．假設(shè)D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是〔〕A．2 B．1 C． D．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【分析】由于OA的長(zhǎng)為定值，假設(shè)△ABE的面積最小，則BE的長(zhǎng)最短，此時(shí)AD與⊙O相切；可連接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，即可得到△ADC的面積；易證得△AEO∽△ACD，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△AOE的面積，進(jìn)而可得出△AOB和△AOE的面積差，由此得解．【解答】解：假設(shè)△ABE的面積最小，則AD與⊙C相切，連接CD，則CD⊥AD；Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；∴S△ACD=AD?CD=；易證得△AOE∽△ADC，∴=〔〕2=〔〕2=，即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；另解：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等更簡(jiǎn)單！應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)；能夠正確的判斷出△BE面積最小時(shí)AD與⊙C的位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．6．〔2013?市中區(qū)模擬〕如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔8，0〕、〔0，﹣6〕，⊙C的圓心坐標(biāo)為〔0，7〕，半徑為5．假設(shè)P是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB與*軸交于點(diǎn)D，則△ABD面積的最大值是〔〕A．63 B．31 C．32 D．30【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【分析】當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，△ABD的面積最大，易證△OBD∽△PBC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得OD的長(zhǎng)，則AD的長(zhǎng)度可以求得，最后利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，△ABD的面積最大．連接PC，則∠CPB=90°，在直角△BCP中，BP===12．∵∠CPB=90°．∴∠DOB=∠CPB=90°又∵∠DBP=∠CBP，∴△OBD∽△PBC，∴===，∴OD=PC=．∴AD=OD+OA=+8=，∴S△ABD=AD?OB=××6=31．應(yīng)選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了切線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，理解△ADB的面積最大的條件是關(guān)鍵．7．〔2013?棗莊〕如圖，線段OA交⊙O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠OAP的最大值是〔〕A．90° B．60° C．45° D．30°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【分析】當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠OAP有最大值，連結(jié)OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥AP，由OB=AB得OA=2OP，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到此時(shí)∠OAP的度數(shù)．【解答】解：當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠OAP有最大值，連結(jié)OP，如圖，則OP⊥AP，∵OB=AB，∴OA=2OP，∴∠PAO=30°．應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考察了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．二．填空題〔共12小題〕8．〔2013?〕如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是﹣1．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用"邊角邊〞證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用"SAS〞證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。窘獯稹拷猓涸谡叫蜛BCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF〔SAS〕，∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG〔SAS〕，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．〔解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最小〕故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是此題的難點(diǎn)．9．〔2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是＜CM＜．【考點(diǎn)】軌跡．【分析】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長(zhǎng)，然后在△CEM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解．【解答】解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，∴CE=AB=．∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1＜CM＜+1，即＜CM＜．故答案是：＜CM．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了軌跡，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．10．〔2012?〕如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為．【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，因此當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH．【解答】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，由垂徑定理可知EF=2EH=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．11．〔2015?峨眉山市一?！橙鐖D，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=10，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．假設(shè)⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則半徑r的取值范圍是：2≤r＜10．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】首先證明AB=AC，再根據(jù)得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍即可．【解答】解：連接OB．如圖1，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，如圖2，∴OE=AC=AB=，又∵圓O與直線MN有交點(diǎn)，∴OE=≤r，∴≤2r，即：100﹣r2≤4r2，∴r2≥20，∴r≥2．∵OA=10，直線l與⊙O相離，∴r＜10，∴2≤r＜10．故答案為：2≤r＜10．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)展推理和計(jì)算的能力．此題綜合性比擬強(qiáng)，有一定的難度．12．〔2013?長(zhǎng)春模擬〕如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則PQ長(zhǎng)的最小值為．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，在△ABC中，由勾股定理求出AB=13，由三角形面積公式求出CD=，當(dāng)CD為過(guò)C點(diǎn)的圓的直徑時(shí)，此時(shí)圓的直徑最短，是，求出PQ為圓的直徑即可．【解答】解：過(guò)C作CD⊥AB于D，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：AB=13，由三角形面積公式得：S=AC×BC=AB×CD，CD=，當(dāng)CD為過(guò)C點(diǎn)的圓的直徑時(shí)，此時(shí)圓的直徑最短，是，∵∠BCA=90°，∴PQ為圓的直徑，即此時(shí)PQ的長(zhǎng)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了勾股定理，三角形面積，圓周角定理，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出圓的直徑．