空間向量與立體幾何知識點文檔

1立體幾何空間向量知識點總結(jié)知識網(wǎng)絡(luò)：知識點撥：1、空間向量的見解及其運算與平面向量近似，向量加、減法的平行四邊形法例，三角形法例以及有關(guān)的運算律仍舊成立．空間向量的數(shù)量積運算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在空間中的推行，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推行．rrrrrr2、當(dāng)a、b為非零向量時．a(chǎn)b0ab是數(shù)形聯(lián)合的紐帶之一，這是運用空間向量研究線線、線面、面面垂直的要點，平時能夠與向量的運算法例、有關(guān)運算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題．rrrrabcosa,brr3、公式ab是應(yīng)用空間向量求空間中各樣角的基礎(chǔ)，用這個公式能夠求兩異面直線所成的角（但要注意兩異面直線所成角與兩向量的夾角在取值范圍上的差別），再聯(lián)合平面的法向量，能夠求直線與平面所成的角和二面角等．4、直線的方向向量與平面的法向量是用來描繪空間中直線和平面的相對地點的重要見解，經(jīng)過研究方向向量與法向量之間的關(guān)系，能夠確定直線與直線、直線與平面、平面與平面等的地點關(guān)系以及有關(guān)的計算問題．5、用空間向量判斷空間中的地點關(guān)系的常用方法（1）線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．（2）線線垂直rrrr證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直，即ab0ab．23）線面平行用向量證明線面平行的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性表示直線的方向向量．（4）線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有：①證明直線方向向量與平面法向量平行；②利用線面垂直的判判斷理轉(zhuǎn)變成線線垂直問題．5）面面平行①證明兩個平面的法向量平行（即是共線向量）；②轉(zhuǎn)變成線面平行、線線平行問題．（6）面面垂直①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)變成線面垂直、線線垂直問題．6、運用空間向量求空間角（1）求兩異面直線所成角rrrrabcosa,brrab利用公式，但務(wù)必注意兩異面直線所成角θ的范圍是cosrrcosa,b故實質(zhì)上應(yīng)有：．（2）求線面角

