基本不等式教學設計-高一下學期數(shù)學人教A版必修5

3.4.1基本不等式教材分析本節(jié)是人教A版數(shù)學必修5第三章3.4.1節(jié)內容。本節(jié)課是在學習了不等關系與不等式、不等式的基本性質以及實數(shù)大小比較等內容后進一步學習的關于不等式的又一基本知識，既是前面所學不等式知識的一個綜合應用、拓展升華，也是后面學習選修教材“推理與證明”及“不等式選講”的必備知識和基礎。因此，基本不等式是不等式學習中重點內容和關鍵節(jié)點，具有承上啟下的作用。學情分析從知識和經驗來看，學生在此之前已經系統(tǒng)學習了不等式的概念，性質和一些簡單不等式的證明，對不等式的證明方法已經有了一定的了解。另外，學生在此之前還學習了配方法，作差法及數(shù)形結合方法等數(shù)學思想方法，這些方法為基本不等式的探究與證明提供了方法上的保障。從能力來看，學生進過多年數(shù)學學習，已經具備了一定的觀察能力、推理能力和思維轉換能力，只要教師啟發(fā)得當，學生應該是能通過觀察、分析。思考發(fā)現(xiàn)及證明基本不等式的。三、教學目標1.理解并掌握基本不等式的證明及其應用；2.培養(yǎng)學生主動運用數(shù)形結合的思想去分析問題，解決問題和應用問題的能力。四、教學重點與難點重點：基本不等式的證明與應用難點：基本不等式的證明五、教學簡錄（一）創(chuàng)設情境，課題引入中央電視臺焦點訪談的一個截圖，像一個風車，這個圖有來歷，它是2002年在中國北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設計的，趙爽弦圖。整體上看是一個正方形，內部結構上看是四個全等的直角三角形，里面再加個正方形，趙爽弦圖是我國古代數(shù)學家智慧結晶，里面蘊含著很多等量關系和不等量關系。師：不知道大家有沒有印象，大家在初中的時候就見識過趙爽弦圖，而且利用趙爽弦圖可以非常便捷得證明直角三角形中的勾股定理，比如說設圖中直角三角形邊長為a,b,c，大家拿出紙和筆出來，你可以利用趙爽弦圖證明勾股定理嗎？把你的過程在草稿紙上，通過釘釘群發(fā)出來，把你的結果分享下，大家先試一分鐘。學生在釘釘群里分享證明過程。師：從面積的角度考慮，，推出，如果把代入上式，得到，這三項的幾何解釋為大正方形的面積，4個直角三角形的面積，里面小正方形的面積，因為是一個完全平方，完全平方是一個非負數(shù)，把甩掉，那么等量關系就破壞掉了，得到不等量關系，，當且僅當時等號成立。從趙爽弦圖里得到了不等量關系，它的幾何解釋為大正方形的面積大于等于4個三角形的面積之和，當取等號。利用幾何畫板，b不變，調整a，讓學生觀察面積變化，可以觀察到當時，小正方形面積為0了，所以可以確定當時，等號成立。從趙爽弦圖當中面積得到一個不等式，對于這個不等式會有一系列變形，而且這些變形在以后的數(shù)學中占有很大的地位，今天我們要研究的就是由趙爽弦圖得到的不等量關系，來進一步研究，即基本不等式。（二）探究新知問題：請用代數(shù)方法證明：，.師：比較大小用作差：，所以，當且僅當時等號成立，需要，而完全平方a,b任何實數(shù)都成立，剛才我們是通過幾何圖形才行，而代數(shù)證明a,b任何實數(shù)都成立，所以可以給不等式作一個修正，，，當且僅當時等號成立，我們將它稱為重要不等式。重要不等式結構特征：左邊兩個數(shù)的平方和，右邊兩個數(shù)乘積的兩倍，用文字表述為兩數(shù)平方和大于等于兩數(shù)積的兩倍，例1：（1）已知矩形的面積為36，求對角線的最小值。學生在釘釘群里分享書寫過程，教師以一個學生為例，指出共同問題。生：，，，最小值為.師：只是說明不會小于，能取到嗎？萬一取不到呢？所以能直接得到最小值為嗎？這里需要做一個補充，這幾乎是所有同學的一個通病，當且僅當時等號成立，用重要不等式得到，只是說明不會小于，然后還要通過重要不等式當中等號成立的條件找到a,b說明可以取到，由這兩部分才能說明最小值為，幾乎所有同學都只完成了第一部分，找到了下限，忽視了第二部分，等號能否取到，能取到，就是最小值，不能取到一切白費。（2）已知實數(shù)x,y滿足方程，求的最大值.學生連麥回答，沒有學生主動連麥，教師分析學生發(fā)到釘釘群答案。生：，，當且僅當時取等號，即.