13．〔2013?〕如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)．假設(shè)⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為10.5．【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形中位線定理．【專題】壓軸題．【分析】由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=AB=3.5為定值，則GE+FH=GH﹣EF=GH﹣3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5．【解答】解：當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值．當(dāng)GH為直徑時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，∴AC也是直徑，AC=14．∵∠ABC是直徑上的圓周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°，∴AB=AC=7．∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF=AB=3.5，∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．故答案為：10.5．【點(diǎn)評(píng)】此題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考察了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．14．〔2013?〕如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ〔點(diǎn)Q為切點(diǎn)〕，則切線PQ的最小值為2．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】首先連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得當(dāng)OP⊥AB時(shí)，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．【解答】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵．15．〔2013?內(nèi)江〕在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A〔13，0〕，直線y=k*﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為24．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)直線y=k*﹣3k+4必過(guò)點(diǎn)D〔3，4〕，求出最短的弦CB是過(guò)點(diǎn)D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長(zhǎng)，再根據(jù)以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A〔13，0〕，求出OB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．【解答】解：∵直線y=k*﹣3k+4=k〔*﹣3〕+4，∴k〔*﹣3〕=y﹣4，∵k有無(wú)數(shù)個(gè)值，∴*﹣3=0，y﹣4=0，解得*=3，y=4，∴直線必過(guò)點(diǎn)D〔3，4〕，∴最短的弦CB是過(guò)點(diǎn)D且與該圓直徑垂直的弦，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是〔3，4〕，∴OD=5，∵以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A〔13，0〕，∴圓的半徑為13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的長(zhǎng)的最小值為24；故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了一次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、勾股定理、圓的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是求出BC最短時(shí)的位置．16．〔2011?蘇州校級(jí)一?！橙鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)⊙O，P是⊙O是一動(dòng)點(diǎn)且P在第一象限內(nèi)，過(guò)P作⊙O切線與*軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．則線段AB的最小值是4．．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，連接OP，由于AB是圓的切線，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以當(dāng)OC與OP重合時(shí)，OC最短；【解答】解：〔1〕線段AB長(zhǎng)度的最小值為4，理由如下：連接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中點(diǎn)C，∴AB=2OC；當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí)AB=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題利用了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)求解，屬于根底性題目．17．〔2015秋?江陰市校級(jí)期中〕如圖，⊙O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，且DE與⊙O相切于E點(diǎn)．假設(shè)正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，且DE=4，則sin∠ODE=．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】先證得四邊形ANOM是正方形，求出AM長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，根據(jù)解直角三角形求出即可．【解答】解：設(shè)切線AD的切點(diǎn)為M，切線AB的切點(diǎn)為N，連接OM、ON、OE，∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，∴AD=AB=7，∠A=90°，∵圓O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四邊形ANOM是正方形，∵AD和DE與圓O相切，∴OE⊥DE，DM=DE=4，∴AM=7﹣4=3，∴OM=ON=OE=3，在RT△ODM中，OD==5，∵OE=OM=5，∴sin∠ODE==．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AM長(zhǎng)和得出DE=DM．18．〔2014春?興化市校級(jí)月考〕如下圖，A〔1，y1〕，B〔2，y2〕為反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P〔*，0〕在*軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差到達(dá)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔3，0〕．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；三角形三邊關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，1〕，B點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，〕，再利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=﹣*+，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到|PA﹣PB|≤AB，當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與*軸的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，則線段AP與線段BP之差到達(dá)最大，然后確定直線y=﹣*+與*軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：把A〔1，y1〕，B〔2，y2〕代入y=得y1=1，y2=，則A點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，1〕，B點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，〕，設(shè)直線AB的解析式為y=k*+b，把A〔1，1〕，B〔2，〕代入得，解得，所以直線AB的解析式為y=﹣*+，因?yàn)閨PA﹣PB|≤AB，所以當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與*軸的交點(diǎn)時(shí)，線段AP與線段BP之差到達(dá)最大，把y=0代入y=﹣*+得﹣*+=0，解得*=3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為〔3，0〕．