河南省鞏義市重點校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第四次考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第22頁/共22頁22-23學(xué)年上學(xué)期21級第4次考試高二數(shù)學(xué)一、單選題（每小題5分，共60分）1.拋物線的焦點到準線的距離是（）.A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準方程，根據(jù)焦準距的意義，可得答案.【詳解】拋物線化為標(biāo)準方程為拋物線，則其焦準距為，即焦點到準線的距離是，故選：B2.直線與直線平行，那么的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的等價條件列方程組，解方程組即可求解.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得：，故選：B.3.若雙曲線的一個焦點為，則（）A. B. C.0 D.3【答案】A【解析】【分析】由題意可得，解之即可得出答案.【詳解】解：因為雙曲線的一個焦點為，所以，解得.故選：A.4.已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為空間向量的數(shù)量積計算可求出結(jié)果.【詳解】.故選：B5.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為12，則C的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，可得，求得，再由離心率為，求得，進而得到，即可求得橢圓的方程，得到答案.【詳解】因為△AF1B的周長為12，根據(jù)橢圓的定義，可得，即，又由離心率為，即，因為，所以，則，所以橢圓C的方程為.故選：D.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義與標(biāo)準方程的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，以及橢圓的幾何性質(zhì)，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑．如圖所示，某園林建筑的屋頂為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐，若此正六棱錐的側(cè)棱長為2，且與底面所成的角為，則此正六棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意分別求得錐體的底面積和高度，然后計算其體積即可．【詳解】解：將原問題抽象為如圖所示的正六棱錐，設(shè)底面的中心為，連結(jié)，，由題意可得，則，即六棱錐的高，六棱錐的底面是由6個邊長為的等邊三角形組成的，從而其體積．故選：A．7.如圖，橢圓與x軸、y軸正半軸分別交于點A、B，點P是過左焦點F1且垂直x軸的直線與橢圓的一個交點，O為坐標(biāo)原點，若AB//OP，則橢圓的焦距為（）A. B.C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用兩點坐標(biāo)求出直線BA、PO的斜率、，根據(jù)可得，化簡計算即可.【詳解】由題意知，，則點，所以直線BA的斜率為，直線PO的斜率為，由，得，所以，即，又，所以，所以焦距為.故選：D8.現(xiàn)有兩個所有棱長都是2的正四棱錐，讓它們的底面完全重合，拼成一個新的多面體，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.這個多面體有8個面和12條棱B.這個多面體有6對棱互相平行C.這個多面體有4對面互相垂直D.這個多面體所有的頂點在一個半徑為的球面上【答案】C【解析】【分析】通過數(shù)數(shù)可以判斷A；通過線線平行的證明可以判斷B；算出面面之間的夾角即可判斷C；根據(jù)O到八個頂點的距離即可判斷D.【詳解】由題意，多面體是一個八面體，且棱長均為2，如圖1，通過數(shù)數(shù)可知A正確；因為，由勾股定理易得，所以與全等，則，由于，所以四點共面，于是.同理可得：，故該八面體有6對平行棱，故B正確；對C，如圖2，根據(jù)該八面體的對稱性，只考慮面ABC與其它面的情況，分別取AC,BC,DE的中點M,N,P，過點A作BC的平行線l，容易判斷l(xiāng)為面與面的交線.易知均垂直于AC，則是二面角的一個平面角，易知，所以，即面與面不垂直，根據(jù)對稱性，面與面不垂直.易知均垂直于l，則是二面角的一個平面角，易知，所以，即面與面不垂直.而由B中推理可知，所以面面，同理面面，面面，面面，則面與該八面體其它各面均不垂直.根據(jù)對稱性可知，該八面體不存在兩個面互相垂直，故C錯誤；對D，因為O到八個頂點的距離均為，則該多面體所有的頂點在一個半徑為的球面上，所以D正確.故選：C.9.以下四個命題正確的有（）A.直線的傾斜角為B.圓上有且僅有個點到直線的距離都等于C.直線關(guān)于原點對稱的直線方程為D.