師：當且僅當?shù)忍柍闪?，即或時取等號，能把解出來，盡量把解出來，計算過程復雜解不出來，也要判斷出是否有解。等號取到條件往往寫在最后，注意題中的，此題要注意.重要不等式反應的是平方和與積之間的關系，那么能不能得到和與積之間關系呢？設，，則，（為0簡單，不考慮進去），（兩數(shù)和與積的關系，與重要不等式區(qū)別，）當且僅當時取等號.（注意取等號條件）這是一個非常重要的不等式，稱為基本不等式?；静坏仁剑寒斍覂H當時，“”成立兩數(shù)和的平均數(shù)兩數(shù)積算術平方根兩個正數(shù)的算術平均數(shù)幾何平均數(shù)重要不等式有幾何背景，用趙爽弦圖來解釋重要不等式，那么基本不等式是否可以用幾何模型來解釋呢？幾何解釋已知，，過點作的垂線與以為直徑的半圓交于點，求和的長.學生連麥回答.生：連接，，由射影定理知：因為（直角三角形斜邊大于直角邊），所以當時相等。師：利用幾何畫板，移動點，學生觀察大小關系。通過此幾何模型很好的解釋了基本不等式，兩正數(shù)的算術平均數(shù)大于等于它的幾何平均數(shù)。（三）例題講解例2：（1）已知矩形面積為，求矩形周長的最小值并證明何時取到最小。設矩形的長為，寬為學生拍照在頂頂群分享答案，教師簡單分析多個學生的答案，強調取等號的條件要特別說明。（2）已知矩形周長為，求矩形面積的最大并何時取到最大。教師板演解題過程，注意書寫規(guī)范、工整.解：設，，則由基本不等式，，當且僅當時等號成立.所以.總結：這兩道題初步見識了基本不等式的一些功能，主要在求最大值和最小值時一定要強調兩面性，一得到它的上限和下限，二要確認等號取到，基本不等式和重要不等式在運用過程中，還有很多問題要講，下節(jié)課對其進行巧妙運用。（四）課堂小結理解兩個基本不等式的結構特征及其幾何解釋類型重要不等式基本不等式不等關系使用范圍等號成立條件當且僅當時等號成立當且僅當時等號成立結構關系兩數(shù)平方和與兩數(shù)積算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)2.會用這兩個不等式解決一些簡單應用問題. 六、點評與教學反思1.本節(jié)課是線上教學，單老師采用釘釘直播，在上課的過程中通過學生上傳照片，連麥的方式與學生進行互動。關于板書問題，單老師利用希沃白板，很好的解決了問題。單老師課堂直播課堂節(jié)奏把握的非常好，很值得學習。除了課堂互動外，我們是否可以考慮在課前布置簡單任務單或者設計導學案，讓學生進行預習，對課堂的教學應該會很有幫助。2.單老師利用趙爽弦圖，直觀引入課題，利用數(shù)形結合思想，“從形到數(shù)”探究基本不等式的生成過程；“由數(shù)到形”探究基本不等式的幾何解釋，發(fā)展學生的辯證思維。學生的思維培養(yǎng)是一個循序漸進的過程，單老師從弦圖引出重要不等式，又從重要不等式引出基本不等式，又對基本不等式進行集合解釋，循序漸進，非常自然。3.單老師通過例1的兩道例題，來強調了為何要取等號?；静坏仁降倪\用，學生很容易忽略掉取等號條件。單老師通過例題清晰解釋了為何要取等號，而且多次強調，加深了學生的印象，很好的突破此節(jié)難點。4.從重要不等式引出基本不等式，又對基本不等式進行幾何解釋，學生直接運用了射影定理，說明單老師的學生基礎是很好的。幾何解釋是本節(jié)的一個難點之一，這里有個思考，若學生不知道射影定理，又該如何引入呢？5.例2是對基本不等式的簡單應用，主要在求最值的運用，在這里可以簡單說明基本不等式和積之間存在最值的關系，或者可以給學生課后探究，引發(fā)學生思考，對基本不等式進一步理解。6.在解題的過程中，可以強調解題步驟：一正二定三相等，減少忽略其中步驟。本節(jié)課作為基本不等式的第一課時，主要是探究基本不等式的證明，因此本題涉及到的應用比較少也比較簡單，單老師也說明了第二課時會另外探究。一節(jié)好的課有老師高超的教學設計，有學生充分的交流互動。單老師通過情境引入提升學生數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，以趙爽弦圖引入，讓學生感受到了我國數(shù)學的突出成就，激發(fā)學生學習興趣。數(shù)學活動是數(shù)學素養(yǎng)的催化劑，單老師在課堂教學活動中