學(xué)案35幾何體計(jì)算

學(xué)案35空間幾何體的有關(guān)計(jì)算一、知識(shí)梳理：（一）空間幾何體的表面積與體積柱、錐、臺(tái)體的表面積（1） 直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積：TOC\o"1-5"\h\zs二 *s二 =直棱柱側(cè) ' 正棱錐側(cè) ' 正棱臺(tái)側(cè) *（用C,C，為底面周長(zhǎng)，h為高，h，為斜高表示）（2） 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積：①S 二 ；S ；S ?圓柱柱側(cè) 圓錐側(cè) 圓臺(tái)側(cè) （用r,rr為底面半徑，1為母線長(zhǎng)表示）柱或臺(tái)的表面積等于 與 的和，錐體的表面積是 與 的和.柱、錐、臺(tái)體的體積（1） 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積：TOC\o"1-5"\h\z= ?v二 ?V二棱柱 ，棱錐 ，棱臺(tái) .（2） 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積：= .v= .v= .圓柱 *圓錐 *圓臺(tái) 球的表面積與體積：S= ；V= ?球 球 強(qiáng)調(diào)：①祖眶原理的應(yīng)用一一等底面積、等高的柱體（或錐體）體積相等.

②求體積的常見(jiàn)方法：直接發(fā)（公式法）、分割法、補(bǔ)形法.（二）平行投影與中心投影?平行投影平行投影的有關(guān)概念平行投影：已知圖形F,直線/與平面QT相交（下圖），過(guò)F上任意一點(diǎn)M作直線MM'平行于I,交平面QT于點(diǎn)M',則點(diǎn)M'叫做M在平面or內(nèi)關(guān)于直線I的平行投影（或象）.圖形的平行投影：如果圖形F上的所有點(diǎn)在平面cr內(nèi)關(guān)于直線/的平行投影構(gòu)成圖形F',則F'叫做圖形F在平面QT內(nèi)關(guān)于直線/的平行投影.平面QT叫做投射面，/叫做投射線.平行投影的性質(zhì)當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影都具有下述性質(zhì)：Q.直線或線段的平行投影仍是直線或線段；b.平行直線的平行投影是平行或重合的直線；C.平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)；與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比2.中心投影①概念：一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)圖形照射到一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在平面上的彳②性質(zhì)：中心投影的投射線相父于一點(diǎn).（三）空間幾何體的三視圖1?正投影的性質(zhì)：在物體的平行投影中，如果投射線與投射面垂直，則稱這樣的平行投影為正投影.容易知道，正投影除具有平行投影的性質(zhì)外，還有如下性質(zhì)：垂直于投射面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；垂直于投射面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分.三視圖：為了使畫出的圖形更準(zhǔn)確地反映空間圖形的大小和形狀.通常總是選擇三個(gè)兩兩互相垂直的平面作為投射面作正投影.一個(gè)投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖一個(gè)投射面放置在正前方，這個(gè)投射面叫做直立投射面；投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫主視圖.和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射面，通常把這個(gè)平面放在直立投影面的右面，投射到這個(gè)平面內(nèi)的圖形叫做左視圖.將空間圖形向這三個(gè)平面作正投影，然后把這三個(gè)投影按一定的布局放在一個(gè)平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空間圖形的三視圖.三視圖的畫法要求（1） 在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線，尺寸線用細(xì)實(shí)線標(biāo)出.（2） 三視圖的主視圖、左視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.畫三視圖的基本要求是：主俯一樣長(zhǎng)，俯左一樣寬，主左一樣高.由三視圖想象幾何體特征時(shí)要根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的原則作出判斷.（四）空間幾何體的直觀圖直觀圖：用來(lái)表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖.斜二測(cè)畫法的規(guī)則：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,再作Oz軸，使ZxOz=90°,且ZyOz=90°.畫直觀圖時(shí)（圖⑴），把Ox、Oy.Oz畫成對(duì)應(yīng)的軸O'￡、O'，、0'才,使厶'O'y'=45°（或135°）,厶'O'z'=90°fO'y'所確定的平面表示水平平面已知圖形中，平行于兀軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于*軸，W軸、才軸的線段.并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同.已知圖形中平行于兀軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸或在y軸上的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.（五）誤區(qū)警示投影與直觀圖的概念（1） 平行投影的投射線互相平行，中心投影的投射線相交于一點(diǎn).（2） 直觀圖與原圖形面積的關(guān)系討論中，要牢記原來(lái)平行于y軸的變成夾角45°,長(zhǎng)度減半.（3） 直觀圖與三視圖的相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)牢記柱、錐、臺(tái)、球的圖形特征及斜二測(cè)畫法規(guī)則和正投影性質(zhì)，特別注意左視圖的投影方向.（4） 畫圖時(shí)，被遮擋部分應(yīng)畫成虛線，和平面幾何不同，添加的輔助線被遮擋的畫成虛線，否則應(yīng)畫實(shí)線.2?多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體畫圖時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮多面體的對(duì)角面，注意旋轉(zhuǎn)體軸截面與多面體幾何量之間的聯(lián)系.