《勾股定理》模擬試題精練

1、PAGE29勾股定理一、選擇題（共13小題）1（廣州）在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（）ABCD2若三角形ABC中，A：B：C=2：1：1，a，b，c分別是A，B，C的對邊，則下列等式中，成立的是（）Aa2b2=c2Ba2=2c2Cc2=2a2Dc2=2b23（梧州）如圖，AOC=BOC，點、BC=8cm，現(xiàn)將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（）A4cmB5cmC6cmD10cm6（衡陽）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）A1BCD27（濱州）已知ABC中，AB

2、=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（）A21B15C6D以上均不對8（清遠(yuǎn)）如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，已知BC=8，AC=6，則斜邊AB上的高是（）A10B5CD9如圖，陰影部分是一個矩形，它的面積是（）A5cm2B3cm2C4cm2D6cm210張大爺離家出門散步，他先向正東走了30m，接著又向正南走了40m，此時他離家的距離為（）A30mB40mC50mD70m11如圖在ABC中C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，則點D到AB邊的距離為（）A18B32C28D2412（河池）如圖所示，是用4個全等的直角三角形

3、與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用，y表示直角三角形的兩直角邊（y），下列四個說法：2y2=49，y=2，2y4=49，y=9其中說法正確的是（）ABCD13（山東）2022年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長的直角邊為b，那么（ab）2的值為（）A13B19C25D169二、填空題（共2小題）14（長沙）如圖，等腰ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5

4、cm，BC=6cm，則AD=_cm15（安徽）如圖，直線L過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線L的距離分別是1和2，則正方形的邊長是_三、解答題（共3小題）16請選擇一個圖形來證明勾股定理（可以自己選用其他圖形進行證明）17下圖甲是任意一個直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長分別為a、b，斜邊長為c如圖乙、丙那樣分別取四個與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長為ab的正方形內(nèi)圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形由圖可知：（1）是以_為邊長的正方形，（2）是以_為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是_，且每個角都是直角，所以（3）是以_為邊長的正方形圖中（1）的面積_，（2）的面積為_

5、，（3）的面積為_圖中（1）（2）面積之和為_圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關(guān)系為什么由此你能得到關(guān)于直角三角形三邊長的關(guān)系嗎18（拓展創(chuàng)新）在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用完全相同的四個直角三角形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性問題1：以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究S1S2與S3的關(guān)系（如圖1）問題2：以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，探究SS與S的關(guān)系（如圖2）問題3：以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓，探究S1S2與S3的關(guān)系（如圖3）參考答案一、選擇題（共13小題）1（廣州）在RtABC中，C=90

6、，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（）ABCD考點：勾股定理；點到直線的距離；三角形的面積專題：計算題分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長，利用勾股定理求出AB的長，然后過C作CD垂直于AB，由直角三角形的面積可以由兩直角邊乘積的一半來求，也可以由斜邊AB乘以斜邊上的高CD除以2來求，兩者相等，將AC，AB及BC的長代入求出CD的長，即為C到AB的距離解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：在RtABC中，AC=9，BC=12，根據(jù)勾股定理得：AB=15，過C作CDAB，交AB于點D，又SABC=ACBC=ABCD，CD=，則點C到AB的

7、距離是故選A點評：此題考查了勾股定理，點到直線的距離，以及三角形面積的求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵2若三角形ABC中，A：B：C=2：1：1，a，b，c分別是A，B，C的對邊，則下列等式中，成立的是（）Aa2b2=c2Ba2=2c2Cc2=2a2Dc2=2b2考點：等腰直角三角形；三角形內(nèi)角和定理；勾股定理分析：本題可根據(jù)三角形內(nèi)角和180得出A、B、C三個角的大小它們的比值即為邊的比值，將三邊代入三角形的勾股定理中，即可得出答案解答：解：已知三角形ABC中，A：B：C=2：1：1，并且三角的和是180度，因而可以求得：A=90，B=C=45，即這個三角形是等腰直角三角形，b=c，a是