0,，求直線與平面所成角時，一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量，經(jīng)過數(shù)量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線方向向量與平面法向量的夾角φ，即可求出直線與平面所成的角θ，其關(guān)系是sinθ＝|cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義，在兩個面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對應(yīng)的方向向量，此后求出這兩個方向向量的夾角，由此可求出二面角的大?。涣硪环N方法是轉(zhuǎn)變成求二面角的兩個面的法向量的夾角，它與二面角的大小相等或互補．7、運用空間向量求空間距離空間中的各樣距離一般都能夠轉(zhuǎn)變成求點與點、點與線、點與面的距離．（1）點與點的距離點與點之間的距離就是這兩點間線段的長度，因此也就是這兩點對應(yīng)向量的模．（2）點與面的距離點面距離的求解步驟是：①求出該平面的一個法向量；②求出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即得要求的點面距3離．備考建議：1、空間向量的引入，把平面向量及其運算推行到空間，運用空間向量解決有關(guān)直線、平面地點關(guān)系的問題，應(yīng)意會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展空間想像能力和幾何直觀能力．2、靈巧選擇運用向量方法與綜合方法，從不相同角度解決立體幾何問題．3、在解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題時，直線的方向向量與平面的法向量有著舉足輕重的地位和作用，它的特點是用代數(shù)方法解決立體幾何問題，無需進行繁、難的幾何作圖和推理論證，起著從抽象到詳細、化難為易的作用．因此，應(yīng)嫻熟掌握平面法向量的求法和用法．4、加強運算能力的培養(yǎng)，提高運算的速度和正確性．第一講空間向量及運算一、空間向量的有關(guān)見解1、空間向量的定義在空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量．注意空間向量和數(shù)量的差別．?dāng)?shù)量是只有大小而沒有方向的量．2、空間向量的表示方法空間向量與平面向量相同，也能夠用有向線段來表示，用有向線段的長度表示向量的大r小，用有向線段的方向表示向量的方向．若向量a對應(yīng)的有向線段的起點是A，終點是B，ruuurruuura或AB．則向量a能夠記為AB，其模長為3、零向量r長度為零的向量稱為零向量，記為0．零向量的方向不確定，是隨意的．由于零向量的這一特別性，在解題中必定要看清題目中所指向量是“零向量”仍是“非零向量”．4、單位向量模長為1的向量叫做單位向量．單位向量是一種常用的、重要的空間向量，在此后的學(xué)習(xí)中還要經(jīng)常用到．5、相等向量rrrr長度相等且方向相同的空間向量叫做相等向量．若向量a與向量b相等，記為a=b.零向量與零向量相等，隨意兩個相等的非零向量都能夠用空間中的同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點沒關(guān)．6、相反向量rr長度相等但方向相反的兩個向量叫做相反向量．a(chǎn)的相反向量記為－a二、共面向量1、定義平行于同一平面的向量叫做共面向量．2、共面向量定理urrrrr若兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y,4urrr使得p=xayb。3、空間平面的表達式uuuruuuruuur空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y使MPxMAyMB或?qū)臻g任必定點O,有或uuuruuuruuuruuuurOPxOAyOBzOM（其中xyz1）這幾個式子是M,A,B,P四點共面的充要條件．三、空間向量基本定理1、定理rrrur假如三個向量a、b、c不共面，那么對空間任素來量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、urrrry、z，使p=xaybzc2、注意以下問題（1）空間隨意三個不共面的向量都能夠作為空間向量的一個基底．r（2）由于0可視為與隨意一個非零向量共線，與隨意兩個非零向量共面，因此，三個r向量不共面，就隱含著它們都不是0。（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，兩者是有關(guān)系的不相同見解．rrr由空間向量的基本定理知，若三個向量a、b、c不共面。那么所有空間向量所組成的ururrrrrrrp|pxaybzc,x,y,zR會合就是,這個會合可看做是由向量a、b、c生成的，所rrrrrra,b,c以我們把稱為空間的一個基底。a、b、c叫做基向量，空間隨意三個不共面的向量都可組成空間的一個基底．3、向量的坐標(biāo)表示（1）單位正交基底假如空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基rrr底，常用i,j,k表示．（2）空間直角坐標(biāo)系rrrrrr在空間選定一點O和一個單位正交基底i,j,k以點O為原點，分別以i、j、k的方向為正方向成立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸．則成立了一個空間直角坐標(biāo)rrr系O－xyz,點O叫原點，向量i、j、k都叫坐標(biāo)向量．3）空間向量的坐標(biāo)給定一個空間直角坐標(biāo)系和向量

ra,且設(shè)