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】B【解析】【分析】求出直線的傾斜角，可判斷A選項的正誤；求出圓上的點到直線的距離等于的點的個數(shù)，可判斷B選項的正誤；求出直線關(guān)于原點對稱的直線方程，可判斷C選項的正誤；求出經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，直線的斜率為，該直線的傾斜角為，A錯；對于B選項，設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，圓上的點到直線的距離等于的點的個數(shù)即為直線、與圓的公共點的個數(shù)之和，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以，直線與圓相交，直線與圓相切，故圓上有且僅有個點到直線的距離都等于，B對；對于C選項，直線關(guān)于原點對稱的直線為，在直線上任取一點，則點關(guān)于原點的對稱點在直線上，則有，即，因此，直線關(guān)于原點對稱的直線方程為，C錯；對于D選項，若所求直線過原點，可設(shè)所求直線的方程為，則，此時，所求直線的方程為，若所求直線不過原點，可設(shè)所求直線方程為，則，此時，所求直線的方程為.綜上所述，經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，D錯.故選：B.10.正方體中，、、、分別為、、、的中點，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.平面平面C.平面 D.向量與向量的夾角是60°【答案】D【解析】【分析】通過線面垂直判定和性質(zhì)，可判斷A選項，通過線線和線面平行的判斷可確定B和選項C，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量夾角公式求向量與向量的夾角，可判斷選項D.【詳解】解：因為，，，平面，所以平面，又、分別為、的中點，所以，所以平面，平面，所以，故A正確，連接和，、、、分別為、、、的中點，可知，所以、、、四點共面，所以平面平面，故B正確；由題知，可設(shè)正方體的棱長為，以為原點，為軸，為軸，為軸，則所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，得平面的法向量為，所以，平面，所以平面，故C正確；因為向量與向量的夾角為，則，又，所以，故D錯誤，故選：D.11.已知橢圓上有一點，、分別為其左、右焦點，，的面積為，以下4個結(jié)論：①若，則滿足題意的點有個；②若，則；③的最大值為；④若是鈍角三角形，則的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出滿足條件的點的坐標(biāo)，可判斷①的正誤；推導(dǎo)出焦點三角形的面積公式，可判斷②的正誤；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷③的正誤；求出當(dāng)是鈍角三角形，的取值范圍，可判斷④的正誤.【詳解】在橢圓中，，，則，則、，設(shè)點，，設(shè)，，則，且，，，因為，則，且，.對于①，，則，所以，，可得，所以，滿足條件的點的坐標(biāo)為、、、，共個點，①對；對于②，若，則，②對；對于③，的最大值為，③對；對于④，若為鈍角，則，，此時且，則，由可得，則，由對稱性可知，當(dāng)為鈍角時，，綜上所述，當(dāng)是鈍角三角形，則的取值范圍是，④錯.故選：C.12.過直線上一動點M，向圓引兩條切線，A、B為切點，則圓的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.6C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)點在直線上，可得點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，聯(lián)立圓O的方程得出直線AB的方程，進而可得直線AB恒過定點，將問題轉(zhuǎn)化為求點C、N之間的距離，結(jié)合圓C的方程和兩點坐標(biāo)求距離公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，設(shè)點在直線上，則，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則，所以點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，且該圓的方程為：，又圓O的方程為，這兩個圓的方程相減，得公共弦AB的方程為，即，因為，所以，所以，當(dāng)且即時該方程恒成立，所以直線AB恒過定點，所以點M到直線AB距離的最大值即為點C、N之間的距離加上圓C的半徑，又，，所以，即點M到直線AB距離的最大值為.故選：A二、填空題（每小題5分，共20分）13.若直線經(jīng)過兩點，且傾斜角為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】利用斜率計算公式即可得出．【詳解】解：由題意可得：，解得，故答案為：．14.平面α的法向量是，點在平面α內(nèi)，則點到平面α的距離為___________.【答案】##【解析】【分析】直線與平面所成的角為，根據(jù)點到平面α的距離為即可得解.【詳解】解：設(shè)直線與平面所成的角為，，則點到平面α的距離為.故答案為：.15.點到點的距離比它到直線：的距離小，則點滿足的方程是___________【答案】【解析】【詳解】因為點到點的距離比它到直線：的距離小，所以點到點的距離與它到直線：的距離相等，由拋物線的定義可知點的軌跡是以點為焦點的拋物線，其中．點滿足的方程是．【點睛】知一動點到一定點和一定直線的距離關(guān)系，求動點的軌跡方程，應(yīng)聯(lián)系拋物線的定義．求動點的軌跡方程應(yīng)注意特殊曲線的定義．16.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是．由B，C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F(xiàn)為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為3的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為_______________．