8、斜邊根據(jù)勾股定理得到：a2=b2c2=2c2故選B點評：解決本題的關(guān)鍵是通過三角形的角的比值，求出角度，得到三角形是等腰直角三角形3（梧州）如圖，AOC=BOC，點、BC=8cm，現(xiàn)將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（）A4cmB5cmC6cmD10cm考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理分析：由勾股定理求得AB的長，由題意知BE是AB的一半解答：解：兩直角邊AC=6cm、BC=8cm，AB=10cm，由題意知，點E是AB的中點，故BE=AB=5cm故選B點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對應(yīng)邊相等6（衡陽）如圖，矩形紙片AB

9、CD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）A1BCD2考點：勾股定理；角平分線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)和角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等計算解答：解：由已知可得，ADGADG，BD=5AG=AG，AD=AD=3，AB=53=2，BG=4AG在RtABG中，BG2=AG2AB2可得，AG=則AG=故選C點評：本題主要考查折疊的性質(zhì)，由已知能夠注意到ADGADG是解決的關(guān)鍵7（濱州）已知ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（）A21B15C6D以上答案都不對考點：勾股定理專題：分類討論分

10、析：高線AD可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進行討論分別依據(jù)勾股定理即可求解解答：解：在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，得CD=6當(dāng)AD在三角形的內(nèi)部時，BC=156=21；當(dāng)AD在三角形的外部時，BC=156=9則BC的長是21或9故選D點評：當(dāng)涉及到有關(guān)高的題目時，注意由于高的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，所以要注意考慮多種情況8（清遠(yuǎn)）如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，已知BC=8，AC=6，則斜邊AB上的高是（）A10B5CD考點：勾股定理分析：根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)三

11、角形的面積公式求得CD即可解答：解：BC=8，AC=6，AB=10，SABC=68=10CD，CD=，故選C點評：此題運用了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應(yīng)用9如圖，陰影部分是一個矩形，它的面積是（）A5cm2B3cm2C4cm2D6cm2考點：幾何體的表面積；勾股定理分析：根據(jù)勾股定理先求出斜邊的長度，再根據(jù)長方形的面積公式求出帶陰影的矩形面積解答：解：=5厘米，帶陰影的矩形面積=51=5平方厘米故選A點評：本題考查了勾股定理和長方形的面積公式10張大爺離家出門散步，他先向正東走了30m，接著又向正南走了40m，此時他離家的距離為（）A30mB40mC50mD70m考點：正數(shù)和

12、負(fù)數(shù)；勾股定理專題：計算題分析：根據(jù)勾股定理直接求得斜邊，即為他離家的距離解答：解：=50m，故選C點評：本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義以及勾股定理的運用，題目比較簡單11如圖在ABC中C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，則點D到AB邊的距離為（）A18B32C28D24考點：角平分線的性質(zhì)；勾股定理分析：過D作DEAB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到DE=CD，而根據(jù)已知條件可以求出CD的長，也就求出了DE的長解答：解：如圖，過D作DEAB于E，AD平分BAC交BC于D，而C=90，CD=DE，BC=64，且BD：CD=9：7，CD=64=28，DE=28，則

13、點D到AB邊的距離為28故選C點評：此題主要利用角平分線的性質(zhì)解題，把求則點D到AB的距離轉(zhuǎn)化成求CD的長12（河池）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用，y表示直角三角形的兩直角邊（y），下列四個說法：2y2=49，y=2，2y4=49，y=9其中說法正確的是（）ABCD考點：勾股定理分析：大正方形的面積是49，則其邊長是7，顯然，利用勾股定理可得2y2=49；小正方形的面積是4，則其邊長是2，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y2=，即y=2；還可以得出四個三角形的面積小正方形的面積=大正方形的面積，即4y4=49，化簡得2y4=4