ri、

rrj、k為坐標(biāo)向量，存在唯一有序數(shù)組（

x，5rrrrry，z）使axiyjzk，有序數(shù)組（x，y，z）叫做a在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐rx,y,z標(biāo)，記為a=。uuuruuurrrrr對坐標(biāo)系中任一點A，對應(yīng)一個向量OA，則OA=axiyjzk。在單位正交基底rrruuur、j、k中與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）.四、空間向量的運算1、空間向量的加法三角形法例（注意首尾相連）、平行四邊形法例，rrrr加法的運算律：互換律abbarrrrrrabcabc聯(lián)合律2、空間向量的減法及幾何作法uuurruuurruuurrrr幾何作法：在平面內(nèi)任取一點O，作OAa,OBb，則BAab，即從b的終點r指向a的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義．3、空間向量的數(shù)乘運算（1）定義rr實數(shù)與a的積是一個向量，記為a，它的模與方向規(guī)定以下：rr①aarr0時，rrrr②當(dāng)0時，a與a同向；當(dāng)a與a異向；當(dāng)0時．a(chǎn)0注意：rr①對于實數(shù)與空間向量的積a的理解：我們能夠把a的模擴大（當(dāng)>1時），也可r以減?。?lt;1時），同時，我們能夠不改變向量a的方向（當(dāng)0時），也能夠改變向r0時）。.量a的方向（當(dāng)0時，rrrr②注意實數(shù)與向量的積的特別情況，當(dāng)a0；當(dāng)0，若a0時，rr有a0。rr③注意實數(shù)與向量能夠求積，可是不能夠進行加減運算．比方a，a無法運算。（2）實數(shù)與空間向量的積知足的運算律6設(shè)λ、μ是實數(shù)，則有rraa（聯(lián)合律）rrraaa（第一分派律）rrrrabab（第二分派律）實數(shù)與向量的積也叫數(shù)乘向量．4、共線向量（1）共線向量定義若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量，也rrrr叫做平行向量。若a與b是共線向量，則記為a//b。注意：零向量和空間任素來量是共線向量．（2）共線向量定理rrrrrrrr對空間隨意兩個向量a、b（b≠0），a//b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb（3）空間直線的向量表示式r假如直線l是經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對任一點O，點Puuuruuurrr在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，知足等式OPOAta，其中向量a叫做直線l的方向向量．注意：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrOPOAtAB,OPOAtOBOA(1t)OAtOB①若在l上取ABa，則有uruuuruuuruuurBOA(1t)OAtOB②上式可解決三點P、A、B共線問題的表示或判斷．1uuur1uuur1uuurtOP2OAOB③當(dāng)2時，2

，點P為AB的中點，這是中點公式的向量表達式．uuuruuur1uuuruuurOP1OAOB④若P分AB所成比為，則15、空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，三條坐標(biāo)軸兩兩互相垂直，軸的方向平時這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)900能與y軸的正半軸重合。讓右手拇指指向x軸正方向．食指指向y軸的正方向，假如中指指向z軸的正方向，那么稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。一般情況下，成立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系．在平面上畫空間直角坐標(biāo)系O－xyz時，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°?？臻g兩點間的距離公式是平面上兩點間距離公式的推行，是空間向量模長公式的推行，假如知道兒何體上隨意兩點的坐標(biāo)．我們即可直接套用．7設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)PP(xx)2(yy)2(zz)2，則12212121特別地，P1（x,y,z）到原點的距離|OP|x2y2z26、空間向量的數(shù)量積運算ab|a||b|cosa,b其中a,b為a與b的夾角，范圍是[0，π]，注意數(shù)量積的性質(zhì)和運算律。性質(zhì)若a、b是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則（1）eaae|a|cos（2）abab0（3）若a與b同向，則ab|a||b|；若a與b反向，則ab|a||b|；特別地：aa|a|2或|a|aaaba、b的夾角，則cos（4）若θ為|a||b|（5）|ab||a||b|2.運算律（1）聯(lián)合律(a)b(ab)2）互換律abba3）分派律a(bc)abac不知足消去律和聯(lián)合律即：abbcac，(ab)c不用然等于a(bc)【典型例題】例1.已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點，連接PA、PB、PC、PD，點E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求證：E、F、G、H四點共面。證明：分別延伸PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R∵E、F、G、H分別是所在三角形的重心∴M、N、Q、R為所在邊的中點，按次連接