注意還臺(tái)為錐的解題方法的運(yùn)用，將臺(tái)體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì).二、基礎(chǔ)訓(xùn)練：（一）求空間幾何體的表面積與體積1?棱柱的表面積與體積［例1］（08?四川）已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為后，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為才，則該正四棱柱的體積等于 .?棱錐的表面積與體積［例2］如圖，已知在多面體ABC-DEFG中，AB.AC.4D兩兩互相垂直，平面〃平ffiDEFG,平面〃平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為（）A.2 B.4 C.6 D.8EFEF?正棱臺(tái)的表面積與體積［例3］—個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm,高是二cm.⑴求三棱臺(tái)的斜高；（2）求三棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積.?旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積［例4］球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的丄，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小6圓的周長(zhǎng)為4兀，那么這個(gè)球的半徑為（）A.4＜；3 B.2v3 C.2 D.7J［例5］底半徑為1,高為J了的圓錐，其內(nèi)接圓柱的底半徑為R,當(dāng)R為何值時(shí)，內(nèi)接圓柱的體積最大？（二）求立體幾何問(wèn)題常見(jiàn)的思想、方法1、函數(shù)思想：把體積表達(dá)成函數(shù)形式，通過(guò)函數(shù)的最值討論求出體積的最值，這種方法是在求最值問(wèn)題時(shí)經(jīng)常應(yīng)用的一種簡(jiǎn)捷途徑.［例1］四面體有五條棱長(zhǎng)為，當(dāng)?shù)诹鶙l棱長(zhǎng)為多少時(shí)，四面體的體積最大，并求其最大值.2、割補(bǔ)法：割補(bǔ)法是割法與補(bǔ)法的總稱補(bǔ)法是把不熟悉的或復(fù)雜的幾何體延伸或補(bǔ)成熟悉絨簡(jiǎn)單的幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖麟U(xiǎn)法是把復(fù)雜的幾何體切割成簡(jiǎn)單的幾何體.割與補(bǔ)是對(duì)立統(tǒng)一的，是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面.［例2］己知ABCE^AIBICIDI是棱長(zhǎng)為&的正方體，E、F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn)，求四棱錐A1-EBFDL的體積.3、轉(zhuǎn)化思想：［例3］如圖所示，正四面體BCD的外接球的體積為石 ，求正四面體的體積.4、等積變換:［例4］三棱柱的一個(gè)側(cè)面面積為S,這個(gè)側(cè)面與相對(duì)棱間距離為d,則三棱柱的體積等于5、卷起、詁蠱曹展開(kāi)1).5、卷起、詁蠱曹展開(kāi)1).丄的6［例5］將無(wú)蓋正方體紙盒展開(kāi)如圖），則在原正方體中，線段B與CD所在直線的位置關(guān)系是A.平行B.相交且垂直?C異面直線D.A.平行B.相交且垂直?C異面直線D.異面成60°角□a4—Z⑴B（三）空間幾何體的三視圖、直觀圖、平行投影問(wèn)題【例1]兩條相交直線的平行投影是（）A.兩條相交直線B.一條折線C.一條直線D.一條直線或兩條相交直線TOC\o"1-5"\h\z【例2]AABC的斜二測(cè)直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則AABC的面積為 .【例3】如果一個(gè)空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為 ?三、鞏固提高：1?一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC,其斜二測(cè)直觀圖"C'的面積為 .2.一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為&的正方形，則原平面四邊形的面積等于 .3?某四面體三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（ ）A.8B.6>/2C.A.8B.6>/2C.10 D.8^2己知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是（）4000A*——4000A*——cm3I).4000cm3大值分別為（A.I).4000cm3大值分別為（A.9與13B.7與10C.10與16 D.10與15用墜位鍔曙一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，則它的體積的最小值與最如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,且側(cè)棱AA1丄平面A1B1C1,正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖的面積為 8.已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為49tt、400TT,且兩個(gè)截面之間的距離為9,則球的表面TOC\o"1-5"\h\z積為 .cm,表面積某地球儀上北緯30°緯線的長(zhǎng)度為12ttcm,cm,表面積是 cm2將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD=a,則三棱錐D~ABC的體積為a3 °3 x,;3AT BH c-l2a3長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)為3、4、5,且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是A.20 B.25 C.50tt D.200K斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)等于&的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b,—條側(cè)棱AA1和底面相鄰的兩條邊AE、AC都成45°角，則這個(gè)斜三棱柱的側(cè)面積為 .四棱錐P-ABCD中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，又底面ABCD為矩形，E是PD中點(diǎn).（1）求證：〃平面ACE；⑵若PB丄AC,且PA=2,求三棱錐E~PBC的體積.

如圖，設(shè)三棱^S—ABC的三個(gè)側(cè)棱與底畫BC所成的角都魁0°，又Z3AG60。，且SA丄BC.(1)求證：S—ABC為正三棱錐；(2)已知SA=a,求S~ABC的全面積.B四、走向高考：TOC\o"1-5"\h