14、9；其中y=，故不成立解答：解：大正方形的面積是49，則其邊長是7，顯然，利用勾股定理可得2y2=49，故選項正確；小正方形的面積是4，則其邊長是2，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y2=，即y=2，故選項正確；根據(jù)圖形可得四個三角形的面積小正方形的面積=大正方形的面積，即4y4=49，化簡得2y4=49，故選項正確；，則y=，故此選項不正確故選B點評：本題利用了勾股定理、面積分割法等知識13（山東）2022年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角

15、邊為a，較長的直角邊為b，那么（ab）2的值為（）A13B19C25D169考點：勾股定理分析：根據(jù)勾股定理，知兩條直角邊的平方等于斜邊的平方，此題中斜邊的平方即為大正方形的面積13，2ab即四個直角三角形的面積和，從而不難求得（ab）2解答：解：（ab）2=a2b22ab=大正方形的面積四個直角三角形的面積和=13（131）=25故選C點評：注意完全平方公式的展開：（ab）2=a2b22ab，還要注意圖形的面積和a，b之間的關(guān)系二、填空題（共2小題）14（長沙）如圖，等腰ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5cm，BC=6cm，則AD=4cm考點：勾股定理分析：先根據(jù)等腰三角形的

16、性質(zhì)求出BD的長，再根據(jù)勾股定理解答即可解答：解：根據(jù)等腰三角形的三線合一可得：BD=BC=6=3cm，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2AD2，所以，AD=4cm點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理關(guān)鍵要熟知等腰三角形的三線合一可得15（安徽）如圖，直線L過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線L的距離分別是1和2，則正方形的邊長是考點：勾股定理；直角三角形全等的判定分析：兩直角三角形的斜邊是正方形的兩邊，相等；有一直角對應(yīng)相等；再根據(jù)正方形的角為直角，可得到有一銳角對應(yīng)相等，易得兩直角三角形全等，由三角形全等的性質(zhì)可把2，1，正方形的邊長組合到直角三角形內(nèi)得正方形邊長

17、為解答：解：如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=CD，ABMCBN=90，而AMMN，CNBN，BAM=CBN，AMB=CNB=90，AMBBCN，BM=CN，AB為點評：本題考查勾股定理及三角形全等的性質(zhì)應(yīng)用三、解答題（共3小題）16請選擇一個圖形來證明勾股定理（可以自己選用其他圖形進行證明）考點：勾股定理的證明專題：證明題；開放型分析：選第一個圖形證明，都來表示中間正方形的面積有兩種表示方法：直接表示正方形的面積；用大正方形的面積4個全等的直角三角形的面積解答：解：外部是四個全等的直角三角形，中間的四邊形為正方形正方形的面積=c2，正方形的面積=（ab）24ab=a2b2a2b2=c2點評

18、：用構(gòu)圖法來解釋勾股定理，通常情況下是運用不同的方式來表示面積得到的結(jié)果17下圖甲是任意一個直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長分別為a、b，斜邊長為c如圖乙、丙那樣分別取四個與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長為ab的正方形內(nèi)圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形由圖可知：（1）是以a為邊長的正方形，（2）是以b為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是c，且每個角都是直角，所以（3）是以c為邊長的正方形圖中（1）的面積a2，（2）的面積為b2，（3）的面積為c2圖中（1）（2）面積之和為a2b2圖中（1）（2）的面積之和與正方形（3）的面積有什么關(guān)系為什么由此你能得到關(guān)于直角三角形三邊長的關(guān)系嗎考點：勾股定理的證明分析：根據(jù)圖形可以直接得出各正方形的邊長，進而得出各正方形面積，再通過兩個組合正方形的面積之間相等的關(guān)系即可證明勾股定理解答：解：圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形由圖可知：（1）是以a為邊長的正方形，（2）是以b為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是c，且每個角都是直角，所以（3）是以c為邊長的正方形圖中（1）的面積a2，（2）的面積為b2，（3）的面積為c2圖中（1）（2）面積之和為a2b2由圖乙和圖丙可知大正方形的邊長為：ab，則面積為（ab）2，圖乙中把大正方形的面積分為了四部分，分別是：邊長為a的正方