MNQR

所得四邊形為平行四邊形，且有8PE2PM，PF2PN，PG2PQ，PH2PR3333∵MNQR為平行四邊形，則EGPGPE2PQ2PM2MQ3332(MNMR)2(PNPM)2(PRPM)3332(3PF3PE)2(3PH3PE)322322EFEH∴由共面向量定理得E、F、G、H四點共面。例2.以下列圖，在平行六面體ABCDA'B'C'D'中，ABa，ADb，AAc，P是CA'的中點，M是CD'的中點，N是C'D'的中點，點Q是CA'上的點，且CQ：QA'=4：1，用基底{a，b，c}表示以下向量：1）AP；（2）AM；（3）AN；（4）AQ。解：連接AC、AD'AP1(ACAA')1(ABADAA')1(abc)（1）222；AM1(ACAD)1(AB2ADAA')1ab1c（2）2222；AN1(ACAD')（3）291[(ABADAA')(ADAA')]21(AB2AD2AA')21abc2AQACCQAC4(AA'AC)（4）51AB1AD4AA'5551a14c5b55議論：本例是空間向量基本定理的推論的應(yīng)用．此推論意在用分解定理確定點的地點，它對于此后用向量方法解幾何問題很合用，選定空間不共面的三個向量作基向量．并用它們表示出指定的向量，是用向量解決幾何問題的一項基本功．例3.已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC。M、N分別是OA、BC的中點，G是MN的中點。求證：OG⊥BC。證明：連接ON，設(shè)∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ又設(shè)OAa，OBb，OCc，則|a||b||c|。OG1(OMON)又2111[OA(OBOC)]2221(abc)4BCcb10∴

OGBC

1(a4

b

c)

(c

b)1(ac41(|a|24

abbc2cos|a|cos

b2

c2|a|2

bc)|a|2)

0OG⊥BC例4.已知空間三點A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。（1）求以AB和AC為鄰邊的平行四邊形面積；（2）若|a|3，且a分別與AB、AC垂直，求向量a的坐標(biāo)。解：（1）由題中條件可知AB（2，1，3），AC（1，3，2）cosABAC2361AB，AC14142|AB||AC|sin3AB，AC∴2∴以AB、AC為鄰邊的平行四邊形面積：3S|AB||AC|sinAB，AC14732（2）設(shè)a（x，y，z）由題意得x2y2z232xy3z0x3y2z0x1x1y或y11解得z1z1a（1，1，1）或a＝（1，1，1）第二講直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用一、直線的方向向量及其應(yīng)用111、直線的方向向量直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量能夠有無數(shù)個．2、直線方向向量的應(yīng)用利用直線的方向向量，能夠確定空間中的直線和平面．ruuurr（1）若有直線l,點A是直線l上一點，向量a是l的方向向量，在直線l上取ABa，uuuruuurr則對于直線l上隨意一點P，必定存在實數(shù)t，使得APtAB，這樣，點A和向量a不只能夠確定l的地點，還可詳細表示出l上的隨意點．（2）空間中平面α的地點能夠由α上兩條訂交直線確定，若設(shè)這兩條直線交于點O,rr它們的方向向量分別是a和b，P為平面α上隨意一點，由平面向量基本定理可知，存在有uuurrrrr序?qū)崝?shù)對（x，y），使得OPxayb，這樣，點O與方向向量a、b不只能夠確定平面α的地點，還能夠夠詳細表示出α上的隨意點．二、平面的法向量1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，它們是共線向量．rr2、在空間中，給定一個點A和一個向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點A的平面是唯一確定的．三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面地點關(guān)系中的應(yīng)用uruururuur112的方向向量分別是u1、u2，則有l(wèi)1//l2u1//u2，l12、若兩直線l、l⊥luruururuur2、若兩平面α、β的法向量分別是v1、v2，則有α//βv1//v2，α⊥βrrrr若直線l的方向向量是u，平面的法向量是v，則有l(wèi)//αu⊥v，l⊥α