故答案為〔3，0〕．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=〔k為常數(shù)，k≠0〕的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)〔*，y〕的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即*y=k．19．〔2015?泰興市二?！橙鐖D，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(dòng)〔點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合〕，M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，假設(shè)CD=3，AB=8，PM=l，則l的最大值是4．【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理．【分析】當(dāng)CD∥AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC長(zhǎng)即可．【解答】解：法①：如圖：當(dāng)CD∥AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，OM過(guò)O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四邊形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直徑AB=8，∴半徑OC=4，即PM=4，故答案為：4．法②：連接CO，MO，根據(jù)∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四點(diǎn)共圓，且CO為直徑．連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當(dāng)PM為直徑時(shí)PM最大，所以PM=CO=4時(shí)PM最大．即PMma*=4【點(diǎn)評(píng)】此題考察了矩形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的CD的位置，題目比擬好，但是有一定的難度．三．解答題〔共5小題〕20．〔2013?武漢模擬〕如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=a，AC=b．〔1〕求證：AE=b+a；〔2〕求a+b的最大值；〔3〕假設(shè)m是關(guān)于*的方程：*2+a*=b2+ab的一個(gè)根，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】〔1〕首先連接BE，由△OAB為等邊三角形，可得∠AOB=60°，又由圓周角定理，可求得∠E的度數(shù)，又由AB為⊙D的直徑，可求得CE的長(zhǎng)，繼而求得AE=b+a；〔2〕首先過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得〔a+b〕2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；〔3〕由*2+a*=b2+ab，可得〔*﹣b〕〔*+b+a〕=0，則可求得*的值，繼而可求得m的取值范圍．【解答】解：〔1〕連接BE，∵△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB為直徑，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；〔2〕過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC?BC=AB?CH，∴AC?BC=AB?CH，∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值為，〔3〕∵*2+a*=b2+ab，∴*2﹣b2+a*﹣ab=0，∴〔*+b〕〔*﹣b〕+a〔*﹣b〕=0，∴〔*﹣b〕〔*+b+a〕=0，∴*=b或*=﹣〔b+a〕，當(dāng)m=b時(shí)，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，當(dāng)m=﹣〔b+a〕時(shí)，由〔1〕知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范圍為0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．21．〔2014春?泰興市校級(jí)期中〕如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于H．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，解決以下問(wèn)題：〔1〕求證：BE⊥AG；〔2〕求線段DH的長(zhǎng)度的最小值．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】〔1〕根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用"邊角邊〞證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用"邊角邊〞證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；〔2〕根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，然后求出OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。窘獯稹俊?〕證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF〔SAS〕，∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG〔SAS〕，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AG；〔2〕解：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=2，在Rt△AOD中，OD===2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，DH的最小值=OD﹣OH=2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是此題的難點(diǎn)．22．：如圖，AB是⊙O的直徑，在AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AB=5，AC=3．點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)P不與A，B重合〕，CP交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．〔1〕求∠P的正切值；〔2〕當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】〔1〕先根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)圓周角定理得出∠A=∠P，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；〔2〕三角形的面積公式求出∠A的正切值，故可得出CD的長(zhǎng)，再由垂徑定理求出PC的長(zhǎng)，由〔1〕中∠P的正切值即可得出CQ的長(zhǎng)；〔3〕由相似三角形的性質(zhì)可得出△ABC∽△PQC，故可得出=，故可得出CQ==PC，故當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)CQ取得最大值，再把AB的長(zhǎng)代入進(jìn)展計(jì)算即可．【解答】解：〔1〕∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AB=5，AC=3，∴BC===4，∴tan∠A==，∵∠A與∠P是同弧所對(duì)的圓周角，∴tan∠P=tan∠A=；〔2〕∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CD⊥AB，∴CD===，∵AB⊥CD，∴PC=2CD=2×=，∴CQ=PC?tan∠P=×=；〔3〕∵PC⊥CQ，∴∠PCQ=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠A=∠P，∴△ABC∽△PQC，∴=，∴CQ==PC，∴當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)CQ最長(zhǎng)，∴CQ最長(zhǎng)=×5=．【點(diǎn)評(píng)】此題考察的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及圓周角定理等知識(shí)，難度適中．23．〔2013?日照〕問(wèn)題背景：如圖〔a〕，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．〔1〕實(shí)踐運(yùn)用：如圖〔b〕，，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為2．〔2〕知識(shí)拓展：如圖〔c〕，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過(guò)程．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題．【分析】〔1〕找點(diǎn)A或點(diǎn)B