【答案】##0.75【解析】【分析】作出截面，結(jié)合圖像先在中求得，進而求得，再在求得，從而求得，又由為橢圓的一個焦點，得到，故得，由此橢圓的離心率可求.【詳解】依題意，作截面，如圖所示，圓是內(nèi)切圓，圓切于，切于，，圓半徑即球半徑為，所以，，則在中，，所以，故中，，所以，即，根據(jù)橢圓在圓錐中的截面與二面球相切的切點為橢圓的焦點可知：為橢圓的一個焦點，又因為，所以，故，所以該橢圓的離心率為.故答案為：..三、解答題（共70分）17.已知直線.（1）若直線過點，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程，即可寫出直線方程；（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出．【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為.因為直線過點，所以直線的方程為，即.（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關(guān)系的應(yīng)用，以及平行直線的距離公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知圓和點.（1）過點M向圓O引切線，求切線的方程；（2）求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程；【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在兩種情況求解；（2）根據(jù)垂徑定理和弦長公式求解即可【小問1詳解】（1）當(dāng)切線的斜率不存在，直線方程為，為圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，∴圓心到切線的距離為，解得，∴直線方程為綜上切線的方程為或.【小問2詳解】點到直線的距離為，∵圓被直線截得的弦長為8，∴，∴圓的方程為.19.已知正三棱柱的底面邊長為2，D是的中點，（1）求三棱柱的體積（2）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、三棱柱的性質(zhì)和體積公式進行求解即可；（2）利用三棱錐的等積性，結(jié)合線面角的定義進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，因此，因為是正三棱柱，所以，平面，而平面，因此，所以有，設(shè)，D是的中點，所以，于是有：，舍去，三棱柱的體積為：，【小問2詳解】設(shè)平面，設(shè)，取的中點，所以，所以，因為平面平面，而平面平面，因此平面，由，由勾股定理可知中：，，因為，所以四邊形是正方形，故，所以有，在正方形中，設(shè)，D是的中點，，因為平面，所以是直線與平面所成角，所以.20.已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點．（1）求拋物線的標(biāo)準方程；（2）過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點，求直線l的方程；（3）過點作直線交拋物線于A、B兩點，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．【答案】（1）（2）x＝2或（3）【解析】【分析】（1）由條件可判斷出拋物線的焦點在y軸正半軸，然后求解即可；（2）分直線l的斜率不存在、存在兩種情況討論即可；（3）設(shè)點，然后由點差法得到，即，然后可得答案．【小問1詳解】因為頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線過點，所以拋物線的焦點在y軸正半軸，設(shè)其方程為，將點代入可得，所以，所以拋物線的標(biāo)準方程為，【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，過點的直線與拋物線有一個交點；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線斜率為，直線方程為由得，直線與拋物線只有一個交點，所以，解得，所以直線方程為綜上，過點與拋物線有且只有一個交點的直線方程為和；【小問3詳解】設(shè)點，直線斜率為點在拋物線上，所以所以，即，所以直線方程為經(jīng)檢驗，直線符合題意.21.如圖，在梯形ABCD中，，，，現(xiàn)將△ADC沿AC翻折成直二面角.（1）證明：；（2）記△APB的重心為G，若異面直線PC與AB所成角的余弦值為，在側(cè)面PBC內(nèi)是否存在一點M，使得平面PBC，若存在，求出點M到平面PAC的距離；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】(1)如圖，取的中點，連結(jié)，根據(jù)題意可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明；(2)如圖，取的中點，連結(jié)，由題意以為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出各點和線段的坐標(biāo)，利用異面直線夾角的向量法得出的值，進而得到重心坐標(biāo)，假設(shè)在側(cè)面PBC內(nèi)存在一點M，設(shè)，利用線面垂直的性質(zhì)求出，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連結(jié).∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，即，又平面平面，且兩平面的交線為，∴