uruuru1⊥u2．uruurv1⊥v2．ru//v四、平面法向量的求法若要求出一個平面的法向量的坐標(biāo)，一般要成立空間直角坐標(biāo)系，此后用待定系數(shù)法求解，一般步驟以下：r1、設(shè)出平面的法向量為n(x,y,z)．rr2、找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)rr0narr03、依據(jù)法向量的定義成立對于x，y，z的方程組nb4、解方程組，取其中一個解，即得法向量12五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系（一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主假如指：線線平行、線面平行、面面平行．1、線線平行rrrr設(shè)直線1、l2的方向向量分別是a、b，則要證明l12，只需證明a//b，即l//lrr(kR)akb2、線面平行rrrr（1）設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向量是n，則要證明l//，只需證明an，r即an0.2）依據(jù)線面平行的判判斷理：“假如直線（平面外）與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也能夠在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．3）依據(jù)共面向量定理可知，假如一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只需證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判判斷理，要證明面面平行，只需轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．rrrr（2）若能求出平面α、β的法向量u、v，則要證明α//β，只需證明u//v（二）用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主假如指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．1、線線垂直rrrrrr12的方向向量分別是a、b，則要證明l12a⊥b，即ab0設(shè)直線l、l⊥l，只需證明2、線面垂直rrrr（1）設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證l⊥α，只需證明a//u（2）依據(jù)線面垂直的判判斷理，轉(zhuǎn)變成直線與平面內(nèi)的兩條訂交直線垂直．3、面面垂直1）依據(jù)面面垂直的判判斷理轉(zhuǎn)變成證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．2）證明兩個平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空間的角（一）兩條異面直線所成的角1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線a///a,b///b，則a/與b/所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．02、范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是213rrabrrcos|cos|rrab3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角能夠經(jīng)過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完好相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．（二）直線與平面所成的角1、定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角．02、范圍：直線和平面所成角θ的取值范圍是2rr3、向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，rrsinaurr|cos|rr或cossinaua與u的夾角為，則有（三）二面角1、二面角的取值范圍：[0,]2、二面角的向量求法（1）若AB、CD分別是二面角

的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角uuuruuur的大小就是向量AB與CD的夾角（如圖（a）所示）．uruururuur（2）設(shè)n1、n2是二面角l的兩個角α、β的法向量，則向量n1與n2的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小（如圖（b）所示）．七、用向量的方法求空間的距離（一）點面距離的求法如圖（a）所示，BO⊥平面α，垂足為O，則點B到平面α的距離就是線段BO的長度．若uuuruuurBOBAAB是平面α的任一條斜線段，則在Rt△BOA中，cos∠ABO=14uuuruuurBABOcosABOcosABOuuurrBO。假如令平面α的法向量為n，考慮到法向量的方向，能夠獲取BuuuruuurrABnBOr點到平面α的距離為n。因此要求一個點到平面的距離，能夠分以下幾步達成：1、求出該平面的一個法向量．2、找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量．3、求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．ruurnrn0n能夠視為平面的單位法向量，因此點到平面的距離實質(zhì)就是平面的單位由于uuuruur法向量與從該點出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的絕對值，即dABn0．其他，等積法也是點到面距離的常用求法．（二）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)變成點面距離用求點面距的方法進行求解。（三）兩異面直線距離的求法r如圖（b）所示，設(shè)l1、l2是兩條異面直線，n是l1與l2的公垂線段AB的方向向量，uuuruuurrdCDnABr又C、D分別是l1、l2上的隨意兩點，則l1與l2的距離是n。15【典型例題】例1.設(shè)a、b分別是直線l1、l2的方向向量，依據(jù)以下條件判斷l(xiāng)1與l2的地點關(guān)系。1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）解：（1）∵a（2，3，1），b=（－6，－9，3）1b3，∴a//b，∴l(xiāng)1//l2（2）∵a=（5，0，2），b=（0，4，0）∴ab0，∴ab，∴l(xiāng)12⊥l（3）∵a（－2，1，4，），b=（6，3，3）a與b不共線，也不垂直l1與l2的地點關(guān)系是訂交或異面例2.設(shè)u、v分別是平面α、β的法向量，依據(jù)以下條件判斷α、β的地點關(guān)系：1（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，2）；2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。1解：（1）∵u=（1，－1，2），v=（3，2，2）16∴uv0uv∴α⊥β（2）∵u=（0，3，0），v=（0，－5，0）u3u//v//v5（3）∵u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）u與v既不共線、也不垂直，∴α與β訂交議論：應(yīng)嫻熟掌握利用向量共線、垂直的條件。例3.已知點A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一個單位法向量。解：由于A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），∴AB=（－3，4，0），AC=（－3，0，5）設(shè)平面ABC的法向量為n（x，y，z）則有nAB且nAC003x4y0x553x5z0y4即取z=1，得3，55|n|769，，于是n=（3124），又n(20，15，12)∴平面α的單位法向量是769769769例4.若直線l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），試求直線l與平面α所成角的余弦值。解析：以下列圖，直線l與平面α所成的角就是直線l與它在平面內(nèi)的射影所成的角，即∠ABO，而在Rt△ABO中，∠ABO=2∠BAO，又∠BAO能夠看作是直線l與平面α的垂線所成的銳角，這樣∠BAO了聯(lián)系，故可借助向量的運算求出∠

就與直線l的方向向量BAO，進而求出∠

a與平面α的法向量n的夾角成立ABO，獲取直線與平面所成的角。17解：∵a=（1，2，2，），n=（－1，3，0）∴|a|3，|n|10，an5cosa,nan106∴|a||n|若設(shè)直線l與平面α所成的角是θ則有cossina,ncosa,n106∵sina,n266∴cos26266，即直線l與平面α所成角的余弦值等于6。因此例5.如圖（a）所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點。求證：（1）MN//平面A1BD；（2）平面A1BD//平面B1D1C。18（1）證法一：如圖（b）所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y11軸、z軸成立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M（0，1，2），N（2，1，111，），D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），于是MN=（2，0，2）。設(shè)平面A1BD的法向量是n（x，y，z）xz0且nDB0，得xy0則nDA10取x=1，得y1，z1，n=（1，－1，－1）11又MNn=（2，0，2）·（1，－1，－1）=0，∴MNn∴MN//平面A1BD1111MNC1NC1MC1B1C1C(D1A1D1D)DA1證法二：∵2222MN//DA1，∴MN//平面A1BD1D1A11D1D證法三：∵MNC1NC1M221(DBBA)1(D1A1A1D)221111DBBAD1A1A1D2222191DB1DA11(BADA)2221DB1DA11BD2221DA10DB2即MN可用DA1與DB線性表示，故MN與DA1、DB是共面向量MN//平面A1BD，即MN//平面A1BD。（2）證明：由（1）求得平面A1BD的法向量為n=（1，－1，－1）同理可求平面B1D1C的法向量m=（1，－1，－1）m//n∴平面A1BD//平面B1D1C例6.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點。求證：A1O⊥平面GBD。證明：設(shè)A1B1a，b，A1D1A1Ac，則ab，，c00bc0aA1OA1AAOA1A1(ABAD)c1(ab)而22BDADABbaOGOCCG1(ABAD)1CC1(ab)1c2212220A1OBD(c1a1b)(ba)∴22c(ba)1(ab)(ba)2cbca1(b2a2)21(|b|2|a|2)02同理A1OOG0A1OBD，A1OOG又BDOGO，∴A1O面GBD。例7.（2004年天津）如圖（a）所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點。1）證明：PA//平面EDB；2）求EB與底面ABCD所成角的正切值。（1）證明：如圖（b）所示成立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點設(shè)DC=a，連接AC，AC交BD于G，連接EGaa依題意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，2，2）21∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心aa故點G的坐標(biāo)為（2，2，0）aa∴PA=（a，0，－a），EG=（2，0，2）∴PA2EG，這表示PA//EG而EG平面EDB，且PA平面EDBPA//平面EDB（2）解：依題意得B（a，a，0），C（0，a，0）a如圖（b）取DC的中點F（0，2，0），連接EF、BFaa∵FE=（0，0，2），F(xiàn)B=（a，2，），DC=（0，a，0）0∴FEFB0，F(xiàn)EDC0FE⊥FB，F(xiàn)E⊥DC。a|FE|25|FB|5a5∴tan∠EBF25∴EB與底面ABCD所成角的正切值為5例8.正方體ABCDA1B1C1D1中，